Гармонические функции. Гармоническая функция

Рассмотрим уравнение Лапласа на плоскости

и в пространстве

Уравнение (33) при переходе к полярным координатам преобразуется к виду

(33*)

Рис 14 Рис 14.1

Если в пространстве перейти к сферическим координатам

то уравнение (34) примет вид

Функции U=U(x,y) на плоскости и U=U(x,y,z) в пространстве, имеющие непрерывные частные производные второго порядка и удовлетворяющие, соответственно, уравнению Лапласа (33) или (34) в некоторой области D , называются гармоническими в этой области. Простейшими примерами гармонических функций являются линейные функции: U = ах + by + с на плоскости и U = ax + by + cz + d в пространстве. Особый интерес представляют решения уравнения Лапласа, обладающие сферической или цилиндрической (в случае двух независимых переменных - круговой) симметрией.

Решение U=U(r) , обладающее сферической симметрией, будет определяться из обыкновенного дифференциального уравнения

Это уравнение получится, если подставить искомую функцию в уравнение Лапласа (34*), записанное в сферических координатах. Интегрируя это уравнение, находим

Где C 1 и C 2 - произвольные постоянные. Полагая C 1 =1 , C 2 =0 , получим функцию

Которую часто называют фундаментальным решением уравнения Лапласа в пространстве. Функция U 0 является гармонической всюду в пространстве, кроме начала координат 0 .

Аналогично, полагая U=U(r) и пользуясь уравнением Лапласа в цилиндрических или полярных координатах, найдем решения, обладающие цилиндрической или круговой симметрией:

Выбирая С 1 =-1 и С 2 =0 , будем иметь функцию

Которую называют фундаментальным решением уравнения Лапласа на плоскости (в случае двух независимых переменных). Функция U 0 удовлетворяет уравнению Лапласа (33) всюду на плоскости, кроме начала координат 0, где она обращается в бесконечность. Фундаментальные решения уравнения Лапласа имеют, помимо большого значения в теории гармонических функций, важный физический смысл.

Рассмотрим в пространстве электрическое поле, образованное точечным зарядом величины q , помещенным в начало координат. Тогда потенциал этого поля равен

Аналогично, если рассмотреть поле, создаваемое заряженной прямой, то потенциал такого поля будет равен

где q 1 - линейная плотность заряда (то есть заряд, рассчитанный на единицу длины).

Теорема о среднем. Пусть функция U=U(x,y) D радиуса R с центром (х o ,у o) и непрерывная в соответствующем замкнутом круге Тогда значение этой функции в центре круга равно ее среднему значению на окружности Г , ограничивающей данный круг, то есть

При доказательстве этой теоремы применим интегральную формулу Пуассона для круга, которая будет доказана позже в лекции 10 . Она имеет вид (см. рис. 15)

Если в этой формуле положить ρ=0 , то получится формула (35).

Теорему о среднем можно представить и в другой форме. Для этого запишем формулу (35) для произвольного круга радиуса r , где (см. рис.15.1):

Рис. 15 Рис. 15.1

Умножив обе части равенства (36) на rdr и проинтегрировав по r в пределах от 0 до R , получим:

или

где D - круг радиуса R . Разделив обе части полученного равенства на R 2 /2 , будем иметь

В правой части формулы (37) записано среднее значение гармонической функции U(x,y) в круге радиуса R .

Имеет место и обратная теорема: если в некоторой области D функция U=U(x,y) непрерывная и для каждой точки выполняется теорема о среднем в любом сколь угодно малом круге с центром в точке (х о, у о) , то эта функция гармоническая в D . Из формулы (37) получается:

Следствие. Если функция U=U(x,y) гармоническая в некотором круге D радиуса R и непрерывная в соответствующем замкнутом круге ,то

Число называют нормой функции U=U(x,y) в области D , и неравенство (38) можно переписать в виде

Неравенство (38) доказывается совсем просто, если воспользоваться известным неравенством Коши-Буняковского:

Применим это неравенство к формуле (37):

Что и требовалось доказать.

Гармонические функции, помимио вышеуказанных свойств, обладают и многими другими свойствами. Приведем еще два из них.

Неравенство Харнака. Пусть функция гармоническая в некотором круге D радиуса R c центром (x o , у o) и непрерывная в соответствующем круге Тогда при любом она удовлетворяет неравенству

Функция а(t) называется гармонической, если она изменяется по синусои-дальному или косинусоидальному закону:

а(t) = А m Cos(ωt + φ) = А m sin(ωt + ψ).

Здесь аргумент υ(t) = ωt + ψ называется фазой. Величина ψ = φ + π/2, равная значению фазы при t = 0 , называется начальной фазой. Наибольшее значение функции – амплитуда А m , наименьшее значение – (–А m).

Фаза гармонической функции линейно увеличивается во времени. Скорость ω её изменения называется угловой частотой и измеряется в
рад/с. Гармоническая функция – простейший вид периодической функции. Величина f, обратная периоду функции Т, называется линейной частотой и измеряется в герцах, обозначается Гц.

Установившимся режимом схемы называется такой, при котором закон изменения напряжения и тока не изменяется в течение всего исследуемого ин-

тервала времени. В противном случае режим является переходным.

Рассмотрим установившиеся процессы.

Построим график гармонической функции:

1. Выберем масштаб. По оси абсцисс – фазу ωt, чтобы определить период функции 2π. По оси ординат – амперы (если это функция тока) или вольты (если это функция напряжения). Отложим амплитуду функции А m (рис. 2.2):

3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на величину начальной фазы ψ. Если ψ > 0, то сдвигаем её влево, то есть функция а(ωt) опережает начало отсчета по оси абсцисс на величину ψ. Если ψ < 0, то сдвигаем вправо, то есть

функция а(ωt) отстает от начала отсчета на величину ψ.

Например, при , получим (рис. 2.4):

Пример 9 . Построить график функции тока i(t) = 2 Sin(ωt + ) А.

1. Выбираем масштаб по осям ординат (рис. 2.5).

2. Строим функцию i´(t) = 2 Sin(ωt +0) А (рис. 2.6).

3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на влево, так как

Ψ = > 0 (рис. 2.7):

3. Сдвигаем построенную функцию по оси абсцисс на вправо, так как

Ψ = – < 0 (рис. 2.10).

Среднее и действующее значения гармонических токов и

Напряжений

Среднее значение периодической функции i(t) , u(t), за период Т определяется выражением:

Среднее значение не зависит от момента времени t 0 .

Среднее значение за период гармонической функции (а таковыми являются ток и напряжение (э.д.с.)) равно нулю.

Действующим значением периодической функции i(t) , u(t), называется среднее квадратическое значение этой функции за период Т:

.

По физическому смыслу действующее значение периодического тока за период – это такой постоянный ток, который, проходя черех неизменное сопротивление, выделяет то же количество тепла, что и данный ток.

Действующее значение I, U, E гармонической функции i(t) , u(t), в

Раз меньше амплитуды

) - 1 , ) - 1 , ) - 1 .

Следовательно,

Пример 11 . Ток i(t) = 5Sin(ωt + ). Определить среднее, действующее и
амплитудное его значения.

Среднее значение I СР = 0, так как i(t) – гармоническая функция. Амплитудное значение I m = 5 А, а действующее ) - 1 = 0,707·5 = =3,535 А.

Операции с комплексными числами

В математике и электротехнике находит достаточно широкое применение мнимая единица , лежащая в основе комплексных чисел.

В общем случае комплексные величины, за исключением тока и напряжения, обозначаются как символ и жирная черта под ним: А . Комплексные числа имеют пять форм представления.

Алгебраическая

А = а + jb; а = Rе [A ]; b = Im[А ] .

здесь а и b – соответственно действительная и мнимая составляющие числа А .

Показательная

А = А·е j ψ ,

где А = − модуль числа А , − аргумент числа А .

Полярная

Тригонометрическая

А = АCosψ + jАSinψ,

где АCosψ = а; АSinψ = b.

Геометрическая – число в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 2.11).

Два комплексных числа называют сопряженными, если их вещественные составляющие совпадают, а мнимые различаются только знаками, Сопряженное числу А комплексное число обозначается. Если А = а + jb, то = а – jb.

Сложение и вычитание комплексных чисел можно делать в алгебраической и геометрической формах, однако в расчетах – только в алгебраической:

А 1 + А 2 = (а 1 + jb 1) ± (а 2 + jb 2) = (а 1 ± а 2) + j(b 1 ± b 2)

Умножение и деление лучше делать в показательной форме

А 1 ·А 2 = А 1 · А 2 · = А 1 ·А 2 · ,

=

Пример 12. Дано А 1 = 2 + j3; А 2 = 5 – j10. Определить сумму и разность
чисел А 1 и А 2 .

А 1 + А 2 = 2 + j3 + (5 – j10) = 7 – j7;

А 1 – А 2 = 2 + j3 – (5 – j10) = – 3 + j13.

Пример 13. Дано А 1 = 10·е j 30° ; А 2 = 20 е –j6 0° . Определить произведение
и частное чисел А 1 и А 2 .

Ā 3 = А 1 ·А 2 = 10·е j 30° · 20 е –j6 0° = 200·е –j3 0° .

Ā 4 = А 1 · = 10·е j 30º · (20 е –j6 0°) –1 = 0,5·е j 90º = 0,5j.

Очень часто в расчетах возникает необходимость перехода от показательной формы комплексного числа к алгебраической или наоборот. Предлагаются алгоритмы перехода.

Алгоритм перехода от показательной А·е jψ формы к алгебраической а + jb.

1. Определяем Cosψ.

2. Определяем А·Cosψ = а (сброс).

3. Определяем Sin ψ.

4. Определяем А·Sin ψ = b.

Алгоритм перехода от алгебраической а + jb формы к показательной А·е jψ .

1. Определяем – рассчитанный аргумент ψ.

2. Истинный аргумент ψ определяется по ψ РАСЧ в зависимости от квадранта в соответствии со схемой (рис. 2.12):

3. Определяем Sin ψ РАСЧ .

4. Определяем .

Пример 14 . Перевести А = 10· в алгебраическую форму.

А = 10· ; .

10·0,865 + j10·0,5 =8,65 + j5.

Перевести А =3 + j6 в показательную форму.

; ψ РАСЧ = arctg 2 = 63°; А = 6,7;

А = 6,7е j63° .

2.4. Представление гармонической функции на комплексной
плоскости

Установившиеся значения токов и напряжений линейных схем при воздействии гармонических сигналов в принципе могут быть найдены путем составления и решения соответствующих этим процессам дифференциальных уравнений. Однако это достаточно сложный путь.

В конце ХIХ века американскими инженерами А. Кеннели и И. Штейнметцем был предложен более простой путь, основанный на представлении гармонических функций времени в виде комплексных чисел, то есть на переводе исходных функций из временной области в частотную.

Введем понятие комплексных амплитудных значений гармонических функций тока (напряжения , э.д.с. ). Представим для этого каждую из этих функций в виде вектора на комплексной плоскости, длина которого равна амплитуде А m . При этом он вращается с круговой частотой ω против часовой стрелки (рис. 2.13).

+1

Если остановить вектор в произвольный момент времени t, то его проекция а(t) на мнимую ось определится:

а(t) = А m ·Sin (ωt + ψ) .

При t = 0 а(0) = А m ·Sinψ.

Таким образом, гармонической функции а(t) = А m ·Sin (ωt + ψ) соответствует комплексное число А m = А m е jψ .

Аналогично гармоническим воздействиям

i(t) = I m ·Sin (ωt + ψ i), u(t) = U m ·Sin (ωt + ψ u) и е(t) = Е m ·Sin (ωt + ψ е) значение тока или напряжения гармонической функции – это комплексное число, модуль которого равен действующему значению тока или напряжения, а аргумент равен начальной фазе гармонической функции. = 10 ()‾ 1 · = 7,07· В.

Справедливо и обратное преобразование.

Известно комплексное действующее значение тока = 0,2е j 70° А на частоте ω = 100 рад/с. Найти гармоническую функцию тока.

i(t) = I m ·Sin (ωt+ψ i) = I · ·Sin (ωt+ψ i) = 0,2· ·Sin (100t+70°) =

ГАРМОНИЧЕСКИЕ И БИГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

КУРСОВАЯ РАБОТА

Введение…………………………………………………………………………3

Глава 1.Гармонические функции.

1.1. Свойства гармонических функций.

Глава 2. Бигармоническая функция.

Единственность решения.

Представление бигармонических функций через гармонические функции.

Решение бигармонического уравнения для круга.

Введение

Теория гармонических функций представляет собой один из наиболее изящных и стройных разделов классического анализа. Будучи во многих отношениях естественным обобщением линейных функций одной переменной, гармонические функции являются в определенном смысле простейшими функциями нескольких переменных. Вместе с тем запас таких функций весьма богат и разнообразен. Они занимают важное место не только во многих математических исследованиях, но также и в приложениях анализа к физике и механике, где ими часто описываются различные стационарные процессы.

Однако этим не исчерпывается значение гармонических функций в анализе. Ряд свойств гармонических и бигармонических функций, методы исследования и аппарат теории, рассмотренные в данной работе, служат образцом для постановки задач и получения тех или иных результатов, относящихся к другим разделам анализа, и прежде всего к общей теории дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического вида.

В традиционном университетском курсе математического анализа по различным причинам не находится места для систематического изложения основных факторов теории гармонических и бигармонических функций. Содержащиеся там сведения о гармонических и бигармонических функциях, как правило, являются весьма скудными, носят эпизодический характер и разбросаны в различных местах, где они приводятся обычно на втором плане. Поэтому, при написании работы был взят материал из книг, посвященных дифференциальным уравнениям математической физики, векторному анализу, теории аналитических функций и другие.

Место, которое занимает теория гармонических функций в анализе, ее непрекращающееся развитие в различных направлениях и расширение области применений оправдывают стремление к ознакомлению с этой теорией в её классическом варианте, где уже достаточно четко намечены некоторые возможные точки зрения и сформулированы типичные методы, во многом определяющие направление ряда современных исследований. Именно с этой целью и написана данная работа.

Глава 1. Гармонические функции.

Гармонической в области D функцией называется действительная функция двух действительных переменных, обладающая в этой области непрерывными вторыми частными производными и удовлетворяющая дифференциальному уравнению

(–символ дифференциального оператора). Это уравнение обычно называют уравнением Лапласа. Однако Лаплас рассмотрел его в 1782г., а задолго до него это уравнение использовал Л. Эйлер в своих работах по гидродинамике и другим разделам математической физики. Заметим сразу, что в силу линейности уравнения Лапласа любая линейная комбинация

гармонических функций с действительными постоянными коэффициентами снова является гармонической функцией.

Свойства гармонических функций.

Выясним прежде всего связь между понятиями аналитических и гармонических функций. Эта связь выражается в следующих двух простых теоремах:

Теорема 1 . Действительная и мнимая части произвольной функции,однозначной и аналитической в области D, являются в этой области гармоническими функциями.

Доказательство непосредственно вытекает из условий Коши-Римана

В самом деле, так как аналитические функции обладают производными всех порядков, то уравнения можно дифференцировать по и. Дифференцируя первое из них по, а второе по и пользуясь теоремой о равенстве смешанных производных находим:

Для функции доказательство аналогично.

Две гармонические в области D функции и, связанные условиями Коши – Римана, называются сопряженными.

Теорема 2 . Для всякой функции, гармонической в односвязной области D, можно найти сопряженную с ней гармоническую функцию.

В самом деле, рассмотрим интеграл

где - фиксированная, а - переменная точка области D. В силу уравнения Лапласа, этот интеграл не зависит от пути интегрирования и является функцией только точки; мы и обозначаем эту функцию. Имеем, пользуясь свойствами криволинейных интегралов,

(мы можем брать интеграл от до по горизонтальному отрезку, на котором; аналогично, . Следовательно, и является искомой функцией, сопряженной с функцией. Так как функция определяется своими частными производными с точностью до постоянного слагаемого, то совокупность всех гармонических функций, сопряженных с, дает формула

где С – произвольная (действительная) постоянная.

Заметим, что в многосвязной области D интеграл определяет, вообще говоря, многозначную функцию. Он может принимать различные значения вдоль двух путей L и, соединяющих точки и, если эти пути нельзя деформировать друг в друга, оставаясь в области D (т.е. если внутри области, ограниченной L и имеются точки не принадлежащие к D). Можно утверждать, что в многосвязной области общая формула для значений функции определяемой интегралом имеет вид:

где произвольные целые числа и интегралы вдоль замкнутых контуров, каждый из которых содержит внутри себя одну связную часть границы D:

Постоянные называются периодами интеграла

или циклическими постоянными.

Если в некоторой области D’, лежащей в D, можно выделить однозначную и непрерывную ветвь функции, определяемой формулой

То эта ветвь, очевидно, является гармонической функцией, сопряженной с поэтому функцию считают многозначной гармонической функцией. Заметим, что частные производные этой функции однозначны: ; это вытекает из формулы.

Теорему2 можно, очевидно, сформулировать так:

Теорема 2’ . Любую гармоническую в области D функцию можно рассматривать как действительную или мнимую часть некоторой аналитической функции; эта последняя определяется с точностью до постоянного слагаемого, соответственно мнимого или действительного.

Теорема 3. Любая гармоническая функция является аналитической функцией своих аргументов и, т.е. в окрестности каждой точки области D она представляется в виде суммы абсолютно сходящегося ряда

В самом деле, по теореме 2’ можно рассматривать как действительную часть функции, однозначной и аналитической в некоторой окрестности точки. Пусть в этой окрестности

где. Действительная часть общего члена ряда, по абсолютной величине не превосходит, а так как по теореме Абеля ряд абсолютно сходится в любом круге, т.е. ряд сходится при, то и ряд с общим членом будет абсолютно сходиться при. Этот ряд и представляет собой ряд для. После перегруппировки его членов (что законно в силу доказанной абсолютной сходимости), мы получаем требуемый ряд

Теорема доказана.

Теорема 4(о среднем). Если функция непрерывна в замкнутом круге радиуса с центром в точке и гармонична внутри этого круга, то

Доказательство вытекает непосредственно из формулы

отделением действительных частей.

Теорема 5 . Отличная от постоянной гармоническая функция не может достигать экстремума во внутренней точке области определения.

Теорему достаточно доказать для случая максимума, ибо точка минимума гармонической функции является точкой максимума функции - ,также гармонической. Предполагая противное, предположим, что гармоническая функция достигает максимума во внутренней точке области.

В окрестности точки построим однозначную аналитическую функцию такую, что. Функция аналитична и непостоянна, а ее модуль, по нашему предположению, достигает максимума во внутренней точке области. это противоречит принципу максимума. Теорема доказана.

Теорема 6 . Если гармоническая во всей открытой плоскости функция ограничена хотя бы сверху или снизу, то она постоянна.

В самом деле, пусть ограничена сверху: Построим аналитическую во всей открытой плоскости функцию такую, что. По условию теоремы все значения функции лежат в полуплоскости, следовательно, постоянна, а значит, постоянна и.

Следующие две теоремы устанавливают характер линий уровня гармонических функций т.е. совокупностей точек, для которых.

Теорема 7. Если отличная от постоянной гармоническая функция имеет замкнутую линию уровня то внутри линии находится хотя бы одна особая точка этой функции.

В самом деле, в противном случае функция, непрерывная в замкнутой области, ограниченной линией уровня, должна достигать своего наибольшего значения и наименьшего значения. По теореме 5 точки и должны лежать на границе области, т.е. на линии уровня; следовательно, и функция постоянна.

Теорема 8 . Любая достаточно малая окрестность точки линии уровня разбивается этой линией на четное число секторов, в которых попеременно принимает значения, большие и меньшие.

Функция равна нулю в точке; подобрав к ней сопряженную функцию так, чтобы, получим аналитическую функцию, также равную нулю в точке. Обозначим через n порядок этого нуля, тогда в окрестности точки имеем и, следовательно, где положено и В- некоторые постоянные и означает малую порядка выше при. Отсюда видно, что для достаточно малых при изменении от 0 до 2 разность обращается в нуль 2 n раз, меняя при этом знак. Теорема доказана.

Теорема 9 . Если функция непрерывна в области D и в любой точке для достаточно малых

то функция гармонична в D.

Наше доказательство основано на теореме существования гармонической функции, принимающей на границе односвязной области заданные значения. Пусть - произвольная точка D и - замкнутая односвязная область, принадлежащая D и содержащая точку внутри. Построим гармоническую функцию, принимающую на границе области те же значения, что и функция и обозначим.

По построению и условиям доказываемой теоремы функция непрерывна в и равна нулю на границе этой области. Кроме того, значение в центре любого круга, принадлежащего, равно среднему арифметическому ее значений на окружности этого круга, ибо этим свойством обладают обе функции и: первая по условию, а вторая по теореме о среднем.

Отсюда вытекает, что функция не может достигать экстремума во внутренних точках.но так как непрерывная в замкнутой области функция должна достигать своих экстремальных значений, то она достигает их на границе. А так как на границе всюду максимальное и минимальное значения равны нулю, а следовательно, всюду в. Это означает, что всюду в функция совпадает с гармонической функцией и, в частности, гармонична в точке. Так как произвольная точка D , то теорема доказана.

Теорема 10. Пусть задана последовательность функций, гармонических в области D и непрерывных в. Если ряд равномерно сходится на границе D, то он равномерно сходится и внутри D, причем его сумма является гармонической в D функцией.

Из принципа экстремума вытекает равномерная сходимость ряда внутри D. В самом деле, по известному признаку признаку сходимости Коши из равномерной сходимости ряда на границе области D следует, что для любого найдется целое число N такое, что для любого и любого целого положительного р и всех точек границы

Так как сумма, стоящая под знаком модуля, гармонична, то по принципу экстремума и для всех точек области

Но по тому же принципу Коши отсюда вытекает равномерная сходимость ряда. Остается показать, что сумма этого ряда - гармоническая функция. Для этого воспользуемся теоремами 9 и 4. Для любого достаточно малого имеем:

(почленное интегрирование ряда законно в силу его равномерной сходимости). По теореме 4 интегралы справа равны, следовательно,

и по теореме 9 функция гармонична в точке. Теорема доказана, так как произвольная точка области D.

Теорема 11. Если функция гармонична в области D и аналитическая в некоторой области функция, значения которой лежат в D, то сложная функция гармонична в.

В самом деле, построим (может быть, многозначную) аналитическую функцию, для которой. Функция, очевидно, аналитическая в области и, следовательно, гармонична в этой области.

Теорема 12. Если функция гармонична в односвязной области D и непрерывна вместе со своими частными производными в, то

где C – граница области D и обозначает производную в направлении нормали к C, a – дифференциал дуги.

Построим в сопряженную к гармоническую функцию; она однозначна в силу односвязности D. Условия Коши – Римана можно записать в виде

где обозначает производную в направлении касательной к некоторой кривой, а - производную в направлении нормали к ней (так, что вращение от вектора к происходит против часовой стрелки). В силу непрерывности частных производных, а следовательно, и их комбинаций и, равенство имеет место и на границе C области D. поэтому вдоль замкнутого контура С

в силу однозначности функции.

Глава 2. Бигармоническая функция.

Уравнение называется бигармоническим, а его решения, имеющие производные до 4-го порядка включительно, называются бигармоническими функциями.

Основная краевая задача для бигармонического уравнения ставится следующим образом:

Найти функцию, непрерывную вместе с первой производной в замкнутой области S+C, имеющую производные до 4-го порядка в S, удовлетворяющую уравнению внутри S и граничным условиям на С

где и - непрерывные функции дуги s.

При решение задачи (с граничными условиями и на границе, кроме того, функция должна удовлетворять начальным условиям) с начальными условиями методом разделения переменных полагают, как обычно,

Подставляя это выражение в уравнение и разделяя переменные, мы приходим к задаче об отыскании собственных значений уравнения

При граничных условиях

1.1Единственность решения.

Докажем, что бигармоническое уравнение

при граничных условиях

имеет единственное решение.

Пусть существует два решения и. Рассмотрим их разность

Функция удовлетворяет бигармоническому уравнению и однородным граничным условиям

Применяя формулу Грина

к функциям, получаем:

Принимая во внимание, что, получаем и. Следовательно, бигармоническая функция однозначно определяется граничными условиями

Представление бигармонических функций через гармонические функции.

Докажем следующую теорему:

Если и - две гармонические в некоторой области G функции, то функция бигармонична в области G.

Для доказательства воспользуемся тождеством

Полагая, найдем

Применяя еще раз оператор, учитывая, что, получим:

Если область G такова, что каждая прямая параллельная оси, пересекает её границу не более чем в двух точках, то имеет место обратная теорема:

для каждой заданной в области G бигармонической функции найдутся такие гармонические функции и, что

Для доказательства этого утверждения, очевидно, достаточно установить возможность выбора функции, удовлетворяющей двум условиям:

Из условия и формулы следует:

Этому уравнению удовлетворяет функция

Так как =, то зависит только от:.

Определим функцию так, чтобы, и положим. Эта функция очевидно будет удовлетворять условиям.

Рассмотрим другой вид представления гармонических функций. Допустим, что начало координат выбрано внутри области G, в одной точке. Тогда любая бигармоническая в G функция может быть представлена с помощью двух гармонических функций и в виде. Здесь

А - заданная постоянная. Это доказывается Аналогично с помощью тождества

и соотношений.

Решение бигармонического уравнения для круга.

Рассмотрим круг радиуса с центром в начале координат и будем искать бигармоническую функцию, удовлетворяющую при граничным условиям

Как было указано выше искомую функцию можно представить в виде суммы,

где и - гармонические функции. Из граничных условий находим:

Отсюда видно, что есть решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа и может быть представлено с помощью интеграла Пуассона

Из второго граничного условия получаем:

Нетрудно убедиться непосредственным дифференцированием, что функция

Удовлетворяет уравнению Лапласа и поэтому может быть выражена интегралом Пуассона

Продифференцировав по и подставляя значение в формулу, найдем

Заменяя в формуле и их выражениями, получим:

Заключение.

Список используемой литературы

Владимиров B.C., Уравнения математической физики, М., 1967;

Гюнтер Н. М., Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики, М., 1953;

Лаврентьев М. А., Ша6ат Б. В., Методы теории функций комплексного переменного, 3 изд., М., 1965.

Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики Новосибирск. 1962;

Маркушевич А. И., Теория аналитических функций, 2 изд., т. 2, М., 1968;

Мусхелишвили Н. И., Некоторые основные задачи математической теории упругости, 5 изд., М., 1966, гл. 2;

Привалов И. И. Граничные свойства аналитических функций, 2 изд., М.- Л. 1950;

Соломенцев Е. Д., Гармонические и субгармонические функции и их обобщения;

Тиман А. Ф., Трофимов В. Н., Введение в теорию гармонических функций, М., 1968;

Закону. В устройствах-потребителях... гармоническое развитие личностиРеферат >> Музыка

Естественными и общественными условиями. Важнейшей задачей гармонического развития личности и массового эстетического воспитания... отношение к жизни и искусству характеризуют целостную, гармонически развитую личность, нравственное совершенствование которой...

Рассмотрим функцию U, гармоническую в ограниченной области (D) с поверхностью (S). Считая, что U непрерывна вместе с производными второго порядка вплоть до (S) и применяя формулу Грина (6) к этой функции U и к гармонической функции , получим, в силу

т. е. имеем первое свойство гармонической функции: интеграл от нормальной производной гармонической функции по поверхности области равен нулю.

Если применим к гармонической функции U формулу (9), то, в силу , получим

Это дает нам второе свойство гармонической функции: значение гармонической функции в любой точке внутри области выражается через значения этой функции и ее нормальной производной на поверхности области формулой (13).

Отметим, что интегралы в формулах (12) и (13) не содержат производных второго порядка функции и для применимости этих формул достаточно предположить, что гармоническая функция непрерывна вместе с производными первого порядка вплоть до (S). Чтобы убедиться в этом, достаточно несколько сжать поверхность (S), написать формулы (12) и (13) для сжатой области (D), в которой имеется непрерывность и производных второго порядка вплоть до поверхности, и затем перейти к пределу, расширяя (D) до (D). Сжатие можно произвести, например, откладывая на внутренней нормали к (S) в каждой ее точке один и тот же малый отрезок длины 8. Концы этих отрезков образуют новую (сжатую) поверхность. При этом поверхность (S) должна быть такой, что описанное преобразование при всех достаточно малых 8 приводит к поверхности, которая не пересекает сама себя и является кусочно-гладкой . Этот вопрос будет подробно изложен в томе IV.

Применим формулу (13) к частному случаю области, а именно к сфере с центром в и радиусом R, считая, конечно, что

функция U гармоническая в этой сфере и непрерывна с производными первого порядка вплоть до ее поверхности (21)

В данном случае направление внешней нормали совпадает с направлением радиуса сферы, так что мы будем иметь

и формула (13) дает

Но на поверхности сферы величина имеет постоянное значение R, так что

или, в силу (12), будем иметь окончательно

Формула эта выражает третье свойство гармонической функции: значение гармонической функции в центре сферы равно среднему арифметическому значению этой функции на поверхности сферы, т. е. равно интегралу от значений функции по поверхности сферы, деленному на площадь этой поверхности.

Из этого свойства почти с очевидностью вытекает следующее четвертое свойство гармонической функции:

Функция, гармоническая внутри области и непрерывная вплоть до границы области, достигает своего наибольшего и наименьшего значения только на границе области, кроме того случая, когда эта функция есть постоянная. Приведем подробное доказательство этого утверждения. Пусть достигает наибольшего значения в некоторой внутренней точке той области где гармоническая функция. Построим сферу с центром и радиусом , принадлежащую применим формулу (14) и заменим подынтегральную функцию U ее наибольшим значением на сфере Таким образом получим

причем знак равенства имеет место только в том случае, когда U на сфере есть постоянная, равная . Поскольку по предположению и есть наибольшее значение в мы можем утверждать, что имеет место знак равенства, и что, следовательно,

Равна постоянной внутри и на поверхности всякой сферы с центром принадлежащей D. Покажем, что отсюда следует, что есть постоянная и во всей области

Пусть N - любая точка, лежащая внутри D. Нам надо показать, что Соединим с N линией конечной длины, например ломаной линией, лежащей внутри и пусть d - кратчайшее расстояние от границы S области D (d - положительное число). В силу доказанного выше равна постоянной в шаре с центром и радиусом d. Пусть - последняя точка пересечения линии с поверхностью упомянутого шара, если считать от Мы имеем и по доказанному выше равна постоянной и в шаре с центром и радиусом d. Пусть последняя точка пересечения l с поверхностью этого шара. Как и выше, функция равна постоянной и в шаре с центром и радиусом d и т. д. Путем построения конечного числа таких шаров мы и убедимся в том, что что и требовалось доказать. Можно показать также, что не может иметь внутри D ни максимумов, ни минимумов. Пользуясь доказанным свойством гармонических функций, очень легко показать, что внутренняя задача Дирихле, о которой мы упоминали в , может иметь только одно решение. Действительно, если предположить, что существуют две функции гармонические внутри D и принимающие на поверхности S этой области одни и те же предельные значения то разность будет также удовлетворять внутри D уравнению Лапласа, т. е. будет гармонической функцией, и ее предельные значения на поверхности 5 везде равны нулю. Отсюда, в силу доказанного выше, непосредственно следует, что обращается в нуль тождественно во всей области ибо в противном случае она должна была бы достигать внутри положительного наибольшего значения или отрицательного наименьшего значения, что невозможно. Таким образом два решения задачи Дирихле должны совпадать во всей области D. Совершенно так же доказывается единственность внешней задачи Дирихле, если учесть, что по условию в бесконечно далекой точке гармоническая функция должна обращаться в нуль.

Совершенно аналогичные свойства получаются и для гармонических функций на плоскости. В данном случае вместо формулы (13) мы будем иметь формулу

и теорема о среднем будет выражаться в виде

где - окружность с центром и радиусом R. Для внешней задачи Дирихле в бесконечно далекой точке требуется не обращение в нуль, как в трехмерном случае, но лишь существование какого-либо конечного предела, и единственность задачи Дирихле надо доказывать иначе, чем в прежнем случае. Мы приведем это доказательство в томе IV, где рассмотрим задачи Дирихле и Неймана более подробно.

Отметим сейчас, что любая постоянная есть гармоническая функция, удовлетворяющая предельному условию

откуда видно, что если к решению задачи Неймана добавить произвольную постоянную, то полученная сумма также будет решением задачи Неймана с теми же предельными значениями т. е. решение задачи Неймана определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого. Из формулы (12) следует также, что функция входящая в предельное условие внутренней задачи Неймана, не может быть произвольной, но должна удовлетворять условию

В заключение отметим еще, что формула (13) справедлива и в том случае, когда есть гармоническая функция в бесконечной области, образованной частью пространства, находящейся вне поверхности S. При этом надо только сделать предположение о порядке малости на бесконечности, т. е. при беспредельном удалении точки М. Достаточно (и необходимо) предположить, что при беспредельном удалении имеют место неравенства

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

- функция, непрерывная со своими вторыми производными в области G и удовлетворяющая в G Лапласа уравнению =0. Г. ф. возникают при решении задач электростатики, теории тяготения, гидродинамики несжимаемой жидкости, теории упругости и др. Г. ф. являются, напр., потенциалы сил в точках вне источников их поля, потенциал скоростей несжимаемой жидкости. Простейшим примером Г. ф. служит фундам. решение ур-ния Лапласа, описывающее потенциал точечного источника. Любую Г. ф. можно представить в виде суммы потенциалов простого и двойного слоев, выражающихся через значения Г. ф. и и её нормальной производной : если r - расстояние от любой точки P 0 внутри G до переменной точки P на границе S, то в случае трёх измерений

Для Г. ф. справедлив принцип экстремума: ф-ция, гармоническая внутри G и непрерывная в замкнутой области G+S, достигает своего наибольшего и наименьшего значения только на S, кроме того случая, когда эта ф-ция постоянна. Этот принцип позволяет устанавливать общие свойства физ. величин, не прибегая к вычислениям. Напр., в электростатике из него следует теорема Ирншоу. Удобный метод решения задач для Г. ф. на плоскости даёт теория ф-ций комплексного переменного z=x+iy. Если w=u+iv - аналитическая ф-ция от z в G, то и(х, у )и v(х, у )являются Г. ф. в G. Поэтому мн. задачи удаётся решить с помощью конформного отображения области G в нек-рую стандартную область (круг, полуплоскость). Граничные условия для Г. ф. определяют соответствующие краевые задачи, из к-рых чаще встречаются первая краевая задача, или Дирихле задача, когда на границе S Г. ф. принимает заданные значения, и вторая краевая задача, или Неймана задача, когда в каждой точке S задана нормальная производная Г. ф.

Лита.: Смирнов В. И., Курс высшей математики, т. 2, 21 изд., M., 1974; Соболев С. Л., Уравнения математической физики, 4 изд, M., 1966.

• - наименьшая гармоническая мажоранта семейства - нижняя огибающая семейства всех супергармонич. мажорант vk , семейства субгармонич...

  Математическая энциклопедия

• - термин, иногда применяемый для обозначения емкости множества в евклидовом пространстве, получаемой методом классической потенциала теории при помощи ньютонова потенциала при или логарифмического потенциала...

  Математическая энциклопедия

• - пропорция, ср. члены к-рой равны, а последний член представляет собой разность между первым и средним: a:b = b:. Разложение числа а на два слагаемых b и а-b наз. гармонич. делением или золотым сечением...
• - функция неск. переменных, непрерывная в нек-рой области вместе со своими частными производными 2-го порядка и удовлетворяющая в этой области дифференциальному ур-нию Лапласа...

  Естествознание. Энциклопедический словарь

• - основная физическая характеристика квантовой системы, функция динамических переменных, полностью описывающая состояние системы...

  Начала современного Естествознания

• - последовательность вида 1/а, 1/в, 1/с..., где а, в, с и т.д. является АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИЕЙ. Простейший пример - ряд чисел, обратных положительным целым: 1,1/2, 1/3, 1/4,.....

  Научно-технический энциклопедический словарь

• - син. термина складчатость параллельная...

  Геологическая энциклопедия

• - А.-гармоническая средняя из двух чисел получается следующим образом. Пусть данные числа суть a и h и h1 = 2ah/...

  Энциклопедический словарь Брокгауза и Евфрона

• - пропорция, средние члены которой равны, а последний член представляет собой разность между первым и средним: а: b = b: ...

  Большая Советская энциклопедия

• - ГАРМОНИЧЕСКАЯ пропорция - пропорция, средние члены которой равны, а последний член представляет собой разность между первым и средним: a:b=b:...
• - ГАРМОНИЧЕСКАЯ функция - функция нескольких переменных, непрерывная в некоторой области вместе со своими частными производными 2-го порядка и удовлетворяющая в этой области дифференциальному Лапласа уравнению...

  Большой энциклопедический словарь

• - Предназначение языка быть средством завязывания контактов между индивидами...
• - Использование языка в той или иной коммуникативной сфере вместе с другим языком в связи с тем, что он не в состоянии самостоятельно в полной мере обслуживать данную сферу...

  Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило

• - в математике три числа, имеющие такое свойство, что отношение двух из них равно отношению разностей между каждым из них и третьим числом; напр. если А: В = А - С: В - С; то А, В и С составляют гарм. пропорции...

  Словарь иностранных слов русского языка

• - Одновременное функционирование разных языков в одной и той же сфере или подсфере...

  Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило

• - Использование языка для интеллектуального, эмоционального или волевого воздействия на адресата...

  Словарь лингвистических терминов Т.В. Жеребило

"ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ" в книгах

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

автора Александров Юрий

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ

Из книги Основы психофизиологии автора Александров Юрий

ГАРМОНИЧЕСКАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ Гармоническая фильтрация основана на обработке спектров исходного сигнала, рассчитанных, например, при помощи быстрого преобразования Фурье (Fast Fourier Transformation – FFT). Спектр Фурье представляет собой сигнал в виде набора sin и cos функций, которые при

Гармоническая организация

Из книги Чёрная музыка, белая свобода автора Барбан Ефим Семёнович

Гармоническая организация Джаз не создал собственного гармонического языка. Блюзовая гамма - не более чем слегка измененная разновидность европейского темперированного звукоряда. Возникший на ее основе афроамериканский лад (точнее, тональность) в основе своей был

Гармоническая система счисления Майя

Из книги Фактор Майя [Внетехнологический путь] автора Аргуэльес Хосе

Гармоническая система счисления Майя Майянская система счисления основана на экспоненциальной двоичной последовательности чисел с основанием степени 20. Вся последовательность записывается с использованием лишь трех условных обозначений: точки, означающей единицу;

Функция

Из книги Избранное: Социология музыки автора Адорно Теодор В

Функция

Из книги автора

Функция (лат. functio – исполнение, совершение) – обязанность, круг деятельности. «Функция – это существование, мыслимое нами в действии» (Й. Гёте, цит. по Е. Никитину. Функция. – Философская энциклопедия, т. 5. М., 1970, с. 418.).Функция появляется у предмета (объекта, элемента) лишь

Функция

Из книги Энциклопедический словарь (Т-Ф) автора Брокгауз Ф. А.

Функция Функция (мат.). – К сказанному следует еще прибавить несколько замечаний. Предположим, что у есть Ф. от независимой переменой х. Может случиться, что эта Ф. определена не для всех значений х, а только для некоторых. Напр., Ф.у = 1. 2. 3:.. (x – 1).x определена только для целых

Гармоническая пропорция

Из книги Большая Советская Энциклопедия (ГА) автора БСЭ

ФУНКЦИЯ

Из книги Новейший философский словарь автора Грицанов Александр Алексеевич

Функция SUM

Из книги Обработка баз данных на Visual Basic®.NET автора Мак-Манус Джеффри П

Функция SUM Ваши возможности в подведении итогов не ограничены простым подсчетом записей. Используя функцию SUM, можно генерировать итоговые результаты для всех возвращаемых записей по любым числовым полям. Например, для создания запроса, который генерирует итоги по

Функция uni()

Из книги Fiction Book Designer 3.2. Краткое руководство автора Izekbis

Функция uni()

Из книги Fiction Book Designer Краткое руководство автора Автор неизвестен

Функция uni() Поиск/замена символа по его юникодному номеру также может быть сделана при помощи функции uni().Пример функции uni(): Boouni(107,32)Designer найдет слово Book

Функция not

Из книги Технология XSLT автора Валиков Алексей Николаевич

Функция sum

Из книги Технология XSLT автора Валиков Алексей Николаевич

Часть 1. Полная функция управления в толпо-“элитаризме” и в реальном народовластии 1.1. Полная функция управления и первобытная практика её реализации в жизни общества

Из книги «О текущем моменте» № 7(79), 2008 г. автора СССР Внутренний Предиктор

Часть 1. Полная функция управления в толпо-“элитаризме” и в реальном народовластии 1.1. Полная функция управления и первобытная практика её реализации в жизни общества В достаточно общей теории управления (ДОТУ) есть понятие «полная функция управления». Полная функция