В соответствии с подпунктом 5.2.41 Положения о Министерстве образования и науки Российской Федерации, утвержденного постановлением Правительства Российской Федерации от 3 июня 2013 г. N 466 (Собрание законодательства Российской Федерации, 2013, N 23, ст. 2923; N 33, ст. 4386; N 37, ст. 4702; 2014, N 2, ст. 126; N 6, ст. 582; N 27, ст. 3776; 2015, N 26, ст. 3898; N 43, ст. 5976), и пунктом 17 Правил разработки, утверждения федеральных государственных образовательных стандартов и внесения в них изменений, утвержденных постановлением Правительства Российской Федерации от 5 августа 2013 г. N 661 (Собрание законодательства Российской Федерации, 2013, N 33, ст. 4377; 2014, N 38, ст. 5069), приказываю:
Структура программы бакалавриата
| Структура программы бакалавриата | Объем программы бакалавриата в з. е. | ||
|---|---|---|---|
| программа академического бакалавриата | программа прикладного бакалавриата | ||
| Блок 1 | Дисциплины (модули) | 219-222 | 210-216 |
| Базовая часть | 87-102 | 78-96 | |
| Вариативная часть | 120-132 | 120-132 | |
| Блок 2 | Практики | 9-15 | 15-24 |
| Вариативная часть | 9-15 | 15-24 | |
| Блок 3 | Государственная итоговая аттестация | 6-9 | 6-9 |
| Базовая часть | 6-9 | 6-9 | |
| Объем программы бакалавриата | 240 | 240 | |
6.3. Дисциплины (модули), относящиеся к базовой части программы бакалавриата, являются обязательными для освоения обучающимся вне зависимости от направленности (профиля) программы бакалавриата, которую он осваивает.
Набор дисциплин (модулей), относящихся к базовой части программы бакалавриата, организация определяет самостоятельно в объеме, установленном настоящим ФГОС ВО, с учетом соответствующей (соответствующих) примерной (примерных) основной (основных) образовательной (образовательных) программы (программ).
6.4. Дисциплины (модули) по философии, истории, иностранному языку, безопасности жизнедеятельности реализуются в рамках Блока 1 "Дисциплины (модули)" программы бакалавриата. Объем, содержание и порядок реализации указанных дисциплин (модулей) определяются организацией самостоятельно.
6.5. Дисциплины (модули) по физической культуре и спорту реализуются в рамках:
7.1.3. В случае реализации программы бакалавриата в сетевой форме требования к реализации программы бакалавриата должны обеспечиваться совокупностью ресурсов материально-технического и учебно-методического обеспечения, предоставляемого организациями, участвующими в реализации программы бакалавриата в сетевой форме.
7.1.4. В случае реализации программы бакалавриата на созданных в установленном порядке в иных организациях кафедрах и (или) иных структурных подразделениях организации требования к реализации программы бакалавриата должны обеспечиваться совокупностью ресурсов указанных организаций.
7.1.5. Квалификация руководящих и научно-педагогических работников организации должна соответствовать квалификационным характеристикам, установленным в Едином квалификационном справочнике должностей руководителей, специалистов и служащих, разделе "Квалификационные характеристики должностей руководителей и специалистов высшего профессионального и дополнительного профессионального образования", утвержденном приказом Министерства здравоохранения и социального развития Российской Федерации от 11 января 2011 г. N 1н (зарегистрирован Министерством юстиции Российской Федерации 23 марта 2011 г., регистрационный N 20237), и профессиональным стандартам (при наличии).
7.1.6. Доля штатных научно-педагогических работников (в приведенных к целочисленным значениям ставок) должна составлять не менее 50 процентов от общего количества научно-педагогических работников организации.
7.2. Требования к кадровым условиям реализации программы бакалавриата.
7.2.1. Реализация программы бакалавриата обеспечивается руководящими и научно-педагогическими работниками организации, а также, лицами, привлекаемыми к реализации программы бакалавриата на условиях гражданско-правового договора.
7.2.2. Доля научно-педагогических работников (в приведенных к целочисленным значениям ставок), имеющих образование, соответствующее профилю преподаваемой дисциплины (модуля), в общем числе научно-педагогических работников, реализующих программу бакалавриата, должна составлять не менее 70 процентов.
7.2.3. Доля научно-педагогических работников (в приведенных к целочисленным значениям ставок), имеющих ученую степень (в том числе ученую степень, присвоенную за рубежом и признаваемую в Российской Федерации) и (или) ученое звание (в том числе ученое звание, полученное за рубежом и признаваемое в Российской Федерации), в общем числе научно-педагогических работников, реализующих программу бакалавриата, должна быть не менее 50 процентов.
7.2.4. Доля работников (в приведенных к целочисленным значениям ставок) из числа руководителей и работников организаций, деятельность которых связана с направленностью (профилем) реализуемой программы бакалавриата (имеющих стаж работы в данной профессиональной области не менее 3 лет) в общем числе работников, реализующих программу бакалавриата, должна быть не менее 10 процентов.
7.3. Требования к материально-техническому и учебно-методическому обеспечению программы бакалавриата.
7.3.1. Специальные помещения должны представлять собой учебные аудитории для проведения занятий лекционного типа, занятий семинарского типа, курсового проектирования (выполнения курсовых работ), групповых и индивидуальных консультаций, текущего контроля и промежуточной аттестации, а также помещения для самостоятельной работы и помещения для хранения и профилактического обслуживания учебного оборудования. Специальные помещения должны быть укомплектованы специализированной мебелью и техническими средствами обучения, служащими для представления учебной информации большой аудитории.
Для проведения занятий лекционного типа предлагаются наборы демонстрационного оборудования и учебно-наглядных пособий, обеспечивающие тематические иллюстрации, соответствующие примерным программам дисциплин (модулей), рабочим учебным программам дисциплин (модулей).
Перечень материально-технического обеспечения, необходимого для реализации программы бакалавриата, включает в себя лаборатории, оснащенные лабораторным оборудованием, в зависимости от степени его сложности. Конкретные требования к материально-техническому и учебно-методическому обеспечению определяются в примерных основных образовательных программах.
Помещения для самостоятельной работы обучающихся должны быть оснащены компьютерной техникой с возможностью подключения к сети "Интернет" и обеспечением доступа в электронную информационно-образовательную среду организации.
В случае применения электронного обучения, дистанционных образовательных технологий допускается замена специально оборудованных помещений их виртуальными аналогами, позволяющими обучающимся осваивать умения и навыки, предусмотренные профессиональной деятельностью.
В случае неиспользования в организации электронно-библиотечной системы (электронной библиотеки) библиотечный фонд должен быть укомплектован печатными изданиями из расчета не менее 50 экземпляров каждого из изданий основной литературы, перечисленной в рабочих программах дисциплин (модулей), практик и не менее 25 экземпляров дополнительной литературы на 100 обучающихся.
7.3.2. Организация должна быть обеспечена необходимым комплектом лицензионного программного обеспечения (состав определяется в рабочих программах дисциплин (модулей) и подлежит ежегодному обновлению).
7.3.3. Электронно-библиотечные системы (электронная библиотека) и электронная информационно-образовательная среда должны обеспечивать одновременный доступ не менее 25 процентов обучающихся по программе бакалавриата.
7.3.4. Обучающимся должен быть обеспечен доступ (удаленный доступ), в том числе в случае применения электронного обучения, дистанционных образовательных технологий, к современным профессиональным базам данных и информационным справочным системам, состав которых определяется в рабочих программах дисциплин (модулей) и подлежит ежегодному обновлению.
7.3.5. Обучающиеся из числа лиц с ограниченными возможностями здоровья должны быть обеспечены печатными и (или) электронными образовательными ресурсами в формах, адаптированных к ограничениям их здоровья.
7.4. Требования к финансовым условиям реализации программы бакалавриата.
7.4.1. Финансовое обеспечение реализации программы бакалавриата должно осуществляться в объёме не ниже установленных Министерством образования и науки Российской Федерации базовых нормативных затрат на оказание государственной услуги в сфере образования для данного уровня образования и направления подготовки с учетом корректирующих коэффициентов, учитывающих специфику образовательных программ в соответствии с Методикой определения нормативных затрат на оказание государственных услуг по реализации образовательных программ высшего образования по специальностям (направлениям подготовки) и укрупненным группам специальностей (направлений подготовки), утвержденной приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 30 октября 2015 г. N 1272 (зарегистрирован Министерством юстиции Российской Федерации 30 ноября 2015 г., регистрационный N 39898).
_____________________________
* Перечень направлений подготовки высшего образования - бакалавриата, утвержденный приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от 12 сентября 2013 г. N 1061 (зарегистрирован Министерством юстиции Российской Федерации 14 октября 2013 г., регистрационный N 30163), с изменениями, внесенными приказами Министерства образования и науки Российской Федерации от 29 января 2014 г. № 63 (зарегистрирован Министерством юстиции Российской Федерации 28 февраля 2014 г., регистрационный № 31448), от 20 августа 2014 г. № 1033 (зарегистрирован Министерством юстиции Российской Федерации 3 сентября 2014 г., регистрационный № 33947), от 13 октября 2014 г. № 1313 (зарегистрирован Министерством юстиции Российской Федерации 13 ноября 2014 г., регистрационный № 34691) и от 25 марта 2015 г. № 270 (зарегистрирован Министерством юстиции Российской Федерации 22 апреля 2015 г., регистрационный N 36994) и от 1 октября 2015 г. N 1080 (зарегистрирован Министерством юстиции Российской Федерации 19 октября 2015 г., регистрационный N 39355).
** Федеральный закон от 27 июля 2006 г. N 149-ФЗ "Об информации, информационных технологиях и о защите информации" (Собрание законодательства Российской Федерации, 2006, N 31, ст. 3448; 2010, N 31, ст.4196; 2011, N 15, ст. 2038; N 30, ст. 4600; 2012, N 31, ст. 4328; 2013, N 14 ст. 1658; N 23, ст. 2870; N 27, ст. 3479; N 52, ст. 6961, ст. 6963; 2014, N 19, ст. 2302; N 30, ст. 4223, ст. 4243), Федеральный закон от 27 июля 2006 г. N 152-ФЗ "О персональных данных" (Собрание законодательства Российской Федерации, 2006, N 31, ст. 3451; 2009, N 48, ст. 5716; N 52 ст. 6439; 2010, N 27, ст. 3407; N 31, ст. 4173, ст. 4196; N 49, ст. 6409; 2011, N 23, ст. 3263; N 31, ст. 4701; 2013, N 14, ст. 1651; N 30, ст. 4038; N 51, ст. 6683; 2014, N 23, ст. 2927, N 30, ст. 4217, ст. 4243).
Обзор документа
Утвержден федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования по направлению подготовки "Информатика и вычислительная техника" (уровень бакалавриата) (09.03.01).
Он представляет собой совокупность требований, обязательных при реализации основных профессиональных образовательных программ высшего образования - программ бакалавриата по указанному направлению подготовки.
Стандарт содержит характеристики направления подготовки и профессиональной деятельности выпускников, освоивших программу бакалавриата. Также он устанавливает требования к результатам освоения и структуре программы бакалавриата.
Учебно-методическое пособие
к лабораторной работе № 1.10
Целью работы является изучение законов динамики вращательного движения твердого тела, ознакомление с маятником Максвелла и методикой измерения на нем момента инерции колеса маятника Максвелла относительно оси, проходящей через его центр масс, а так же экспериментальное нахождение ускорения поступательного движения центра масс колеса маятника Максвелла.
1. Основные понятия вращательного движения твердого тела.
Под твердым телом в механике понимается модель абсолютно твердого тела – тела, деформациями которого в условиях данной задачи можно пренебречь. Такое тело можно рассматривать как систему жестко закрепленных материальных точек. Любое сложное движение твердого тела всегда можно разложить на два основных вида движения – поступательное и вращательное.
Поступательным движением твердого тела называется движение, при котором любая прямая, проведенная через любые две точки тела, остается параллельной самой себе во все время (рис.1). При таком движении все точки твердого тела движутся совершенно одинаково, то есть имеют одну и ту же скорость, ускорение, траектории движения, совершают одинаковые перемещения и проходят одинаковый путь. Следовательно, поступательное движение твердого тела можно рассматривать как движение материальной точки. Такой точкой может являться, в частности, центр масс (центр инерции) тела С. Под центром масс тела понимается точка приложения результирующей массовых сил, действующих на тело. Массовые силы – это силы, пропорциональные массам элементов тела, на которые эти силы действуют, при условии что силы, действующие на все элементы тела, параллельны друг другу.
Так как при поступательном движении все элементарные массы Δm i твердого тела движутся с одинаковыми скоростями и ускорениями, то для каждой из них справедлив второй закон Ньютона:
,
(1)
где 
- сумма всех внутренних сил, действующих на элементарную массу Δm i (всего таких сил будет i-1, так как сама на себя частица действовать не может), а 
сумма всех внешних сил действующих на элементарную массу Δm i со стороны других тел. Просуммировав уравнения (1) по всему телу и учитывая, что сумма всех внутренних сил 
согласно третьему закону Ньютона равна нулю, получим закон динамики поступательного движения твердого тела:
Или 
, (3)
где - результирующая всех внешних сил, действующих на тело в целом, - импульс (количество движения) тела. Полученное уравнение (3) поступательного движения твердого тела совпадает с уравнением динамики материальной точки.
Вращательным движением твердого тела называется движение, при котором все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения тела. При вращательном движении все точки тела движутся с одной и той же угловой скоростью и угловым ускорением и совершают одинаковые угловые перемещения. Однако, как показывает опыт, при вращательном движении твердого тела вокруг закрепленной оси масса уже не является мерой его инертности, а сила – недостаточна для характеристики внешнего воздействия. Так же из опыта следует, что ускорение при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения относительно оси вращения; зависит не только от силы, но и от точки ее приложения и направления действия. Поэтому, для описания вращательного движения твердого тела введены новые характеристики, такие как момент силы, момент импульса и момент инерции тела . При этом, следует иметь в виду, что существует два разных понятия этих величин: относительно оси и относительно любой точки О (полюса, начала), взятой на этой оси.
Моментом силы относительно неподвижной точки О называется векторная величина, равная векторному произведению радиус-вектора , проведённого из точки О в точку приложения результирующей силы , на вектор этой силы:
(4)
Вектор момента силы всегда перпендикулярен плоскости, в которой расположены вектора и , а его направление относительно этой плоскости определяется по правилу векторного произведения или по правилу буравчика. Согласно правилу буравчика: если рукоятку буравчика вращать по направлению действия силы , то поступательное движение буравчика будет совпадать с направлением вектора момента силы (рис.2). Вектора, направление которых связывают с направлением вращения (угловая скорость, угловое ускорение, момент силы, момент импульса и т.п.), называют псевдовекторами
или аксиальными
в
отличие отобычных векторов (скорость, радиус-вектор, ускорение и т.п.), которые называют полярными
.
Величина
вектора момента силы (численное значение момента силы) определяется согласно формуле векторного произведения (4), т.е. 
, где a -
угол между направлениями векторов и . Величина p= r·Sinα называется плечом силы (рис.2).Плечо силы р - это кратчайшее расстояние от точки О до линии действия силы .
Моментом силы относительно оси , называется проекция на эту ось вектора момента силы, найденного относительно любой точки, принадлежащей этой оси. Ясно, что относительно оси момент силы является скалярной величиной.
В системе СИ момент силы измеряется в Н·м.
Для введения понятия момента импульса тела, введем сначала это понятие для материальной точки, принадлежащей вращающемуся твердому телу.
Моментом импульса материальной точки Δm i относительно неподвижной точки О называется векторное произведение радиус-вектора , проведенного из точки О в точку Δm i , на вектор импульса этой материальной точки:
, (5)
где 
- импульс материальной точки.
Моментом импульса твердого тела (или механической системы) относительно неподвижной точки О называется вектор ,
равный геометрической сумме моментов импульса относительно этой же точки О всех материальных точек данного тела, т.е. 
.
Моментом импульса твердого тела относительно оси
называется проекция на эту ось вектора момента импульса тела относительно любой точки, выбранной на данной оси. Совершенно очевидно, в этом случае момент импульса является скалярной величиной. В системе СИ момент импульса измеряется в 
Мерой инертности тел при поступательном движении является их масса. Инертность же тел при вращательном движении зависит не только от массы тела, но и от ее распределения в пространстве относительно оси вращения. Мерой инертности тела при вращательном движении является момент инерции тела I относительно оси вращения или точки. Момент инерции, как и масса, величина скалярная.
Моментом инерции тела относительно оси вращения называется физическая величина равная сумме произведений масс материальных точек, на которые можно разбить все тело, на квадратырасстояний каждой из них до оси вращения:
,
(6)
где 
-момент инерции материальной точки.
Моментом инерции тела относительно точки О, лежащей на оси, называется скалярная величина, равная сумме произведений массы каждой материальной точки данного тела на квадрат ее расстояния до точки О. Расчетная формула момента инерции аналогична формуле (6).
В системе СИ момент инерции измеряется в кг·м 2 .
2. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела .
Найдем связь между моментом силы и моментом импульса твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси ОО. Для этого мысленно разобьем тело на элементарные части (массы), которые можно считать материальными точками.
Каждая из входящих в это твердое тело материальных точек будет двигаться по окружности в плоскости, перпендикулярной оси вращения, а центры всех этих окружностей будут лежать на этой оси. Понятно, что все точки тела в данный момент времени имеют одинаковую угловую скорость и одинаковое угловое ускорение. Рассмотрим i-материальную точку, масса которой Δm i , а радиус окружности, по которой она движется, r i . На нее действуют как внешние силы со стороны других тел, 
так и внутренние - со стороны других материальных точек, принадлежащих этому же телу. Разложим результирующую силу , действующую на материальную точку массы Δm i , на две взаимно перпендикулярные составляющие силы и , причем так, чтобы вектор силы совпадал по направлению с касательной к траектории движения частицы, а сила - перпендикулярна к этой касательной (Рис.3). Совершенно очевидно, что вращение данной материальной точки обусловлено только касательной составляющей силы , величину которой можно представить в виде суммы внутренней 
и внешней 
сил. В этом случае для точки Δm i второй закон Ньютона в скалярном виде будет иметь вид
(7)
С учетом того, что при вращательном движении твердого тела вокруг оси, линейные скорости движения материальных точек по круговым траекториям различны по величине и направлению, а угловые скорости w для всех этих точек одинаковы (и по величине и направлению), заменим в уравнении (7) линейную скорость на угловую (v i =wr i):
. (8)
Введем в уравнение (8) момент силы, действующей на частицу. Для этого умножим левую и правую часть уравнения (8) на радиус r i , который по отношению к результирующей силе является плечом:
. (9)
, (10)
где каждый член в правой части уравнения (10) есть момент соответствующей силы относительно оси вращения. Если в это уравнение ввести угловое ускорение вращения материальной точки массы Δm i относительно оси ( = ) и ее момент инер-
ции ΔI i относительно этой же оси (
=ΔI i), то уравнение вращательного движе-
ния материальной точки относительно оси примет вид:
ΔI i · = 
(11)
Аналогичные уравнения можно записать для всех других материальных точек, входящих в данное твердое тело. Найдем сумму этих уравнений с учетом того, что величина углового ускорения для всех материальных точек данного вращающегося тела будет одинаковой, получим:
Суммарный момент внутренних сил 
равен нулю, так как каждая внутренняя сила, согласно третьему закону Ньютона, имеет равную по величине, но противоположно направленную себе силу, приложенную к другой материальной точке тела, с таким же плечом. Суммарный момент 
= М – есть вращающий момент всех внешних сил, действующих на вращающееся тело. Сумма моментов инерции 
=I определяет момент инерции данного тела относительно оси вращения. После подстановки указанных величин в уравнение (12) окончательно получим:
Уравнение (13) называется основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела относительно оси. Так как = , а момент инерции тела относительно данной оси вращения является постоянной величиной и, следовательно, его можно внести под знак дифференциала, то уравнение (13) можно записать в виде:
. (14)
Величина
называется моментом импульса тела относительно оси. C учетом (15) уравнение (14) можно записать в виде:
(16)
Уравнения (13-16) носят скалярный характер, и применяются только для описания вращательного движения тел относительно оси. При описании вращательного движения тел относительно точки (или полюса, или начала), принадлежащей данной оси, указанные уравнения соответственно записываются в векторном виде:
(13 *); 
(14 *); 
(15 *); 
(16 *).
При сравнении уравнений поступательного и вращательного движения тела видно, что при вращательном движении вместо силы выступает ее момент силы, вместо массы тела – момент инерции тела, вместо импульса (или количества движения) – момент импульса (или момент количества движения). Из уравнений (16) и (16 *) следует соответственно уравнение моментов относительно оси и относительно точки:
dL=Mdt (17); 
(17 *) .
Согласно уравнению моментов относительно оси (17) – изменение момента импуль-
са тела относительно неподвижной оси равно моменту импульса внешней силы, действующей на тело относительно этой же оси. Относительно точки (17 *) уравнение моментов формулируется: изменение вектора момента импульса относительно точки равно импульсу момента вектора силы, действующего на тело, относительно этой же точки.
Из уравнений (17) и (17 *) вытекает закон сохранения момента импульса твердого тела как относительно оси, так и относительно точки. Из уравнения (17) следует, если суммарный момент всех внешних сил М относительно оси равен нулю
(M=0, следовательно и dL=0) то момент импульса этого тела относительно оси его вращения остается постоянной величиной (L=Const).
Относительно точки: если суммарный вектор момента всех внешних сил относительно точки вращения О остается неизменным, то вектор момента импульса этого тела относительно этой же точки О остается постоянным.
Надо отметить, что если система отсчета, относительно которой рассматривается вращение тела, является неинерциальной , то момент силы М включает в себя как момент сил взаимодействия, так и момент сил инерции относительно той же оси
или точки.
3. Описание установки. Вывод рабочей формулы.
Рис.4. Лабораторная установка.
Основание 1, оснащено тремя регулировочными опорами, с помощью которых устанавливается вертикальное положение штативов 2 и 9.
С помощью миллиметровой линейки 3 и двух передвижных визиров 4 определяется расстояние пройденное центром маятника 5 при его падении. В верхней части штативов 2 расположен узел 6 для регулировки длины нитей маятника 5. На нижнем подвижном кронштейне 7 установлен «световой барьер» 8 – электронный измеритель времени. На стойке 9 расположено «пусковое устройство» 10.
Основным элементом установки является маятник 5, состоящий из диска, через центр которого проходит ось диаметром D. На эту ось наматываются две симметрично расположенные относительно плоскости диска нити одинаковой длины.
Действие установки основано на законе сохранения механической анергии: полная механическая анергия Е системы, на которую действуют только консервативные силы, постоянна и определяется согласно уравнения:
Е = 
+ , (18)
где -кинетическая энергия вращательного движения маятника, I-момент инерции маятника, w-угловая скорость вращательного движения диска.
Закручивая на ось маятника нити, мы поднимаем его на высоту h и создаем ему запас потенциальной энергии. Если отпустить маятник то он начинает опускаться под действием силы тяжести, приобретая одновременно вращательное движение. В нижней точке, когда маятник опустится на полную длину нитей, поступательное движение вниз прекратится. При этом раскрутившийся диск со стержнем продолжает вращательное движение в том же направлении по инерции и снова наматывает нити на стержень. Вследствие этого диск со стержнем начинает подниматься вверх. После достижения наивысшей точки цикл колебательного движения возобновится. Диск со стержнем будет совершать колебания вверх и вниз, такое устройство и называется маятником Максвелла..
Для получения рабочей формулы рассмотрим силы, действующие на маятник Максвелла (рис.5).
Такими силами являются: сила тяжести m , приложенная к центру масс системы и сила натяжения нитей . Запишем для этой системы уравнение поступательного движения маятника. В соответствии со вторым законом Ньютона для поступательного движения центра массы маятника уравнение движения имеет вид:
m = m +2 , где -ускорение центра масс маятника,
Сила натяжения одной нити. Спроектируем это уравнение на ось ОУ совпадающую с направлением движения центра масс маятника:
m = mg – 2T (19)
Помимо поступательного движения маятник участвует и во вращательном движении за счет действия на него момента силы Т. Тогда, для такого движения маятника запишем основной закон динамики вращательного движения как для абсолютно твердого тела:
где I – момент инерции колеса маятника относительно его оси вращения, -угловое ускорение маятника, М – результирующий момент внешних сил относительно оси вращения колеса маятника.
Если нет проскальзывания между осью и нитями и нить можно считать нерастяжимой, то линейное ускорение связано с угловым кинематическим соотноше-
нием: 
, где v- линейная скорость движения центра масс маятника, r- радиус оси маятника. Тогда угловое ускорение можно записать в виде
(21)
Так как сила тяжести m проходит через центр массы системы и, следовательно, ее момент силы равен нулю, то момент силы М, действующий на маятник, будет обусловлен действием только суммарной силы натяжения, равной 2Т. В этом случае, и с учетом уравнения (21), уравнение (20) можно записать в виде:
(22)
Из уравнения (19) найдем результирующую силу 2Т и подставим ее в уравнение (22):
. (23)
Разделив правую и левую часть уравнения (23) на величину ускорения , после простых преобразований, получим формулу для расчета момента инерции I в виде:
. (24)
Так как величины I, m и r, входящие в уравнение (24), в процессе движения не изменяются, то движение маятника должно происходить с постоянным ускорением. Для такого движения расстояние h, пройденное за время t, при движении с нулевой начальной скоростью равно 
. Откуда 
. Подставив найденное ускорение в уравнение (24) и заменив величину радиуса оси маятника r на ее диаметр D, окончательно получим основную рабочую формулу для расчета момента инерции маятника:
. (25)
В рабочей формуле (25):
m – масса маятника, равная сумме масс диска m д, и оси m о;
D – внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной на нее нитью подвески
(D = D 0 + d o , где D o – диаметр оси маятника, d o – диаметр нити подвески);
t - время прохождения маятником расстояния h при его падении;
g – ускорение свободного падения.
Страницы работы
1. Цель работы: определение момента инерции маятника Максвелла. Определение силы натяжения нитей при движении и в момент «рывка» (нижняя точка траектории).
2. Теоретические основы работы.
Маятник Максвелла представляет собой однородный диск, насаженный на цилиндрический вал (рис. 1); центры масс диска и вала лежат на оси вращения. На вал радиусом r намотаны нити, концы которых закреплены на кронштейне. При разматывании нитей маятник Максвелла совершает плоское движение. Плоским называют такое движение, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. Плоское движение маятника можно представить как сумму двух движений — поступательного движения центра масс вдоль оси OY
, со скоростью V
и вращательного движения с угловой скоростью w
относительно оси O
’
Z
, проходящей через центр масс маятника.
Здесь индекс С означает центр масс системы.
Основное уравнение динамики вращательного движения для маятника максвелла относительно мгновенной оси O ‘ Z , проходящей через центр масс имеет вид
Здесь J Z — момент инерции маятника относительно оси O ‘ Z .
Е Z — проекция углового ускорения на ось O’Z ; левая часть уравнения — алгебраическая сумма моментов внешних сил относительно оси O’Z .
Если нить не проскальзывает, то скорость центра масс маятника и угловая скорость w связаны кинематическим соотношением
а) Определение момента инерции маятника Максвелла.
Используя закон сохранения механической энергии можно экспериментально определить момент инерции маятника. Для этого измеряется время t опускания маятника массой m с высоты h .
Примем потенциальную энергию маятника Максвелла W п.н. = 0 в положении, когда маятник находится в нижней точке. Кинетическая энергия в этом положении
Здесь V — скорость центра масс маятника; w — угловая скорость;
J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через центр масс: m = m в + m д + m л — масса маятника; m в , m д, m л — массы вала, диска и кольца, входящих в состав маятника. В верхнем положении маятника его потенциальная энергия
а кинетическая энергия равна нулю. Из закона сохранения механической энергии для маятника Максвелла (диссипативными силами, т.е. силами трения, сопротивления воздуха и т.п. пренебрегаем) следует
Так как центр масс маятника движется прямолинейно и равноускоренно, то
Подставляя соотношение (4) в (2) и используя соотношение между скоростью центра масс и угловой скоростью вращения маятника относительно оси симметрии, получим формулу для расчета экспериментального момента инерции маятника Максвелла
Здесь r – радиус вала
Полученный результат сравниваем со значением момента инерции, определяемым из теоретических соображений. Теоретический момент инерции маятника Максвелла можно рассчитать по Формуле
Здесь J B , J Д, J K — моменты инерции составных частей маятника: вала, диска и кольца соответственно. Используя общую формулу для определения момента инерции
найдем моменты инерции элементов маятника Максвелла.
МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА
Цель работы : познакомиться с закономерностями плоского движения тел, определить момент инерции диска маятника Максвелла.
Оборудование : маятник Максвелла, секундомер.
Плоским движением твердого тела называется такое движение, при котором траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях.
Получим уравнение кинетической энергии плоского движения. Небольшая частица тела, как и положено материальной точке, движется поступательно и обладает кинетической энергией . Представим скорость частицы как сумму скорости центра масс V
0 и скорости движения U i
относительно оси О
, проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения (рис. 1). Суммарная кинетическая энергия всех частиц будет равна .
Потребуем, чтобы средний член, то есть сумма импульсов частиц относительно оси О, был бы равен нулю. Так будет, если относительное движение будет вращательным, , с угловой скоростью ω. (Если подставить относительную скорость в средний член, то получим формулу для расчета центра масс тела ).
В итоге кинетическая энергия плоского движения может быть представлена как сумма энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс
. (1)
Здесь m –
масса тела, 
–
момент инерции тела относительно оси О,
проходящей через центр масс.
Рассмотрим другой способ представления плоского движения, как только вращение вокруг так называемой мгновенной оси. Сложим эпюры скоростей в поступательном и вращательном движении для точек тела, лежащих на перпендикуляре к вектору V
0 , (рис. 2).
Есть в пространстве такая точка С, результирующая скорость которой равна нулю. Через неё проходит так называемая мгновенная ось вращения, относительно которой тело совершает только вращательное движение. Расстояние между центром масс и мгновенной осью можно определить из соотношения между угловой и линейной скоростью центра масс .
Уравнение кинетической энергии вращательного движения относительно мгновенной оси имеет вид
Здесь J с – момент инерции тела относительно мгновенной оси. Сопоставив уравнения (1) и (2), при , получим
. (3)
Это выражение называется теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно данной оси С равен сумме момента инерции относительно оси О , проходящей через центр масс и параллельной данной и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями.
Рассмотрим закономерности плоского движения на примере маятника Максвелла (рис. 3). Маятник представляет собой диск, может быть с надетым кольцом, на оси которого закреплен круглый стержень небольшого радиуса r
. На концах стержня намотаны две нити, на которых маятник подвешен. Если маятник отпустить, то он падает, одновременно вращаясь. Траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях, поэтому это плоское движение. Центр масс расположен на оси симметрии, а мгновенная ось вращения совпадает с образующей стержня и проходит через точки касания нитей на расстоянии r
от центра масс. В нижней точке движения маятник, продолжая по инерции вращаться, наматывает нити на стержень и начинает подниматься. В идеальном случае, при отсутствии сопротивления, он поднялся бы до исходного положения.
Система тел маятник – Земля является замкнутой, а внутренние силы тяжести и натяжения нитей консервативные. Если в первом приближении можно пренебречь действием сил сопротивления, то можно применить закон сохранения энергии: потенциальная энергия маятника в верхнем исходном положении превращается в нижней точке в кинетическую энергию плоского движения (1):
. (4)
Подставим в это уравнение угловую скорость вращения , и скорость поступательного движения по формуле кинематики равноускоренного движения . После преобразований получим расчетную формулу для момента инерции относительно оси симметрии
. (5)
Время падения измеряется секундомером. При нажатии на кнопку «Пуск» отключается электромагнит, удерживающий маятник и начинается счет времени. При пересечении маятником луча фотоэлемента счет прекращается. Высота падения измеряется по шкале на стойке по положению луча фотоэлемента (рис. 3)
Момент инерции относительно оси симметрии для маятника можно рассчитать теоретически как сумму моментов инерции стержня, диска и кольца:
1. Установить фотоэлемент в нижнем положении так, чтобы маятник при опускании перекрывал луч фотоэлемента. Длина нитей подвеса регулируется винтом с контргайкой на кронштейне стойки. Измерить высоту падения как координату луча по шкале на стойке.
Включить установку в сеть 220 В, нажать кнопку «Сеть».
2. Вращая стержень, намотать нить на стержень, подняв диск до электромагнита. Произойдет примагничивание диска. Нажать кнопку «Пуск». Магнит отпустит маятник, и он начнет опускаться, начнется счет времени секундомером. Записать в табл. 1 высоту падения и время падения.
Закон сохранения энергии. Маятник Максвелла
1 Краевая научно-практическая конференция учебно-исследовательских работ учащихся 9-11 классов «Прикладные и фундаментальные вопросы математики» Прикладные вопросы математики Закон сохранения энергии. Маятник Максвелла Соколова Дарья Витальевна, 10 кл., МБОУ «Лицей 1», г. Пермь, Савина Марина Витальевна, учитель физики. Пермь
2 Введение В мире нас окружает столько интересных вещей, которые стали для нас привычными и мы не замечаем их уникальность. Нас не интересует происхождение электрочайника, пульта для телевизора, пылесоса, ведь мы пользуемся этими вещами каждый день и нам не важно, на чём основана их работа. Иногда нужно уделить время для изучения чего-то нового. Всем известна игрушка под названием Йо-йо. С помощью неё многие выполняют разные эффектные трюки. Первое определение Йо-йо игрушка из двух одинаковых по размеру и весу дисков, скрепленных осью с привязанной к ней верёвкой. Это определение самого древнего варианта игрушки, который можно встретить и по сей день. Нам стало интересно, на чём основана её работа. Оказалось, что Йо-йо этого типа работает по принципу маятника Максвелла, оно раскручивается по верёвке и возвращается обратно и так, пока не остановится. Джеймс Клерк Максвелл
3 Джеймс Клерк Максвелл британский физик, математик и механик. Шотландец по происхождению. Максвелл заложил основы современной классической электродинамики (уравнения Максвелла), ввёл в физику понятия тока смещения и электромагнитного поля, получил ряд следствий из своей теории (предсказание электромагнитных волн, электромагнитная природа света, давление света и другие). Один из основателей кинетической теории газов (установил распределение молекул газа по скоростям). Одним из первых ввёл в физику статистические представления, показал статистическую природу второго начала термодинамики («демон Максвелла»), получил ряд важных результатов в молекулярной физике и термодинамике (термодинамические соотношения Максвелла, правило Максвелла для фазового перехода жидкость газ и другие).
4 Маятник Максвелла Маятник Максвелла представляет собой круглое твердое тело, насаженное на ось. Ось подвешена на двух накручивающихся на нее нитях. Действие прибора основано на одном из основных законов механики — законе сохранения механической энергии: полная механическая энергия системы, на которую действуют только консервативные силы, постоянна. Под действием силы тяжести маятник совершает колебания в вертикальном направлении и вместе с тем крутильные колебания вокруг своей оси. Пренебрегая силами трения, систему можно считать консервативной. Закрутив нити, мы поднимаем маятник на высоту h, сообщив ему запас потенциальной энергии. При освобождении маятника он начинает движение под действием силы тяжести: поступательное вниз и вращательное вокруг своей оси. При этом потенциальная энергия переходит в кинетическую. Опустившись в крайнее нижнее положение, маятник будет по инерции вращаться в том же направлении, нити намотаются на ось и маятник поднимется. Так происходят колебания маятника.
5 Закон сохранения энергии Философские предпосылки к открытию закона были заложены ещё античными философами. Ясную, хотя ещё не количественную, формулировку дал в «Началах философии» (1644г) Рене Декарт. Аналогичную точку зрения выразил в XVIII веке М. В. Ломоносов. В письме к Эйлеру он формулирует свой «всеобщий естественный закон» (5 июля 1748 года), повторяя его в диссертации «Рассуждение о твердости и жидкости тел» (1760). Одним из первых экспериментов, подтверждавших закон сохранения энергии, был эксперимент Жозефа Луи Гей-Люссака, проведённый в 1807 году. Пытаясь доказать, что теплоёмкость газа зависит от объёма, он изучал расширение газа в пустоту и обнаружил, что при этом его температура не изменяется. Однако, объяснить этот факт ему не удалось. В начале XIX века рядом экспериментов было показано, что электрический ток может оказывать химическое, тепловое, магнитное и электродинамическое действия. Такое многообразие подвигло М. Фарадея выразить мнение, заключающееся в том, что различные формы, в которых проявляются силы материи, имеют общее происхождение, то есть могут превращаться друг в друга. Эта точка зрения, по своей сути, предвосхищает закон сохранения энергии. Первые работы по установлению количественной связи между совершённой работой и выделившейся теплотой были проведены Сади Карно. В 1824 году им была опубликована небольшая брошюра «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу». Количественное доказательство закона было дано Джеймсом Джоулем в ряде классических опытов. Результаты которых были изложены на физико-математической секции Британской ассоциации в его работе 1843 года «О тепловом эффекте магнитоэлектричества и механическом значении тепла». Первым осознал и сформулировал всеобщность закона сохранения энергии немецкий врач Роберт Майер. Формулировку в точных терминах закону сохранения энергии первым дал Герман Гельмгольц. Закон сохранения энергии основной закон природы, заключающийся в том, что энергия замкнутой системы сохраняется во времени. Другими словами, энергия не может возникнуть из ничего и не может в никуда исчезнуть, она может только переходить из одной формы в другую. Поскольку закон сохранения энергии относится не к конкретным величинам и явлениям, а отражает общую, применимую везде и всегда, закономерность, то правильнее называть его не законом, а принципом сохранения энергии. Частный случай Закон сохранения механической энергии механическая энергия консервативной механической системы сохраняется во времени. Проще говоря, при отсутствии диссипативных сил (например, сил трения) механическая энергия не возникает из ничего и не может никуда исчезнуть.
6 Вечный двигатель Существует множество мифов о вечных двигателях, но, несмотря на многочисленные попытки, никому не удавалось построить вечный двигатель, производящий полезную работу без воздействия извне. Вот некоторые модели вечных двигателей: Цепочка шаров на треугольной призме «Птичка Хоттабыча» Цепочка поплавков
7 Архимедов винт и водяное колесо Магнит и желоба Ученые стали догадываться, что вечный двигатель построить нельзя. В 19 веке была построена наука термодинамика. Одной из основ термодинамики стал закон сохранения энергии, который являлся обобщением многих экспериментальных фактов. Термодинамику можно использовать для описания работы ряда механизмов, например, двигателей внутреннего сгорания или холодильных установок. Если известно, как и при каких условиях работает механизм, можно рассчитать, сколько работы он произведет. В 1918 году Эмма Нётер доказала важную теорему для теоретической физики, согласно которой в системе, обладающей симметриями, появляются сохраняющиеся величины. Сохранению энергии соответствует однородность времени. Как нужно понимать «однородность времени»? Пусть у нас есть какоенибудь устройство. Если я его включаю сегодня, завтра или через много лет, и оно работает каждый раз одинаково, то для такой системы время однородно, и в ней будет работать закон сохранения энергии. К сожалению, школьных знаний недостаточно, чтобы доказать теорему Нётер. Но доказательство математически строгое, и связь между однородностью течения времени и сохранением энергии однозначна. Попытка построить вечный двигатель, работающий сколь угодно долго, это попытка обмануть природу. Такая же бессмысленная, как и попытка преодолеть 1000 километров за 10 минут на автомобиле со скоростью 100 км/ч (помните формулу s = vt?).
8 Что же получается, энергия всегда сохраняется? Не установили ли физики границу познания со своим законом сохранения энергии? Конечно нет! В общем случае, если в системе нет однородности времени, энергия не сохраняется. Примером такой системы является Вселенная. Известно, что Вселенная расширяется. Сегодня она не такая, как в прошлом, и в будущем изменится. Таким образом, во Вселенной нет однородности времени, и для нее закон сохранения энергии неприменим. Более того, энергия всей Вселенной не сохраняется. Дают ли такие примеры отсутствия сохранения энергии надежду на построение вечного двигателя? К сожалению, не дают. На земных масштабах расширение Вселенной совершенно незаметно, и для Земли закон сохранения энергии выполняется с огромной точностью. Вот так физика объясняет невозможность построения вечных двигателей. В ходе выполнения этой работы мы наткнулись на видео в интернете. Оно называется «Вечный двигатель». На нём показана несложная конструкция из картона, которая не прекращая крутилась. Мы выяснили, что это одна из древнейших конструкций вечного двигателя. Она представляет зубчатое колесо, в углублениях которого прикреплены откидывающиеся на шарнирах грузы. Геометрия зубьев такова, что грузы в левой части колеса всегда оказываются ближе к оси, чем в правой. По замыслу автора, это, в согласии с законом рычага, должно было бы приводить колесо в постоянное вращение. При вращении грузы откидывались бы справа и сохраняли движущее усилие.
9 Однако если такое колесо изготовить, оно останется неподвижным. Причина этого факта заключается в том, что хотя справа грузы имеют более длинный рычаг, слева их больше по количеству. В результате моменты сил справа и слева оказываются равны. Мы сделали такую же картонную конструкцию и убедились, что она действительно не работает.
10 Практическая часть
11 Итак, теперь мы знаем, что такое маятник Максвелла и на чём основана его работа. Мы решили изготовить различные маятники, чтобы выяснить от чего зависит их работа. Чтобы узнать, как зависит работа маятника от нити, мы изготовили два одинаковых маятника с нитями, различными по толщине: У маятника с толстой нитью T(период время, за которое маятник движется сверху вниз и обратно) = 2.6с У маятника с тонкой нитью T = 2.65с Вывод: работа маятника не зависит от толщины нити. Также нити различались по длине: l = 46см, T= 2.5с l = 92см, T = 4.6с Увеличив длину нити в 2 раза, период тоже увеличился примерно в два раза. Вывод: период пропорционален длине нити.
12 Чтобы узнать зависит ли работа маятника от стержня, мы изготовили два одинаковых маятника со стержнями, различными по толщине: У маятника, толщина стержня которого = 1см, T = 2.5с У маятника, толщина стержня которого = 1.5см, T = 2с Вывод: чем тоньше стержень маятника, тем больше период.
13 Так же стержни различались по длине: l=11см, T=2,5с l=6см, T=2,5с Вывод: Работа маятника не зависит от длины стержня. Чтобы узнать, как зависит работа маятника от диска, мы изготовили два одинаковых маятника, с дисками различными по ширине:
14 У маятника ширина которого =1 мм, T = 4,5с У маятника, ширина диска которого = 12мм, T = 5с В 12 раз увеличив ширину, период увеличился незначительно. Вывод: Ширина диска не сильно влияет на работу маятника. Так же диски различались по массе:
15 m большая, T = 5.2с m маленькая, T = 5с Разница масс двух маятников была достаточно большая, а период почти не изменился. Вывод: Масса диска совсем незначительно влияет на работу маятника. Так же диски имели различный радиус:
16 R=6, T = 5с R=4, T = 3.5с Мы уменьшили R на 1\3 и период тоже уменьшился примерно на 1\3. Вывод: Период пропорционален радиусу. Чтобы рассчитать механическую энергию маятника, надо найти его потенциальную и кинетическую энергию из которых она складывается. Потенциальная энергия маятника считается по формуле: Eп=mgh Где m(масса маятника) = 0,054кг g(ускорение свободного падения) = 9,81м/с2 h(высота на которую опускается маятник) = 0,21м Eп=0,055 9,81 0,21=0,113 Дж Кинетическая энергия маятника находится по формуле: Eк= mv22+ Jω22= mv22+ Jv22r2= mv22(1+jmr2) Где ω=vr угловая скорость маятника; r(радиус стержня маятника) = 0,0003м; v(скорость опускания центра масс маятника)= 2ht=2 0,212,6=0,16м/с; t(время опускания маятника) = 2,6с J момент инерции маятника, который находится по формуле: J= mr2 ga-1 = mr2 gt22h- 1
17 Где a= 2ht2 — ускорение поступательного движения центра масс маятника J=0,055 0,0003 0,0003 9,81 2,6 2,62 0,21-1 = 0, Теперь мы можем посчитать кинетическую энергию маятника: Eк= 0,055 0,16 0,055 0,003 0,003= 0, 11Дж Теперь легко посчитать механическую энергию нашего маятника: Eм=Eп+Eк Eм= 0,113+0,11=0,223Дж Заключение В своей работе мы подробно рассказали про закон сохранения энергии и маятник Максвелла. Мы узнали, как на работу маятника влияют все его составные части. Мы ответили на все вопросы, которые возникали у нас по этой теме.
Маятник Максвелла. Определение момента инерции тел. и проверка закона сохранения энергии
Транскрипт
1 Лабораторная работа 9 Маятник Максвелла. Определение момента инерции тел ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ Маятник Максвелла представляет собой диск, закрепленный на горизонтальной оси и подвешенный бифилярным способом. На диск надеваются кольца для того, чтобы можно было менять массу, и, следовательно, момент инерции маятника. Рис. 1. Схема лабораторной установки Маятник удерживается в верхнем положении электромагнитом. При выключении электромагнита маятник Максвелла, вращаясь вокруг горизонтальной оси, опускается вертикально вниз с ускорением. При этом выполняется закон сохранения энергии, т.е. потенциальная энергия поднятого маятника переходит в кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. 1 из
2 mv mgh (1) m m 0 m mk масса маятника Максвелла; m 0 масса оси маятника; m масса диска; m k масса кольца. Полученное выражение можно использовать для определения момента инерции маятника. Таким образом, с помощью маятника Максвелла можно решить две экспериментальные задачи: 1. Осуществить проверку закона сохранения энергии в механике;. Определить момент инерции маятника. ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ Маятник максвелла, секундомер, измерительная линейка на вертикальной колонке, электромагнит, штангенциркуль. КРАТКАЯ ТЕОРИЯ Определение момента инерции маятника Из уравнения (1) определим момент инерции маятника. Для этого выразим величины v и через высоту подъема маятника h. Считая поступательное движение маятника вниз равноускоренным с начальной скоростью v 0. Из уравнения кинематики: at h ; h v, t v a ; v r t h () rt r радиус оси диска. из
3 Тогда, подставляя полученные значения v и в выражение (1), получим: mgh 4m h 4 h (3) t r t Полученное выражение преобразуем относительно момента инерции: gt mr 1 или h md gt экспер 1 (4) h D D 0 DH ; D 0 диаметр оси диска; D H диаметр нити. Выражение (4) является рабочей формулой для экспериментального определения момента инерции маятника. Теоретическое значение момента инерции маятника Максвелла представляет собой сумму моментов инерции: 1. Момент инерции оси маятника 1 0 m0d0, (5) m 0 и D 0 масса и внешний диаметр оси маятника.. Момент инерции диска 1 m D0 D, (6) m и D масса и внешний диаметр диска. 3 из
4 3. Момент инерции кольца k 1 mk D Dk, (7) m k и D k масса и внешний диаметр кольца. Запишем эту сумму: теор 0 k теор 1 m0d 0 1 m 1 D D m D D 0 k k () Выражение () является рабочей формулой для определения теоретического значения момента инерции маятника Максвелла. Проверка закона сохранения энергии Закон сохранения энергии: полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной. W W K W П const Потенциальная энергия поднятого маятника равна: W П mgh, (9) m m 0 m mk масса маятника. Кинетическая энергия маятника складывается из кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии вращательного движения: 4 из
5 W K mv (10) После замены значений v и из уравнений () получим h t 4 m D0 W K (11) m m 0 m mk масса маятника. Если не учитывать трение и сопротивление среды, то величиныw и W K должны быть одинаковы. Расчет относительной и абсолютной погрешностей искомых величин Последовательно логарифмируя и дифференцируя выражение (4), получим формулу для расчета относительной погрешности при измерении момента инерции: D0 h t (1) D h t 0 Абсолютную погрешность измерения момента инерции определим по формуле: П (13) Чтобы правильно оценить полученные результаты на данной экспериментальной установке, необходимо сравнить экспериментальное экспер и теоретическое теор значения момента инерции маятника. Погрешности определения момента инерции выразится так: 5 из
6 теор экспер 100% (14) теор Погрешность при определении энергии вычисляется по формуле: WП WK W 100% (15) W ХОД РАБОТЫ П 1. Измерить штангенциркулем диаметры диска, кольца, оси маятника, нити.. Нижний кронштейн прибора зафиксировать в крайнем нижнем положении. 3. Отрегулировать длину нити таким образом, чтобы край стального кольца, закрепленного на диске, после опускания маятника находился на мм ниже оптической оси нижнего фотоэлемента. 4. Откорректировать ось маятника так, чтобы она была параллельно основанию прибора. 5. Отжать клавишу «ПУСК» и «СБРОС». 6. На ось маятника намотать нить подвески и зафиксировать маятник при помощи электромагнита. Проверить совпадает ли нижний край кольца с нулем шкалы на колонке. Если нет, то отрегулировать. 7. Нажать клавишу «ПУСК». Записать получившееся значение времени падения маятника и повторить замер времени 5 раз с одним и тем же кольцом на диске. Определить среднее значение времени падения. 6 из
7 . По шкале на вертикальной колонке прибора определить высоту падения маятника, отмечая по нижнему краю кольца верхнее и нижнее положение маятника. 9. Используя формулы (4, 9, 11), произвести расчеты момента инерции и энергии маятника экспер, теор, W П, W K. Вычисления в данной работе рекомендуется выполнять с использованием программы Microsoft Office Excel или другими программами для работы с электронными таблицами 10. Рассчитать погрешности определения момента инерции и значений энергии W с помощью формул (1, 13, 14, 15), используя средние значения 11. Сделайте вывод. экспер, теор, W K, W П. Таблица h, м t, с m k, кг экспер, кг м теор, кг м W П, Дж W K, Дж Среднее значение 7 из
8 КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Что называется моментом инерции тела?. Момент инерции это мера инертности тела во вращательном движении. Объясните смысл данного выражения. 3. Чему равен момент инерции диска? 4. Запишите формулу для определения момента инерции кольца? 5. Чему равен момент инерции тонкостенного цилиндра? 6. Выведите формулу экспериментального значения момента инерции маятника Максвелла. 7. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.. Дайте определение потенциальной энергии. 9. Дайте понятие кинетической энергии. 10. Как выглядит закон сохранения энергии для маятника Максвелла? из
физ / маятник максвелла 4-5
Министерство образования и науки Российской Федерации Государственное образовательное учреждение высшего
«УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ В МЕХАНИКЕ.
Учебно-методическое пособие к лабораторной работе по механике
Учебно-методическое пособие предназначено для студентов всех форм обучения. Содержит краткие сведения по теории и описанию порядка выполнения лабораторной работы по разделу “Механика”.
Составители: Лейберт Б.М., доц., канд.техн.наук Шестакова Р.Г., доц., канд.хим.наук
Гусманова Г.М., доц., канд.хим.наук
Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2010
Цель работы: определение момента инерции маятника Максвелла с использованием закона сохранения энергии.
Приборы и принадлежности: Маятник Максвелла, штангенциркуль.
При изучении вращательного движения вместо понятия «масса» пользуются понятием «момент инерции». Моментом инерции материальной точки относительно какой-нибудь оси вращения называется величина, равная произведению массы i-й точки на квадрат расстояния от этой точки до оси вращения
Твердое тело есть совокупность n материальных точек, поэтому его момент инерции относительно оси вращения равен
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу
где интегрирование ведется по всему объему тела.
Согласно (3) получены моменты инерции тел любой формы. Например, момент инерции однородного цилиндра (диска) относительно оси цилиндра равен
где R – радиус цилиндра, внутренним радиусом R 1 равен
m – его масса, а момент инерции полого цилиндра с и внешним радиусом R 2 относительно оси цилиндра
I 1 m R 1 2 R 2 2 .
Из определения момента инерции
следует, что момент инерции твер-
дого тела – аддитивная величина. Адди-
тивность момента инерции означает, что
момент инерции системы тел равен сум-
ме моментов инерции всех тел,
щих в систему. В качестве примера оп-
ределим момент инерции маятника Максвелла, который состоит из трех элемен-
тов: оси, ролика и кольца (рис. 1). Ось – сплошной цилиндр, для которого
Кольцо и ролик – полые цилиндры, для которых
m K D K 2 D P 2 ,
m P D P 2 D 0 2 .
Согласно свойству аддитивности, момент инерции маятника Максвелла равен сумме моментов инерции оси, ролика и кольца
Здесь m 0 , m р, m к, D 0 , D р, D к — соответственно массы и внешние диаметры оси ролика и кольца.
Определим момент инерции маятника Максвелла экспериментально на основе закона сохранения энергии (рис. 2). Маятник Мак- свелла представляет собой диск, ось которого подвешена на двух накручивающихся на нее нитях. Закрутив маятник, мы
тем самым поднимаем его на высоту h над первоначальным положением и сообщаем ему потенциальную энергию
Предоставим маятнику двигаться под действием силы тяжести. При раскручивании нити маятник одновременно совершает вращательное и поступательное движение. Дойдя до нижнего положения, маятник снова начнет подниматься вверх, с той начальной скоростью, которую он достиг в нижней точке. Если пренебречь силами трения, то на основе за-
кона сохранения механической энергии потенциальная энергия маятника Максвелла превращается в нижней точке в кинетическую энергию поступательного и вращательного движений
mgh mV 2 I 2 , 2 2
где V — скорость поступательного движения центра масс маятника;- угловая скорость вращательного движения;
I — момент инерции маятника относительно оси вращения. Используя связь между линейной и угловой скоростью
где r — радиус оси маятника, найдем из (10)
- Возврат товара в рознице 1с 82 Вопрос: Как отразить возврат товаров при оформлении операций розничной торговли в "1С:Бухгалтерии 8" (ред. 3.0)? Дата публикации 21.06.2016 Использован релиз 3.0.43 Продажа товаров в розничной торговле Для оформления документа на возврат товаров от розничного покупателя в […]
- Ответственное лицо руководитель не имеет права подписи этого документа 1с Вопрос: Где можно заполнить список оснований на право подписи документов в "1С:Бухгалтерии 8" (ред. 3.0)? Дата публикации 11.08.2016 Использован релиз 3.0.43 Как установить ответственных лиц за ведение регистров бухгалтерского и […]
- Закон разбор слова по составу ФЕДЕРА́ЛЬНЫЙ, -ая, -ое. 1. То же, что федеративный. Предложения со словом «федеральный»: Регулирование значительного числа земельных отношений отнесено к уровню федерального закона. Такого рода органы федеральной исполнительной власти не вправе заниматься управлением […]
- Правила игры в Техасский Холдем В «техасском покере», или как правильнее говорить - «Техасском Холдеме», как впрочем и во всех других разновидностях покера, прежде чем начнется раздача карт, два игрока после дилера (BU) должны поставить принудительные ставки (блайнды). Рассмотрим пример покерной раздачи в […]
- Как общаться с турфирмами Мы продолжаем публикацию серии материалов, в сезон отпусков полезных для каждого отдыхающего. В представленном материале - краткая информация о том, как обеспечить свою юридическую (а порой - и не только!) безопасность при составлении и подписании многочисленных бумаг, оформляющих […]
- Закон есть закон / La legge è legge (1958) Название: Закон есть законНазвание зарубежное: La legge è leggeСтрана: Италия, ФранцияРежиссер: Кристиан-ЖакВ ролях:Фернандель, Тото, Рене Женен, Анри Ариюс, Альбер Динан, Натали Нерваль, Жан Брошар, Нино Безоцци, Леда Глория, Анна Мария ЛючаниРоли дублировали: […]
- Союз и в сложном предложении правило Сложносочиненное предложение Между простыми предложениями, входящими в состав сложного, ставится запятая: Настало утро, и все разошлись по домам. Запятая НЕ ставится, если соединенные союзами предложения имеют общие второстепенный член, вводное слово, сравнительный […]
- Правила съема: Теория бабника / The Jerk Theory (2009) Название: Правила съема: Теория бабникаНазвание зарубежное: The Jerk TheoryСтрана: СШАРежиссер: Скотт С. АндерсонВ ролях:Джош Хендерсон, Дженна Дуан-Татум, Лорен Сторм, Дерек Ли Никсон, Джесси Хейман, Энтони Гэскинс, Абрахам Тейлор, Джэси Твисс, Дэнни […]
Цель работы.
На примере маятника Максвелла познакомиться с вычислением и экспериментальным измерением момента инерции цилиндрического твердого тела относительно оси симметрии.
Оборудование.
Маятник Максвелла.
Темы для изучения.
В лабораторной работе на примере маятника Максвелла рассмотрены законы поступательного и вращательного движения, получена рабочая формула для расчета момента инерции маятника Максвелла, приведено описание экспериментальной установки я порядка измерения на ней момента инерции маятника.
Лабораторная работа предназначена для студентов, выполняющих общий физический практикум в лаборатории механики.
Краткая теория.
М
аятник
Максвелла представляет собой массивный
диск, ось которого подвешена на двух
накрученных на нее нитях (рис. 1).
Если маятник отпустить, то он будет совершать возвратно-поступательное движение в вертикальной плоскости при одновременном вращении диска" вокруг оси.
Силы, действующие на маятник, указаны на рис. 2.
Для описания движения маятника Максвелла удобно выбрать систему отсчета, связанную с центром масс маятника и имеющую одну ось, направленную вниз.
Центром масс системы называют воображаемую точку, радиус-вектор которой определяется выражением
где т - масса системы, - массы материальных точек, составляющих эту систему, - их радиусы векторы. Величина скорость движения этой воображаемой точки. Импульс системы с учетом (I) записывается в виде
то есть представляет собой произведение массы системы на скорость ее центра масс, что совершенно аналогично импульсу материальной точки. Таким образом, за движением центра масс можно следить, как за движением материальной точки. Исходя из этого, движение центра масс маятника Максвелла можно описать уравнением:
где m - масса маятника, - линейное ускорение центра масс, - результирующая сила натяжения обеих нитей.
Вращательное движение маятника описывается основным уравнением динамики вращательного движения, имеющий вид:
где ℐ - момент инерции, - результирующий момент сил, действующих на маятник относительно некоторой точки, лежащей да оси вращения, - угловое ускорение. Под вектором угла понимают вектор, по модули равный углу поворота и направленный вдоль оси вращения так, чтобы с его начала поворот наблюдался происходящим по часовой стрелке.
Моментом инерции тела относительно некоторой оси вращения называют величину
, (4) (4)
где - массы материальных точек, составляющих это тело, - расстояние от этих точек до оси вращения. Следовательно, момент инерции характеризует распределение массы тела относительно оси вращения. Из (4) видно, что момент инерции - величина аддитивная, то есть момент инерции тела равен сумме моментов инерции его частей. Если вещество в ней распределено непрерывно, то вычисление момента инерции сводится к вычислению интеграла
; (5) (5)
где r - расстояние от элементарной массы dm .
до оси вращения. Интегрирование должно производиться по всей массе тела. Маятник Максвелла можно представить в виде совокупности полых цилиндров и сплошного цилиндра - оси маятника. Рассчитаем, моменты инерции таких тел. Любое из этих тел можно мысленно разбить на тонкие цилиндрические слои, частицы которых находятся на одинаковом расстоянии от оси. Разобьем цилиндр радиуса R на концентрические слои толщиной dr . Пусть радиус какого - то слоя r , тогда масса частиц, заключенных в этом слое, равна
где dV - объем слоя, h - высота цилиндра, - плотность вещества цилиндра. Все частицы слоя находятся на расстоянии r от оси, следовательно, момент инерции этого слоя
Момент инерции всего цилиндра найдется интегрированием по всем слоям:
Так как масса цилиндра, то момент инерции сплошного цилиндра будет равен
Момент инерции полого цилиндра, имеющего внутренний радиус , а внешний можно вычислить также по формуле (6), изменив в интеграле пределы интегрирования
Замечая, что масса полого цилиндра
, запишем момент инерции полого цилиндра следующим образом:
(8) - (8)
Однако, аналитическое вычисление интегралов (5) возможно только в простейших случаях тел правильной геометрической формы. Для тел неправильной формы такие интегралы находят численно, либо используют косвенные методы определения момента инерции.
Для нахождения момента инерции маятника Максвелла относительно его оси вращения можно воспользоваться уравнениями движения,
Для решения дифференциальных уравнений (2) и (3) перейдем от векторной формы к скалярной. Спроектируем уравнение (2) на ось» совпадающую с направлением движения центра масс маятника. Тогда оно примет вид:
Рассмотрим проекции векторов и на ось координат, совпадающую с осью вращения и направленную по .
Составляющая момента силы относительно точки вдоль оси, проходящей через эту точку, называется моментом силы относительно
Вектор можно записать следующим образом;
где - единичный вектор, направленный вдоль, а 5. Тогда угловое ускорение
так как направление вектора ^ при опускании маятника со временем не меняется.
Таким образом, уравнение (З) спроектируется, на ось вращения следующим образом:
(10) (10)
где - радиус оси диска, на которую намотана нить, - угловое ускорение диска. Так как центр масс опускается на столь ко, на сколько раскручивается нить, то его перемещение x связано с углом, поворота соотношением
Дифференцируя это соотношение дважды, получим
Совместное решение уравнений (9) - (11) дает следующие выражения для линейного ускорения центра масс системы и результирующей силы натяжения:
Из (12), (13) видно, что ускорение диска и сила натяжения нити постоянны и ускорение всегда направлено вниз. Следовательно, если при опускании маятника координату его центра масс отсчитывать от точки его закрепления, то со временем координата будет меняться по закону
Подставляя (14) в (12), подучим для момента инерции маятника Максвелла следующее выражение
, где (15)
В него входят величины, которые легко экспериментально измерить: - внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной на него нитью подвески, t - время опускания маятника, x - расстояние, пройденное центром масс маятника, m . - масса маятника, которая складывается из массы оси маятника, массы диска и массы кольца, надетого на диск. Внешний диаметр оси маятника вместе с намотанной на него нитью подвески
определяется по формуле
где D - диаметр оси маятника, - диаметр нити.
Механическая конструкция прибора.
Общий вид маятника Максвелла показан на рис. 3. Основание I оснащено регулируемыми ножками 2, которые позволяют произвести выравнивание прибора. В основании закреплена колонка 3, к которой прикреплен неподвижный верхний кронштейн 4 и подвижный нижний кронштейн 5. На верхнем кронштейне находится электромагнит 6, фотоэлектрический датчик 7 и вороток 8 для закрепления и регулирования длины нити подвески маятника. Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком 9 можно перемещать вдоль колонки и фиксировать в избранном положении.
Маятник 10 - это диск, закрепленный на оси, на который надеваются кольца 11, изменяя таким образом момент инерции системы.
Маятник с надетым кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина нити маятника определяется по миллиметровой шкале на колонке прибора. Фотоэлектрические датчики соединены с миллисекундомером. Вид передней панели секундомера 12 представлен на рис. 4.
На лицевой панели миллисекундомера находятся следующие ручки управления
"СЕТЬ" - выключатель сети. Нажатие этой клавиши включает напряжение питания. При этом на цифровых индикаторах высвечиваются нули, и включаются лампочки фотоэлектрических датчиков.
"СБРОС" - установка нуля секундомера. Нажатие этой клавиши вызывает сброс электронных схем миллисекундомера, на цифровых индикаторах высвечиваются нули.
"ПОТ" - управление электромагнитом. При нажатии этой клавиши выключается электромагнит, в схеме миллисекундомера генерируется импульс разрешения на измерение времени.
Выполнение работы.
Нижний кронштейн прибора передвинуть и зафиксировать в крайнем нижнем положений.
На диск маятника надеть одно из колец, прижимая его до упора.
Освободить гайку воротка для регулирования длины нити подвески. Подобрать длину нити таким образом, чтобы край стального кольца после опускания маятника находился на два миллиметра ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Одновременно произвести корректировку установки маятника, обращая внимание на то, чтобы ось его была параллельной основанию прибора. Зажать вороток.
Нажать клавишу "СЕТЬ".
Намотать на ось маятника нить подвески, обращая внимание на то, чтобы она намоталась равномерно, виток к витку.
Фиксировать маятник при помощи электромагнита, обращая внимание на т.о., чтобы нить в этом положении не была слишком скручена.
Повернуть маятник в направлении его будущего вращения на угол около 5°.
Нажать клавишу "СБРОС".
Повторить измерения десять раз для определения среднего времени падения маятника.
По шкале на вертикальной колонке прибора определить длину нити маятника.
Измерив диаметры нити и оси маятника D в различных сечениях, найдите средние значения этих величин и по ним определите по формуле (16) диаметр оси вместе с намотанной на ней нитью. Для измерения D и можно использовать микрометр.
Определите массу маятника вместе с надетым кольцом. Значения масс отдельных элементов нанесены на них.
По формуле (15) определите момент инерции маятника Максвелла. Вычислите" момент инерции маятника теоретически, используя формулы (7), (8), и сравните полученный результат с величиной, рассчитанной по формуле (15).
Повторите измерения для двух оставшихся колец.
Доверительный интервал △ ℐ можно рассчитать по формуле
где △D,, △ t , △ x - доверительные интервалы для прямых измерений величин D , , t и x , учитывающие как случайные, так и систематические погрешности. Способы расчета этих величин приведены в пособии Л.П.Китаевой "Рекомендации по оценке погрешностей измерений в физическом практикуме".
Техника безопасности.
При работе с прибором необходимо соблюдать правила безопасности, относящиеся к устройствам, в которых используется напряжение до 250 вольт. Эксплуатация прибора допускается только при наличии заземления.
Контрольные вопросы.
Сформулируйте теорему о движении центра масс системы материальных точек.
Дайте определение момента инерции одной материальной точки, системы материальных точек.
Запишите уравнения движения маятника Максвелла.
Как меняются ускорение, скорость и сила натяжения нитей при движении маятника?
Как меняется механическая энергия маятника Максвелла при его движении?
