В таблице составленной в результате измерений показана. Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - Пронкин Н.С. Для физических величин указаны размерности

Может быть использована специалистами предприятий. Книга выпущена в свет в рамках межиздательского проекта "Учебник для XXI века"

Пронкин Н.С. Основы метрологии: практикум по метрологии и измерениям - M.: Логос, 2007. - 392 c.
ISBN 978-5-98704-267-4
Скачать (прямая ссылка): osnovimetrolog2006.djvu Предыдущая 1 .. 48 > .. >> Следующая
Основная погрешность. Эта пофешность определяется классом точности вольтметра, и относительный предел ее на отметке измерения составляет sx = ^> q\\(uu/u) = 0,83%.
Методическая погрешность взаимодействия. При подсоединении вольтметра к измеряемому сопротивлению исходное напряжение Ux изменится из-за шунтирования нагрузки внутренним сопротивлением вольтметра Rw и составит C/v = RUxZ(R= Rw). Тогда относительная методическая пофешность будет равна
^-^100-^--100 = -0,4%.
Таким образом, напряжение, показываемое вольтметром, С/у = 0,9 В на самом деле занижено на 0,4%, т.е. примерно на 0,004 В. С учетом поправки на систематическую методическую пофешность взаимодействия результат измерения равен 0,904 В.
Дополнительные погрешности, обусловленные влиянием магнитного поля и температуры, заданы своими фаницами и могут рассматриваться как неисключенные систематические пофешности с относительными границами 0,75 и 0,3%.
Суммарная погрешность. Рассматривая основную пофешность как неисключенную, определим суммарную пофешность при доверительной вероятности 0,95 по формуле (4.1)
S1 = 1,1 д/0,832 + 0,752 +0,32 = 1,27%.
146
Абсолютная погрешность будет равна AS = 5S?/V/100 = 0,0115 В» «0,01 В. С учетом округления окончательный результат измерения можно записать в виде U =0,90 В; А = ±0,01 В; P= 0,95.
Пример 5.23. Дозиметр гамма-излучения предназначен для измерения дозы H в диапазоне от 1,0 до 100 мкЗв в диапазоне энергий от 0,05 до 3,0 МэВ. Предел погрешности измерения в нормальных условиях (температура окружающей среды 20 ± 100C) составляет ±(20 + 8/Я)% верхнего предела измерения. Дополнительная температурная погрешность составляет 0,1%/°С. Методика измерения предполагает, что чувствительная поверхность датчика прибора должна находиться при измерении на расстоянии (10±0,5) см от загрязненной поверхности.
Измерение дозы, проведенное оператором при температуре окружающей среды 50°С, показало, что загрязненность грунта составляет 80 мкЗв.
Определить абсолютную погрешность измерения и поправку, которую необходимо внести в показания дозиметра.
Решение. Основная относительная погрешность измерения будет равна ±(20 +8/80) = ±20,1%, а абсолютная ±20,1 мкЗв. Дополнительная погрешность, обусловленная повышенной температурой, в условиях которой производилось измерение, составляет 0,1(50-20) = 3%, что соответствует абсолютной погрешности 2,4 мкЗв. С учетом поправки и округления результат измерения составит 78 мкЗв. Предел погрешности измерения ±20 мкЗв.
5.2. ЗАДАЧИ И ОТВЕТЫ
Задача 5.1. При условиях, заданных в примере 5.3, обработка результатов измерений, полученных при калибровке образцовой многогранной призмы, дала следующие результаты отклонения одного из углов: Зс=1,98"; 5- = 0,05"; 0^=0,95) = 0,03"; « = 20. Определить суммарную погрешность (композицию случайной и систематической погрешности) измерения при доверительной вероятности P= 0,99.
Получить результат измерения, если также известно, что O2(P= 0,95) = 0,17" и O3(P= 0,95) = 0,5". Записать результаты измерений.
Ответ.
1) O=l,98"±0,14" при Р=0,99;
2) Q= 1,98"±0,26" при P= 0,99;
3) Jc= 1,98"; 0(P= 0,99) = 0,64"; « = 20.
147
Задача 5.2. Определить границы доверительного интервала при вероятности />» 1, в которых находится результат измерения, если погрешность измерения состоит из случайной погрешности, имеющей нормальное распределение, и неисключенной систематической погрешности, имеющей равномерное распределение вероятности. Дисперсия случайной погрешности равна.У|, а границы неисключенной систематической погрешности равны ±90, причем X = Q0 /S- = 1.
Примечание. Суммарный доверительный интервал рассмотреть при вероятности P= 0,997 (tp= 3) для случайной погрешности и P= 1 (tp = Jl) для равномерного распределения.
Ответ. tpz = 2,55; S1 = 1,15S-; г(P) = = 2,905-; Q = x±2,9S- при Р«1.
Задача 5.3. В таблице приведены средние по 8 группам измерений (всего 100 измерений). Среднее, определенное по результатам всех измерений, равно х = 8,9193, CKO - Sx = 0,0028.
Номер интервала 1 2 3 4 5 6 7 8
Среднее, соответствующее середине интервала 8,912 8,914 8,916 8,918 8,920 8,922 8,924 8,926
Количество измерений в интервале (частота) 1 5 14 27 24 18 9 2
Определить, используя критерий Пирсона со значимостью 0,1, является ли распределение нормальным.
Ответ. Распределение результатов измерений со значимостью 0,1 можно признать нормальным.
Задача 5.4. Используя составной критерий при уровнях значимости q{ = q2 = 0,02, проверить гипотезу о нормальности распределений случайных погрешностей по результатам 19 независимых измерений длины детали. Результаты измерений приведены в таблице.
Номер Результат Номер Результат Номер Результат
измерения измерения измерения измерения измерения измерения
1 18,305 8 18,303 15 18,309
2 18,308 9 18,308 16 18,308
3 18,311 10 18,306 17 18,307
4 18,309 11 18,312 18 18,309
5 18,304 12 18,306 19 18,310
6 18,306 13 18,307
7 18,310 14 18,308
148
Ответ. При уровне значимости составного критерия q = 0,04 можно признать гипотезу о нормальности распределения погрешностей результатов измерений.

{module Адаптивный блок Адсенс в начале статьи}

ТАБЛИЦЫ С РЕЗУЛЬТАТАМИ ИЗМЕРЕНИЙ

Таблицы часто используют для записи результатов однотипных измерений. Если мы хотим сравнить толщину школьных учебников по разным предметам, то можно составить таблицу числа страниц в учебниках, как это сделано в таблице 12.

Таблица 12. Число страниц в учебниках 9 класса

Точное число страниц указано в описании книги (ее "выходных данных") на второй или на последней странице. А вот если мы составим такую таблицу, открывая книгу на последних страницах, то можем совершить ошибки, поскольку одна или несколько последних страниц книги не пронумерованы. Нам придется самим считать эти страницы. При этом могут возникать ошибки.

Толщину книги можно измерить просто с помощью линейки или угольника.

Результаты этих измерений занесены в последний столбец таблицы 12. Измерение толщины книги с помощью линейки не очень точная процедура. Укажем несколько возможных причин ошибок в таких измерениях. Во-первых, между страницами книги есть пустоты. Они тем больше, чем более старый и растрепанный учебник. Эти пустоты можно уменьшить, плотно сжав книгу. Однако это изменяет толщину школьного учебника на 1-2 мм. Во-вторых, результаты измерения зависят от угла, под которым линейка приложена к книге. В-третьих, когда один из краев книги попадает между делениями линейки, мы должны принять решение, какое деление выбрать.

Упражнения:

1. Возьмите учебники, по которым вы занимаетесь в школе. Определите число страниц в каждом учебнике двумя способами:

а) откройте книгу в конце, найдите последнюю страницу с номером и добавьте число ненумерованных страниц;

б) найдите число страниц в "выходных данных" книги.

Составьте таблицу:

Число страниц в учебниках

Сравните полученные результаты. Обнаружили ли вы расхождения?

2. Измерьте толщину учебников с помощью линейки или угольника и занесите эти данные в таблицу. Как вы думаете, насколько точны эти измерения?

3. Сравните результаты измерений учебника алгебры с результатами, полученными вашими одноклассниками при измерении таких же учебников. Есть ли расхождения в полученных данных?

4. Продавцы небольших книжных киосков часто отмечают число проданных за день книг в общей ведомости, для того чтобы в конце дня быстро подвести итоги работы.

Часть такой ведомости дана в таблице 13.

Таблица 13. Учетная ведомость продажи книг

а) Заполните в таблице столбец "Всего".

б) Заполните столбец "Выручка".

в) Посчитайте общее число проданных книг и суммарную выручку и заполните соответствующие ячейки.

5. Пользуясь таблицей 13 и результатами задачи 4, составьте таблицу долей выручки от продажи каждой книги.

6. В таблице 14 указаны оценки за четверть по математике, русскому и иностранному языку для всех учащихся класса.

Таблица 14. Оценки за четверть

Пользуясь этой таблицей, составьте таблицу результатов подсчета:

а) учеников, которые имеют оценки 5, 4 и 3 по математике;

б) учеников, которые имеют оценки 5, 4 и 3 по русскому языку;

в) учеников, которые имеют оценки 5, 4 и 3 по иностранному языку;

г) мальчиков, которые имеют оценки 5, 4 и 3 по математике;

д) девочек, которые имеют оценки 5, 4 и 3 по математике.

7. На рисунке изображено 8 прямоугольных треугольников. С помощью транспортира и линейки составьте таблицу результатов измерений острого угла при вершине А каждого треугольника, длины его горизонтального катета и гипотенузы.

8. Составьте таблицу числа страниц и толщины 6-7 школьных учебников. Вычислите по таблице суммарную толщину учебников в миллиметрах. Сложите учебники стопкой и измерьте их суммарную толщину. Сравните полученные результаты.

9. Два друга решили выяснить, как часто используются те или иные буквы в русском языке. Для этого они решили подсчитать и сравнить число некоторых букв в небольших прозаических отрывках из разных произведений А.С. Пушкина:

Первый отрывок ("Дубровский")

По этим приметам немудрено будет вам отыскать Дубровского. Да кто же не среднего роста, у кого не русые волосы, не прямой нос, да не карие глаза! Бьюсь об заклад, три часа будешь говорить с самим Дубровским, а не догадаешься, с кем бог тебя свел. Нечего сказать, умные головушки приказные!

Второй отрывок ("Выстрел")

Рассеянные жители столицы не имеют понятия о многих впечатлениях, столь известных жителям деревень или городков, например об ожидании почтового дня: во вторник и пятницу полковая наша канцелярия бывала полна офицерами: кто ждал денег, кто письма, кто газет.

Третий отрывок ("Капитанская дочка")

Вскоре все заговорили о Пугачеве. Толки были различны. Комендант послал урядника с поручением разведать хорошенько обо всем по соседним селениям и крепостям. Урядник возвратился через два дня и объявил, что в степи верст за шестьдесят от крепости видел он множество огней и слышал от башкирцев, что идет неведомая сила.

а) Посчитайте буквы "а", "о" и "и" в трех отрывках и заполните таблицу встречаемости этих букв:

Как вы думаете, какая из этих букв чаще используется в русском языке?

б) Посчитайте буквы "н" и "т" и заполните таблицу встречаемости этих букв:

Можно ли по полученным данным судить, какая из этих букв чаще используется в русском языке?

Для справки приведем таблицу частоты встречаемости в тексте букв русского языка (в среднем на 1000 букв):

Историческая справка. На протяжении нескольких веков, до самого последнего времени, для печати книг, журналов и газет использовались типографские кассы с набором букв. Из них наборщик на специальной доске набирал текст каждой отдельной страницы. Затем набранная страница покрывалась типографской краской, и с нее делалось необходимое количество оттисков. Поскольку одни буквы используются значительно чаще других, количество различных букв в кассе должно быть разным. Таблица встречаемости букв показывает, в каких пропорциях должны были содержаться разные буквы в типографской кассе.

Не менее важна информация о встречаемости букв и для лингвистов и шифровальщиков. Известны методы восстановления исходного текста по перехваченному зашифрованному тексту, при которых используется таблица встречаемости букв.

Таблицу встречаемости букв, знаков препинания и другие статистические характеристики текста можно использовать и для выяснения вопроса об авторстве.

{module Адаптивный блок Адсенс в конце статьи}

2.1 Таблицы.

Мы уже говорили, что результаты измерений следует представлять в виде таблиц и при необходимости графиков. Позволим себе дать несколько рекомендаций по их оформлению. Начиная с этого пункта, дальнейшее изложение будем проводить с помощью конкретных примеров - перейдем от голого обобщенного умствования к животворящей эмпирии.

Итак, экспериментальная задача (не пугайтесь ее сложности): измерить объем спичечного коробка. Оборудование: коробок, линейка.
Изучение условия (линейка деревянная есть, коробок картонный, помятый и пустой, в наличии ), построение теоретической модели (после несложных преобразований можно получить, что объем коробка рассчитывается по формуле , где
- длина, ширина и высота коробка ), разработку экспериментальной установки (что лучше прикладывать линейку к коробку, или коробок к линейке ), проведение предварительных измерений (длина линейки больше длины коробка - измерения проводить можно ) опустим, перейдем к непосредственно к результатам измерений, которые представим в Таблице 1.
Таблица 1.

Физическая величина
Результаты измерений	52,0	36,0	14,0
	51,0	37,0	16,0
	51,5	36,0	15,5
среднее	51,5	36,3	15,2
приборная погрешность	0,5	0,5	0,5
случайная погрешность	0,8	1,0	0,8
полная погрешность	0,94	1,1	0,94

Так как коробок старый и помятый, то нет ничего удивительного, что результаты измерений его размеров (проведенные, конечно с разных сторон, и в разных местах) различны. Правила расчета погрешностей рассмотрим позднее, здесь обратим внимание на следующие детали составления таблице:
1) Все графы таблицы подписаны;

2) Для физических величин указаны размерности;

3) Измерения проведены с максимально возможной точностью (половина цены деления), одинаковой для всех результатов;

4) В той же таблице приведены результаты обработки результатов прямых измерений (среднее и погрешности - формулы для их расчета должны быть указаны в тексте).
Несколько забегая вперед, отметим, что значений объема (и тем более, нескольких значений объемов) коробка в таблице нет, эта величина есть результат косвенного измерения, поэтому рассчитывается по средним значениям результатов прямых измерений.

Надеемся, что ваши таблицы будут оформлены не хуже.

2.2 Графики.
Покажем, как следует грамотно оформить график полученной экспериментальной зависимости, решив следующую задачу.

Задача: Построить зависимость высоты уровня воды в вазе от количества налитой в нее воды.

Результаты измерений приведены в Таблице 2 (- объем налитой воды, - высота уровня).
Таблица 2.

0,40	0,80	1,20	1,60	2,00	2,40	2,80	3,20	3,60	4,00
17	23	34	43	49	57	65	71	78	84
4,40	4,80	5,20	5,60	6,00	6,40	6,80	7,20	7,60	8,00
90	96	102	107	112	117	122	127	133	137

Заметьте, что для экономии места, никто не запрещает расположить таблицу горизонтально, кроме того, общий десятичный множитель вынесен в заголовок строки (допустима также запись
) в остальном требования остаются прежними.

Теперь можно приступить к построению графика полученной зависимости. Возможная последовательность выполнения этой задачи следующая:
1) Выбираем кусок листа миллиметровой бумаги, размеры которого не меньше, чем половина стандартного тетрадного листа (иначе ваши экспериментальные точки трудно будет найти);

2) Рисуем оси координат, подписываем их и размечаем (не обязательно каждую ось начинать с нуля, масштаб подбирают так, чтобы график занимал большую часть отведенного ему места, а не шел параллельно одной из осей);

3) Наносим экспериментальные точки, каждую из них помечаем (например, обводим кружком), при возможности отмечаем размер погрешности измерений в виде вертикального отрезка прямой;

4) Проводим линию зависимости, которая, по вашему мнению, отражает ход полученной зависимости; если это должна быть прямая, то и рисуйте ее прямой; совсем не обязательно, чтобы линия проходила через все экспериментальные точки - они же известны с некоторой погрешностью.

Пример выполнения этих требований для рассматриваемой задачи показан на рисунке.

Что можно сделать с этими данными? Если надо, то можно попытаться восстановить форму сосуда, с которым проводились измерения. Действительно, изменение высоты уровня жидкости в сосуде (осесимметричном) связано с объемом налитой воды очевидным соотношением , где - радиус сосуда на данной высоте. Из этой формулы можно приблизительно рассчитать значения радиусов на различных высотах, то есть восстановить форму сосуда. Результат таких расчетов показан на следующем рисунке. Может на самом деле форма сосуда несколько отличается от приведенной, но полученный рисунок реально получен из построенного ранее графика.
2.3 Запись численного результата.

Полтора землекопа.

(Ответ в учебнике арифметики)
К сожалению, об этой, возможно, самой важной и самой простой процедуре приходится постоянно упоминать - грамотная запись численного результата содержит: численное значение, погрешность, размерность. Конечно, числа, фигурирующие в ответе, должны быть правильно округлены. Простые правила округления:
погрешность округляется до одной значащей цифры (если эта цифра единица, то следует округлять до двух значащих цифр), численное значение результата округляется так, чтобы последний его разряд совпадал с последним разрядом округленной погрешности.
Приведем несколько примеров.

1) В результате расчетов получены следующие значения объема сосуда , с погрешностью . Грамотная запись окончательного результата .

2) Значение резонансной частоты колебательного контура , ее погрешность . Правильно записанное значение погрешности с одной значащей цифрой имеет вид (не запрещено ), поэтому запись результата должна быть в виде

Обращайте внимание на запись результатов в тех задачах, которые приводятся в этой книге, при наличии ошибок - сообщите о них авторам, вознаграждение гарантируется!

Теперь мы можем закончить выполнение Задачи 1:

Рассчитываем объем коробка по полученной ранее формуле (обратите внимание – используем только средние значения измеренных длин сторон):

(Это промежуточный результат, поэтому округляем с одной запасной цифрой).

Рассчитываем погрешность косвенного измерения

Записываем окончательный результат с учетом правил округления:

Для большего «блеска» можно также привести относительную погрешность полученного результата

2.4 Действия с приближенными числами.
Если от миллиона отнять несколько тысяч,

то все равно останется миллион.

О.Бендер

Все числа, являющиеся результатами измерений, поэтому арифметические действия над ними должны вестись по правилам действий с приближенными числами. Эти правила изучают в школе на уроках арифметики, они подробно описываются в специальной литературе. Поэтому здесь мы их приведем без доказательств, позволив их себе только проиллюстрировать несколькими примерами.

При сложении (вычитании) двух и более чисел результат округляют так, чтобы последний разряд результата совпадал с последним разрядом наименее точного слагаемого. Примеры:

2) ;

Заметим, что с точки зрения действия над приближенными числами операция вычитания является самой неблагополучной - разность двух больших и близких чисел может иметь очень большую относительную погрешность, поэтому, по возможности, таких действий следует избегать.

При умножении (делении) в результате оставляют столько значащих цифр, сколько их в наименее точном сомножителе . Примеры:

При вычислении простейших функций (степенных, тригонометрических, логарифмических, показательных) в результате оставляют столько же значащих цифр, как и у аргумента функции. Это правило является приближенным, при необходимости, в каждом конкретном случае можно разумно оценить погрешность функции, если известна погрешность аргумента. Так при малых относительных погрешностях аргумента можно воспользоваться приближенной формулой .
2.5 Расчет погрешностей.

Не ошибается только тот,

кто ничего не делает.
Как часто при проверке экспериментальных работ основную часть времени приходится тратить на длинные выкладки расчета погрешностей - доходит до того, что создается впечатление, что кроме погрешностей в работе больше ничего нет.

Сразу подчеркнем, мы глубоко убеждены в том, что без оценки погрешностей любой экспериментальный результат имеет нулевую ценность. Однако расчеты погрешностей должны разумно дополнять основную работу - проведение измерений и получение окончательного результата. Здесь мы приведем только краткую сводку порядка и правил расчета погрешностей, а с некоторыми замечаниями по их обоснованию вы можете познакомиться в специальной литературе (если это вам интересно), более того, можете быть уверены в том, что теория погрешностей является настоящей научной теорией, со своими аксиомами, правилами математических выводов, экспериментальным подтверждением и т.д.

Отметим, что приводимая вами погрешность измерений (как и любое иное число, фигурирующее в физике) должна иметь явный смысл. Так, например, записывая длину стола в виде , мы ни в коем случае не утверждаем, что длина стола изменяется в пределах от 129 до 141 сантиметра! Смысл погрешности заключается в том, что с некоторой вероятностью (которая называется доверительной) истинное значение длины стола лежит в указанном интервале. Заметьте, не точно лежит в этом интервале, а с некоторой доверительной вероятностью. Иными словами экспериментатор при правильном использовании теории погрешностей оставляет за собой право на ошибку. В серьезных научных исследованиях доверительная вероятность принимается равной 99,5%, в учебных лабораториях принимается доверительная вероятность в 95%. Заметим, что интервал ошибки рассчитывается исходя из заданной доверительной вероятности, а не наоборот. Приводимые ниже правила и позволяют получить величину ошибки для указанной доверительной вероятности.

Если результат измерения снимается непосредственно с измерительного прибора, то такое измерение называется прямым . На результат такого измерения влияет множество факторов: посмотрел на стрелку под другим углом, досталась искривленная линейка, рядом с лабораторией проехал трамвай, сама изменяемая величина по некоторым причинам немного изменилась (например, при измерении диаметра шарика длины разных диаметров могут быть различными) и т.д. Все эти факторы приводят к тому, что результаты измерений различаются, наличие такого разброса требует проведения нескольких измерений, результаты которых обозначим .

В качестве окончательного результата прямого измерения принимается среднее арифметическое всех измерений

(1)

При прямых измерениях, как правило, учитывают три типа ошибок: приборную, округления, случайную.

Приборная ошибка возникает вследствие несовершенства любого прибора - изготовитель не может (и не обязан) гарантировать абсолютную точность. Поэтому каждый тип прибора имеет гарантированную заводом изготовителем максимальную погрешность. Эти предельные приборные погрешности задается во всевозможных справочниках, краткую выдержку из которых мы и приводим в Приложении 1. Если приборная погрешность не задана в условии задачи (или в описании прибора), то допускается в качестве приборной погрешности использовать половину цены наименьшего деления. Итак, расчет приборной погрешности
сводится к тому, чтобы вспомнить таблицу, или внимательно посмотреть на шкалу прибора.

В ходе измерений по разным причинам приходится проводить округление результата, в связи с чем, неизбежно появление ошибки округления
. Величина этой ошибки принимается равной половине интервала округления. Например, если показания амперметра вы округляете до 0,1 А, то погрешность округления принимается равной 0,05А.

Случайная ошибка рассчитывается по формуле (здесь приведены два равносильных выражения, – по какому из них проводить расчеты зависит от индивидуального вкуса)

. (2)

где обозначено
- средний квадрат измеряемой величины. В этой формуле коэффициент (он называется коэффициент Стьюдента), зависящий от числа измерений и от требуемой доверительной вероятности - вам нет необходимости запоминать значения этих коэффициентов - Вы не сильно ошибетесь, полагая
, если число ваших измерений больше 5. Вторая часть формулы более удобна для расчетов на калькуляторе. Обратите внимание, что при
погрешность стремится к бесконечности – вот вам математическое обоснование правила – «единичные измерения недопустимы»! Отметим также, что увеличение числа измерений приводит к уменьшению случайной (но не полной!) ошибки, причем при больших
ошибка убывает примерно обратно пропорционально квадратному корню из :
. Поэтому для уменьшения ошибки в 10 раз, число измерений следует увеличить в 100 раз. Правда, при выполнении экспериментальных заданий олимпиад вам этот пример не поможет – хватило бы времени на проведение 10 измерений (или хотя бы одного, которое не допустимо ).

Полная погрешность прямого измерения (объединяющая все три типа ошибок) имеет вид

На первый взгляд расчет полной погрешности прямого измерения требует значительного времени, однако, при небольшой тренировке и наличии калькулятора 1 эта процедура занимает не более одной минуты. Все эти правила сведены в таблице Приложения 2.

Так как погрешность округляется до одной значащей цифры, в громоздкой формуле (3) можно смело отбрасывать некоторые слагаемые. Так если одна из ошибок более чем в три раза меньше остальных, то ее можно отбрасывать. В конце концов, если вы измерили три раза и результаты отличаются меньше чем на цену деления, то можете смело в качестве полной погрешности принимать половину цены деления! Если же ситуация противоположная – результаты различных измерений отличаются на несколько делений шкалы, то считайте случайную погрешность и принимайте ее за полную. Можно дать и более общее правило: при расчете погрешностей надо больше думать, тогда считать придется меньше!
Если окончательный экспериментальный результат получается в ходе вычислений над результатами прямых измерений, то такое измерение называется косвенным. Так, например, для определения объема шарика можно измерить с помощью штангенциркуля его диаметр (прямое измерение) и затем по известной формуле рассчитать его объем (косвенное измерение). Если же для измерения объема использовать мензурку с водой, то такое измерение объема будет прямым.

Итак, в общем случае, результат косвенного измерения является некоторой функцией от результатов прямых измерений: . В качестве окончательного результата используется значение функции, вычисленное при средних значениях результатов прямых измерений

Еще раз подчеркнем - результат косвенного измерения вычисляется один раз! Если вы по 5 раз измерили длину, ширину и высоту коробка, то не имеет смысла вычислять 5 значений объема, тем более что возможных комбинаций произведения может быть вариантов.

Погрешность измерения каждой из величин
вносит некоторую погрешность в расчет величины , причем величина этой погрешности зависит от вида функции
. Будем считать, что результаты прямых измерений не зависят друг от друга, тогда можно считать независимыми вклады погрешностей этих величин в результат косвенного измерения. Так как обычно погрешности прямых измерений не слишком велики, то изменение функции при изменении ее аргумента, например, , можно рассчитать по формуле
, где в скобках стоит частная производная функции по параметру . Не пугайтесь такого «страшилища» как частная производная, она вычисляется по тем же правилам, что и обычные производные, только все остальные параметры надо считать постоянными. Для вычисления полной погрешности необходимо сложить «по теореме Пифагора» погрешности, возникающие из-за погрешностей прямых измерений всех параметров

(4)

Часто функция имеет вид произведения различных степеней от измеряемых напрямую величин
. В этом распространенном случае вычисление полной погрешности упрощается

(5)

Вывод этой формулы предоставляем читателям в качестве упражнения.

2.6 Графическая обработка результатов.

Исследование зависимостей между различными варьируемыми переменными, как правило, является основным методом экспериментальных исследований. Поэтому, по возможности, стремитесь проводить такие исследования при выполнении экспериментальных заданий.

Приведем основные правила планирования и реализации экспериментального исследования функциональных зависимостей.

Выбирайте для исследования тот вид зависимости, который наиболее просто и надежно описан теоретически (если, конечно, в условии четко не указано, какие зависимости необходимо получить).
Стремитесь провести измерения в максимальном диапазоне варьируемых параметров - полностью используйте возможности вашей экспериментальной установки (если, конечно, в условии четко не указано, в каком диапазоне необходимо провести измерения). Кстати, увеличение диапазона изменения варьируемых величин приводит к уменьшению погрешностей рассчитываемых параметров.
Число измерений должно быть достаточно для построения зависимости, даже для построения линейной зависимости необходимо получить 8-10 экспериментальных точек (если, конечно, в условии четко не указано, с каким шагом проводить измерения). Чем больше погрешность отдельного измерения, тем больше экспериментальных точек должно быть получено.
Если ваша зависимость имеет какие-либо особенности (максимумы, минимумы, перегибы, точки разрыва и т.д.), в районе этих особенностей «густота» экспериментальных точек должна быть больше.

Наиболее просто обрабатываются линейные зависимости - даже «на глаз» легко отличить прямую от «кривой», а попробуйте отличить участок параболы от какой-нибудь лемнискаты Бернулли. Поэтому даже в том случае, если ваша зависимость нелинейная, постарайтесь соответствующим преобразованием переменных привести ее к линейному виду.

Пусть в рамках своих теоретических построений вы пришли к выводу, что некоторые физические величины связаны функциональной зависимостью , причем эта функция содержит набор постоянных параметров , либо подлежащих определению, либо просто неизвестных (следовательно, вид зависимости следует записать в более общем виде
. Практически всегда можно найти такие преобразования к новым переменным 2 , , так что зависимость между ними линейна. Подчеркнем, что эти преобразования не должны содержать неизвестных параметров . Возможные варианты таких преобразований мы будем встречать при рассмотрении конкретных задач. Краткая сводка наиболее популярных преобразований приведена в Приложении 2.

В некоторых случаях требуется определить не все параметры, а только некоторые из них (возможно, что некоторые из них и определить то невозможно). В такой ситуации следует руководствоваться известными правилами экспериментатора:

Чем проще модель, тем лучше.
Измеряй как можно меньше величин
Не можешь измерить, то хотя бы не изменяй (а вдруг сократится).

Итак, будем считать, что преобразования к линейному виду найдены, проведены измерения в нужном количестве, в нужном диапазоне, получены данные

, и на их основании подсчитаны величины , для которых ваша теория предсказывает линейную зависимость 3 .

Следующий шаг - построение графика (в полном соответствии с рассмотренными ранее правилами: выбор масштаба, разметка осей, нанесение экспериментальных точек...). Ниже, на рисунке показано такое построение для некоторой «придуманной» зависимости. Воспользуемся этим рисунком, чтобы продемонстрировать порядок обработки результатов, целью которого является оценка параметров зависимости и их погрешностей.

Затем очень быстро можно провести определение параметров зависимости «на глаз». Для этого следует провести прямую, которая «ближе всего» лежит к экспериментальным точкам (на нашем рисунке это ). Что ее построить, можно воспользоваться следующими рекомендациями: выберите «центр масс» имеющихся экспериментальных точек (приближенно ее координаты равны средним между крайними значениями соответствующих координат), на рисунке это точка ; через эту точку проведите прямую так, чтобы по разные стороны от нее лежало примерно одинаковое число экспериментальных точек. Сразу же определите приближенные значения параметров зависимости:

Величина есть величина отрезка (на рисунке );

Коэффициент равен отношению , причем величину можно выбрать произвольно (но не слишком малой), так чтобы можно было вычислить отношение «в уме» (на рисунке , , поэтому ).

Для оценки погрешностей параметров зависимости нужно провести две «граничные» прямые (примерные): обе проходят через «центр масс», а область между прямыми должна захватывать большинство экспериментальных точек (ближайшие к центру точки могут выходить за выделяемую область). На нашем рисунке это прямые и . Так же как и для основной, для этих прямых можно определить параметры, которые и будут являться нижними и верхними границами величин .

Настоятельно рекомендуем вам всегда проводить такую предварительную обработку (хотя бы без оценки погрешностей) - времени на это требуется не много, зато вы будете иметь данные, которые не позволят вам грубо ошибиться при более точной аналитической обработке.
2.7 Метод наименьших квадратов.
Для получения максимально достоверных результатов разработано множество серьезных методов обработки экспериментальных данных. Сейчас мы рассмотрим, пожалуй, самый популярный из них - метод наименьших квадратов . Впервые он был применен великим немецким математиком К.Гауссом еще в начале XIX века, с тех пор этот метод многократно модифицировался, получил строгое математическое обоснование.

Цель этого метода - получить наилучшие в некотором смысле оценки параметров известной зависимости по экспериментальным данным, содержащим оценки измерений. Пусть известно, что две переменных величины и связаны функциональной зависимостью , включающей неизвестные параметры , оценки которых следует получить. При этом в нашем распоряжении имеется набор экспериментальных данных . Основная идея метода получения таких оценок заключается в таком выборе параметров зависимости, при котором сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от «теоретических» была минимальна. Иными словами, речь идет о поиске минимума суммы

, (1)

которая является функцией от неизвестных параметров Методы поиска минимума функций хорошо известны. Однако, в общем случае, получающиеся уравнения являются нелинейными, и их решение не всегда может быть получено аналитически.

Заметим, что метод наименьших квадратов в приведенной форме строго обоснован при выполнении следующих условий:

1. Значения известны точно.

2. Абсолютные погрешности величин одинаковы для всех измерений.

Заметим, что этот метод широко используется и в том случае, когда эти условия не выполняются. Однако, по возможности, следует стремиться к тому, что бы погрешности были меньше погрешностей величин .

Кстати, это требование является одним из основных при выборе вида преобразований к линейному виду.

Мы не в состоянии рассказать об его разновидностях и, тем более об его строгом обосновании, поэтому ограничимся набором рекомендаций по его применению в простейшем случае анализе линейной зависимости . В этом случае функция (1) имеет вид

, (2)

а уравнения для определения минимума этой функции следуют из обычных условий равенства нулю всех производных

Эта система легко преобразуется к линейному виду

. (3)

Заметьте, что «ужасные» суммы, стоящие в этих уравнениях, являются коэффициентами и могут быть подсчитаны. Решение линейной системы уравнений хорошо знакомо старшеклассникам:

. (4)
Рассчитывать по этим формулам считать очень неудобно - лучше запомнить формулы пригодные для быстрого расчета неизвестных параметров и . Удобнее расчеты разбить на ряд последовательных этапов расчетов параметров, которые к тому же имеют наглядный и легко запоминаемый смысл:
- средние значения, которые определяют центр экспериментальных точек:

;
;

Дисперсии (средний квадрат минус квадрат среднего), корень из дисперсии (называемый стандартным отклонением и считать его не обязательно) определяет разброс переменных

;
;

Коэффициент ковариации 4 (среднее произведение минус произведение средних):

;

Искомые коэффициенты выражаются через рассчитанные характеристики по формулам, которые эквивалентны формулам (4):

;
;

Погрешности этих величин рассчитываются по формулам 5 (которые здесь даются без вывода):

;
.

Процедура расчета параметров линейной зависимости и их погрешностей изложена в Приложении 4.

Конкретные примеры применения метода наименьших квадратов будут рассмотрены при решении большинства экспериментальных задач.
Отметим еще одну весьма полезную характеристику: коэффициент корреляции , который дает численную характеристику близости экспериментальных точек к линейной зависимости:

Эта безразмерная величина может принимать значения от минус до плюс единицы
. Если экспериментальные точки точно ложатся на прямую, то коэффициент корреляции равен
(положительные значения коэффициента корреляции свидетельствуют о возрастании линейной функции, отрицательные – об ее убывании). Чем меньше модуль коэффициента корреляции, тем дальше экспериментальные точки от прямой. Если линеаризация может быть проведена несколькими способами, то следует отдать предпочтение той, для которой коэффициент корреляции выше.

Вычисление абсолютных, относительных и приведенных погрешностей средств измерений

Пример решения задачи

Задача 1. Вольтметром со шкалой (0…100) В, имеющим абсолютную погрешность V=1 В, измерены значения напряжения 0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 (В). Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и приведенной погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Решение

Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 1), в столбцы которой будем записывать измеренные значения V , абсолютные V , относительные V и приведенные V погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения напряжения: 0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 (В).

Значение абсолютной погрешности известно из условий задачи (V =1 В) и считается одинаковым для всех измеренных значений напряжения; это значение заносим во все ячейки второго столбца.

Значения относительной погрешности будем рассчитывать по формуле:

При V =0 В получаем:
.

При V =10 В получаем:
.

Значения относительной погрешности для остальных измеренных значений напряжения рассчитываются аналогично.

Для расчета значений приведенной погрешности будем использовать формулу:

Предварительно определим нормирующее значение V N .

Так как диапазон измерений вольтметра – (0…100) В, то шкала вольтметра содержит нулевую отметку, следовательно, за нормирующее значение принимаем размах шкалы прибора, т. е.

Так как величины V и V N постоянны при любых измеренных значениях напряжения, то величина приведенной погрешности так же постоянна и составляет

Это значение заносим во все ячейки четвертого столбца.

По данным таблицы 1 строим графики зависимостей абсолютной V , относительной V и приведенной V погрешностей от результата измерений V (см. рис. 1).

В данном случае графики зависимостей абсолютной и приведенной погрешностей сливаются друг с другом и представляют собой горизонтальные прямые линии. График зависимости относительной погрешности представляет собой гиперболу.

В

нимание : так как диапазон измерений прибора – (0…100) В, то за пределы этого диапазона построенные графики не должны выходить.

Вычисление погрешностей при различных способах задания классов точности средств измерений

Пример решения задачи

Задача 2. Амперметром класса точности 2.0 со шкалой (0…50) А измерены значения тока 0, 5, 10, 20, 25, 30, 40, 50 (А). Рассчитать зависимости абсолютной, относительной и приведенной основных погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Решение

Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 2.1), в столбцы которой будем записывать измеренные значения I , абсолютные I , относительные I и приведенные I погрешности.

В
первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения тока: 0, 5, 10, 20, 25, 30, 40, 50 А.

Класс точности амперметра задан числом без кружка, следовательно, приведенная погрешность, выраженная в процентах, во всех точках шкалы не должна превышать по модулю класса точности, т.е. |I |2%.

При решении задачи рассмотрим худший случай |I| =2%, когда приведенная погрешность принимает максимальное по абсолютной величине значение, что соответствует I =+2% и I =-2%.

Данные значения приведенной погрешности заносим в четвертый столбец таблицы 2.1.

Из формулы
выражаем абсолютную погрешность
. За нормирующее значение I N принимаем размах шкалы, т.к. шкала амперметра содержит нулевую отметку, т. е. I N =|50 А – 0 А| = 50 А.

Абсолютная погрешность равна
во всех точках шкалы прибора. Заносим данное значение во второй столбец таблицы.

Значения относительной погрешности будем рассчитывать по формуле

. При I =0 A получаем:
. При I =5 A получаем:
.

Значения относительной погрешности для остальных измеренных значений тока рассчитываются аналогично.

Полученные таким образом значения относительной погрешности заносим в третий столбец.

По данным таблицы 2.1, учитывая, что погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными, строим графики зависимостей абсолютной I , относительной I и приведенной I погрешностей от результата измерений I (см. рис. 2).

Рис. 2. Графики зависимостей абсолютной, относительной и приведенной погрешностей от результата измерений для прибора с преобладающими аддитивными погрешностями

Задача 3. Вольтметром класса точности со шкалой (0…100) В измерены значения напряжения 0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 (В). Рассчитать зависимости абсолютной и относительной погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Решение

Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 2.2), в столбцы которой будем записывать измеренные значения V , абсолютные V и относительные V погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения тока: 0, 10, 20, 40, 50, 60, 80, 100 (В).

Класс точности вольтметра задан числом в кружке, следовательно, относительная погрешность, выраженная в процентах, во всех точках шкалы не должна превышать по модулю класса точности, т.е. |V |0,5%.

При решении задачи рассмотрим худший случай, т.е. |V | =0,5%, что соответствует значениям V =+0,5% и V =-0,5%

Примем во внимание опыт решения задачи 5.2., из которого видно, что результаты вычисления, выполненные для положительных и отрицательных значений погрешностей, численно совпадают друг с другом и отличаются только знаками "+" или "-". Поэтому дальнейшие вычисления будем производить только для положительных значений относительной погрешности V =0,5%, но при этом будем помнить, что все значения второго и третьего столбцов таблицы 2.2. могут принимать и отрицательные значения.

З
начение относительной погрешности V =0,5% заносим в третий столбец таблицы.

Рассчитаем значения абсолютной погрешности.

Из формулы выражаем абсолютную погрешность:

При V =0 В получаем:
.

При V =10 В получаем:

Значения абсолютной погрешности для остальных измеренных значений напряжения рассчитываются аналогично.

Полученные таким образом значения абсолютной погрешности заносим во второй столбец.

По данным таблицы 2.2, учитывая, что погрешности могут быть как положительными, так и отрицательными, строим графики зависимостей абсолютной V и относительной V погрешностей от результата измерений V (см. рис. 3).

Рис. 3. Графики зависимостей абсолютной и относительной погрешностей от результата измерений для прибора с преобладающими мультипликативными погрешностями

Задача 4. Цифровым омметром класса точности 1.0/0.5 со шкалой (0…1000) Ом измерены значения сопротивления 0, 100, 200, 400, 500, 600, 800, 1000 (Ом). Рассчитать зависимости абсолютной и относительной основных погрешностей от результата измерений. Результаты представить в виде таблицы и графиков.

Решение

Для записи результатов формируем таблицу (см. таблицу 2.3), в столбцы которой будем записывать измеренные значения R , абсолютные R и относительные R погрешности.

В первый столбец записываем заданные в условии задачи измеренные значения сопротивления: 0, 100, 200, 400, 500, 600, 800, 1000 (Ом).

К
ласс точности вольтметра задан в виде двух чисел, разделенных косой чертой. Следовательно, относительная погрешность, выраженная в процентах, во всех точках шкалы должна удовлетворять следующему соотношению:

В данном случае, а =1,0; b =0,5; R к =1000 Ом, причем параметры этой формулы а и b ответственны, соответственно, за мультипликативную и аддитивную составляющие суммарной погрешности.

Таким образом, получаем:

При решении задачи рассмотрим худший случай

что соответствует значениям .

Примем во внимание опыт решения задачи 5.2, из которого видно, что результаты вычисления, выполненные для положительных и отрицательных значений погрешностей, численно совпадают друг с другом и отличаются только знаками "+" или "-". поэтому дальнейшие вычисления будем производить только для положительных значений относительной погрешности , но при этом будем помнить, что все значения второго и третьего столбцов таблицы 2.3 могут принимать и отрицательные значения.

Рассчитаем значения относительной погрешности.

При R =0 Ом получаем: .

При R =100 Ом получаем: .

Значения относительной погрешности для остальных измеренных значений сопротивления рассчитываются аналогично.

Полученные значения относительной погрешности заносим в третий столбец таблицы 2.3.

Рассчитаем значения абсолютной погрешности.

Из формулы
выражаем абсолютную погрешность

. При R=0 Ом получаем: – неопределенность.

Р ис. 4. Графики зависимостей абсолютной и относительной погрешностей от результата измерений для прибора с соизмеримыми аддитивными и мультипликативными погрешностями

Искомое значение R можно определить следующим образом. Так как класс точности прибора задан в виде двух чисел, то у данного прибора аддитивные и мультипликативные погрешности соизмеримы. При R =0 Ом мультипликативная составляющая погрешность равна нулю, значит, общая погрешность в этой точке обусловлена только аддитивной составляющей. Аддитивную составляющую представляет второе из чисел, задающих класс точности, т.е. в данном случае число b =0,5. Это означает, что аддитивная погрешность составляет 0,5% от верхнего предела измерений прибора, т.е. от R к =1000 Ом. ... ,Сборник статей

... записываются в специально созданную базу, и на её основе формируется html страница, которая ... см . user-space) (**) variable переменная; значение переменной (будьте ... В результате , будут показаны записи ChangeLog для всех пакетов, которые будут обновляться...

∑ n (m i − m ср ) 2

Учебник

... решения . Классификация, систематизация, моделирование, измерение причинно... см . табл. 7.12). Для обобщения результатов анализа составляют сводные таблицы , в которых ... формируется матрица исходных данных (табл. 7.5), в первой колонке которой записывается ...

Графики строят на миллиметровой бумаге. Допускается построение графиков на тетрадном листе в клеточку. Размер графика – не менее чем 10× 12 см. Графики строят в прямоугольной

системе координат, где по горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывают аргумент, независимую физическую величину, а по вертикальной оси (оси ординат) – функцию, зависимую физическую величину.

Обычно график строят на основании таблицы экспериментальных данных, откуда легко установить интервалы, в которых изменяются аргумент и функция. Их наименьшее и наибольшее значения задают значения масштабов, откладываемых вдоль осей. Не следует стремиться поместить на осях точку (0,0), используемую как начало отсчета на математических графиках. Для экспериментальных графиков масштабы по обеим осям выбирают независимо друг от друга и, как правило, соотносят с погрешностью измерения аргумента и функции: желательно, чтобы цена наименьшего деления каждой шкалы примерно равнялась соответствующей погрешности.

Масштабная шкала должна легко читаться, а для этого необходимо выбрать удобную для восприятия цену деления шкалы: одной клетке должно соответствовать кратное 10 количество единиц откладываемой физической величины: 10n , 2 10n или 5 10n , где n – любое целое число, положительное или отрицательное. Так, числа 2; 0,5; 100; 0,02 – подходят, а числа 3; 7; 0,15 – не подходят для этой цели.

При необходимости масштаб по одной и той же оси для положительных и отрицательных значений откладываемой величины может быть выбран разным, но только в том случае, если эти значения отличаются не менее чем на порядок, т.е. в 10 раз и более. Примером может служить вольтамперная характеристика диода, когда прямой и обратный токи отличаются не менее, чем в тысячу раз: прямой ток составляет миллиамперы, обратный – микроамперы.

Стрелки, задающие положительное направление, на координатных осях обычно не указывают, если выбрано принятое положительное направление осей: снизу – вверх и слева – направо. Оси подписывают: ось абсцисс – справа внизу, ось ординат – слева вверху. Против каждой оси указывают название или символ откладываемой по оси величины, а через запятую – единицы ее измерения, причем все единицы измерения приводят в русском написании в системе СИ. Числовой масштаб выбирают в виде равноотстоящих по значению «круглых чисел», например: 2; 4; 6; 8 … или 1,82; 1,84; 1,86 …. Масштабные риски проставляют по осям на одинаковом расстоянии друг от друга, чтобы они выходили на поле графика. По оси абсцисс цифры числового масштаба пишут под рисками, по оси ординат – слева от рисок. Координаты экспериментальных точек возле осей проставлять не принято.

Экспериментальные точки аккуратно наносят на поле графика карандашом . Их всегда проставляют так, чтобы они были отчетливо различимы. Если в одних осях строят различные зависимости, полученные, например, при измененных условиях эксперимента или на разных этапах работы, то точки таких зависимостей должны отличаться друг от друга. Их следует отмечать разными значками (квадратами, кружками, крестиками и т.п.) или наносить карандашами разного цвета.

Расчетные точки, полученные путем вычислений, размещают на поле графика равномерно. В отличие от экспериментальных точек, они должны слиться с теоретической кривой после ее построения. Расчетные точки, как и экспериментальные, наносят карандашом – при ошибке неверно поставленную точку легче стереть.

На рисунке 5 приведена полученная по точкам экспериментальная зависимость, которая построена на бумаге, имеющей координатную сетку.

Через экспериментальные точки с помощью карандаша проводят плавную кривую, так чтобы точки в среднем были одинаково расположены по обе стороны от проведенной кривой. Если известно математическое описание наблюдаемой зависимости, то теоретическая кривая проводится точно так же. Нет смысла стремиться провести кривую через каждую экспериментальную точку – ведь кривая является только интерпретацией результатов измерений, известных из эксперимента с погрешностью. По сути, есть только экспериментальные точки, а кривая – произвольное, не обязательно верное, домысливание

эксперимента. Представим, что все экспериментальные точки соединены и на графике получилась ломаная линия. Она не имеет ничего общего с истинной физической зависимостью! Это следует из того, что форма полученной линии не будет воспроизводиться при повторных сериях измерений.

Рисунок 5 – Зависимость коэффициента динамической вязкости воды от температуры

Напротив, теоретическую зависимость строят на графике таким образом, чтобы она плавно проходила по всем расчетным точкам. Это требование очевидно, так как теоретические значения координат точек могут быть вычислены сколь угодно точно.

Правильно построенная кривая должна заполнять все поле графика, что будет свидетельством правильного выбора масштабов по каждой из осей. Если же значительная часть поля оказывается незаполненной, то необходимо заново выбрать масштабы и перестроить зависимость.

Результаты измерений, на основании которых строят экспериментальные зависимости, содержат погрешности. Чтобы указать их значения на графике, используют два основных способа.

Первый упоминался при обсуждении вопроса выбора масштабов. Он состоит в выборе цены деления масштабной шкалы графика, которая должна равняться погрешности откладываемой по данной оси величины. В таком случае точность измерений не требует дополнительных пояснений.

Если достичь соответствия погрешности и цены деления не удается, используют второй способ, заключающийся в прямом отображении погрешностей на поле графика. А именно, вокруг проставленной экспериментальной точки строят два отрезка, параллельные осям абсцисс и ординат. В выбранном масштабе длина каждого отрезка должна равняться удвоенной погрешности величины, откладываемой по параллельной оси. Центр отрезка должен приходиться на экспериментальную точку. Вокруг точки образуются как бы ”усы”, задающие область возможных значений измеряемой величины. Погрешности становятся зримыми, хотя “усы” могут невольно засорить поле графика. Отметим, что указанный способ чаще всего применяют тогда, когда погрешности меняются от измерения к измерению. Иллюстрацией способа служит рисунок 6.

6. Оценка параметров линейной зависимости

Обработка экспериментально полученной зависимости состоит в проведении по зарегистрированным точкам теоретической кривой, рассчитанной для заданного набора численных значений параметров. Варьируя параметры, добиваются наилучшего совпадения теоретической кривой с экспериментальными данными. Достижению такого совпадения помогает обязательное требование: теоретическая кривая должна отражать все особенности поведения экспериментальной зависимости, а, тем более, не давать повода для сомнений в совпадении с ней.

Рисунок 6 – Зависимость ускорения тела от силы, приложенной к нему

В эксперименте часто проверяют линейную зависимость двух величин вида

y = k x+ b, (29)

где x, y – измеряемые величины, k, b – параметры зависимости. Даже если из модельного описания непосредственно не получается линейная зависимость величин, теоретическую зависимость стремятся преобразовать к линейной. Объясняется это тем, что линейная зависимость выделена по отношению к другим формам функциональной связи двух величин. Во-первых, в силу психологических причин восприятие человека обладает свойством распознавать прямые линии, как встречающиеся в повседневной жизни, так и построенные в виде графиков. Визуально удается достаточно точно восстановить из графика всю прямую, даже в той области, где информация о ней частично отсутствует. Это означает, что проводимая “на глаз” прямая, которая проходит по точкам, содержащим экспериментальный разброс, оказывается удивительно близкой к оптимальной, построенной с помощью методов математической статистики. Собственно, возможности статистики применительно к линейной зависимости определяют второе обстоятельство ее частого использования. Дело в том, что параметры линейной зависимости и их погрешности могут быть надежно оценены на основе метода, называемого методом наименьших квадратов. Ниже, помимо этого метода, рассмотрены варианты графической и простой статистической (метод парных точек) обработки линейной зависимости.

6.1. Линеаризация зависимостей

В силу указанных выше причин экспериментатор должен стремиться свести нелинейную зависимость двух величин друг от друга к линейной, а затем обработать ее наилучшим образом. Как правило, многие функционально сложные зависимости допускают преобразование координат, приводящее к искомому результату. Примеры подобных преобразований помещены в таблице 2.

Таблица 2 – Примеры линеаризации зависимостей.

	нелинейной	Получаемая линейная
	нелинейной	Получаемая линейная
зависимости		зависимость
зависимости		зависимость
	v=a uz	ln v=z ln u + ln a
	v=a ezu
	v= a ez/u	ln v=z u-1 + ln a
		v-1 =a u-1 + z

В ней использованы следующие обозначения: v, u – преобразуемые функция и ее аргумент, y, x – новые функция и аргумент (после преобразования). По завершении обработки данных, то есть после определения средних значений и погрешностей параметров преобразованной зависимости, полученные результаты используют для пересчета к первоначальным параметрам. Пересчет выполняют по правилам, используемым для обработки результатов косвенных измерений.

6.2. Определение параметров линейной зависимости из графика

После нанесения на график экспериментальных точек по ним «на глаз» проводят прямую. Строят ее таким образом, чтобы точки в среднем одинаково располагались по обе стороны от прямой. На рисунке 7 это прямая 1-2. На ней выбирают две точки максимально удаленные друг от друга.

Рисунок 7 – Графическая обработка линейной зависимости.

Их координаты x1 , y1 и x2 , y2 подставляют в (29) для получения двух уравнений с неизвестными k и b

y1 =k x1 +b,

y2 =k x2 +b,

из которых находят

		− y 2			y 2 x 1 − y 1
		− x 2			x1 − x 2

Для оценки погрешностей σ (k) и σ (b) строят две дополнительные прямые, симметричные относительно прямой 1-2, чтобы экспериментальные точки, в основном, располагались между ними. Если на графике имеются точки, которые отстоят от основной прямой 1-2 более чем на утроенное среднее расстояние точек до прямой (это хорошо заметно уже при рассматривании графика – такой точкой является точка А), то их отбрасывают и не используют при построении дополнительных прямых. Соответствующие измерения, скорее всего, содержат промахи. Дополнительные прямые определяют «коридор погрешностей» эксперимента, внутри которого находится исследуемая линейная зависимость. Предельные случаи хода этой зависимости получатся, если провести прямые через противоположные углы «коридора» (прямые 4-5 и 3-6). Тем же способом, что и для основной прямой 1-2, находят параметры предельных прямых k1 , b1 и k2 , b2 . Оценки погрешностей

σ(k ) =

k1 − k 2

σ(b ) =

b 1 − b 2

Может оказаться, что теоретическую зависимость между измеряемыми величинами предполагают линейной, а экспериментальные точки явно не ложатся на прямую. Проведение по ним прямой неправомерно. Расхождение между теоретической и экспериментальной зависимостями свидетельствует о наличии систематических

погрешностей, которые должны быть выявлены и учтены при обработке результатов. Иначе экспериментатору остается только констатировать расхождение модели с экспериментом. Часто линейная зависимость является приближенно справедливой в ограниченном интервале изменения физических величин. В таком случае необходимо определить границы применимости линейной зависимости и указать их при анализе результатов эксперимента.

6.3. Метод парных точек

В некоторых физических экспериментах основной интерес представляет только угловой коэффициент (параметр k) зависимости (29). Для оценки значения коэффициента и определения его погрешности удобен метод парных точек. Он заключается в следующем.

После нанесения на график экспериментальных точек из них выбирают пары, в которых точки отстоят друг от друга примерно на одинаковое расстояние. Желательно, чтобы это расстояние было максимально возможным. Через каждую пару проводят прямую, а затем согласно (30) вычисляют угловые коэффициенты всех прямых. Из получившегося набора коэффициентов по правилам обработки данных прямых измерений определяют среднее значение коэффициента и его погрешность. Их принимают за результат измерения искомого параметра зависимости (29).

Следует отметить, что аналогичным образом в зависимости (29) можно найти свободный член (параметр b). По парам точек согласно (30) вычисляют свободные члены всех полученных прямых. Затем указанным выше способом рассчитывают среднее значение и погрешность.

Рассмотрим пример конкретной обработки данных эксперимента по измерению массы m тела, движущегося под действием силы F с ускорением a. Измеренные значения ускорения a и соответствующие им значения силы F приведены в таблице 3.

Таблица 3 – Зависимость ускорения тела от приложенной силы.

	a, м/с2 , 10-3

Теоретическое описание исследуемой зависимости дает второй закон Ньютона a=F/m, где величина 1/m является угловым коэффициентом линейной зависимости, проходящей через начало координат. Значит, для его определения можно воспользоваться методом парных точек. Нанесем экспериментальные точки на график (рисунок 8) и пронумеруем их по порядку от 1 до 8. Выберем пары точек 1-5, 2-6, 3-7, 4-8 и занесем их координаты в таблицу 4, которую используем для проведения необходимых вычислений.

Таблица 4 – Обработка данных методом парных точек.

Пары точек

ai , м/с2

mi –mср ,

(mi –mср )2

Рисунок 8 – Зависимость ускорения тела от приложенной силы.

Для каждой i-й пары точек по угловому коэффициенту наклона прямой, проведенной через эти точки определяется масса тела mi , а, затем, находится величина массы и ее среднеквадратичное отклонение:

mср ≈ 0,97461 кг, ∑ n (mi − mср ) 2 ≈ 63,245 10-3 кг2 ,

Для n=4 и доверительной вероятности P=0,95 коэффициент Стьюдента t(0,95; 4)=3,2 (см.

таблицу 1). Погрешность σ (m)=0,072598 3,2≈ 0,23231 кг.

Окончательный результат m=(0,97±0,23) кг.

Точность измерения массы невелика, что свидетельствует о наличии значительных экспериментальных погрешностей.

6.4. Метод наименьших квадратов

Пусть в результате эксперимента мы получили ряд измерений величины y: y1 , y2 , …, yn , соответствующих значениям аргумента x: x1 , x2 , …, xn , которые могут быть представлены на графике (рисунок 9) в виде точек (y1 , x1 ), (y2 , x2 ),…, (yn , xn ). Необходимо установить эмпирическую зависимость между y и x (аппроксимировать экспериментальную зависимость прямой линией).

Если соединить полученные точки ломаной линией, то очевидно, что она не будет описывать искомую зависимость, так как изменится при повторных измерениях. Задача заключается в нахождении такой функции y=f(x), которая как можно ближе подходила к истинной зависимости. Теория вероятности показывает, что наилучшим приближением будет такая кривая (или прямая) линия, для которой сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до кривой будет минимальной (рисунок 9)

Рисунок 9 –Зависимость y=f(x).

Задача заключается в определении коэффициентов a0 , a1 , … am искомой зависимости. Рассмотрим простейший, но часто встречающийся на практике случай линейной зависимости

Значения параметров k и b требуется определить так, чтобы точки располагались как можно ближе к искомой прямой. Если разброс точек относительно прямой подчиняется закону нормального распределения, то мерой этого разброса является среднеквадратичное отклонение.

Уравнение прямой можно выразить через экспериментальные значения xi

yi ′ =k xi +b.

Тогда условие (32) можно записать в виде


yi 2	= ∑ (yi − k x i − b) 2 = { min} .

Требуется найти, при каких k и b будет выполняться (34). Определим минимум функции (34), то есть найдем частные производные по параметрам k и b и приравняем их к нулю


	2∑ (yi − k x i − b) x i = 0,



	2∑ (yi − k x i − b) = 0.

Решая систему уравнений (35) относительно параметров прямой k и b, придем к следующим соотношениям

			[ (x i − x ) y i ]
			[ (x i − x ) y i ]




		∑ x i ,		∑ yi ,
		∑ x i ,		∑ yi ,

Оценка погрешности параметров k и b

	σ(k ) =	∑ y i		σ(b ) =
	σ(k ) =			σ(b ) =
		(n − 2) D

b = y − k x ,

∑ (x i − x ) 2 .

∑ y i

(n − 2)

где yi =yi –y= yi –k xi –b – отклонение экспериментального значения yi от значения, полученного по теоретической кривой (рисунок 9).

Если заранее известно, что физическая зависимость имеет вид прямой, исходящей из начала координат, т.е. коэффициент b=0 в уравнении прямой, то коэффициент k будет определяться только первым уравнением системы (35) при b=0. Коэффициент k в этом случае


		∑ [ x i y i ]



		∑ x i 2

В качестве иллюстрации метода рассмотрим пример конкретной обработки данных из предыдущего пункта по изучению зависимости силы от ускорения (таблица 3). Требуется определить зависимость (аппроксимировать) ускорения от результирующей силы F. В этом случае II закон Ньютона устанавливает прямую пропорциональность между ускорением и

результирующей силой a=k F, где в качестве коэффициента пропорциональности выступает величина обратная массе тела k=1/m. Таким образом, указанная зависимость a=f(F) имеет вид прямой исходящей из начала координат.

Результаты расчетов по формулам (37-39) приведены в таблице 5. При расчете n=8, в качестве величины yi выступает ai , в качестве величины xi – величина Fi .

Таблица 5 – Результаты расчетов по методу наименьших квадратов



	∑ i

19,520 10-3	18,588 10-3
		σ (k)	σ (m)
		σ (k)	σ (m)
42,978 10-3	476,48 10-6

Используя формулу (19) для расчета погрешности косвенного измерения величины m=1/k, можно определить ее погрешность σ (m)=σ (k)/k2 .

После округления результатов получим: k=1,05± 0,18 кг-1 ; m=0,95± 0,17 кг-1 .

Сравнивая результат с результатами расчета в предыдущем пункте, приходим к выводу, что величина массы и ее погрешность имеют приблизительно одинаковые значения, оцененные двумя различными методами. Доверительные интервалы оценок пересекаются.

Аппроксимирующая прямая

7. Правила оформления отчета по лабораторной работе

Отчет по лабораторной работе оформляется на скрепленных листах формата А4, либо используется тетрадь в клеточку (в сответствии c ). После титульного листа в заголовке указывается номер лабораторной работы и ее название. Далее следуют пункты.

7.1. Введение

7.2. Описание установки и методики измерения

Здесь необходимо кратко отразить методику эксперимента; зарисовать схему установки, иллюстрирующую принцип действия, физическое явление; отобразить графики, характеризующие природное явление. Все иллюстрации должны быть пронумерованы и иметь названия.

7.3. Основные расчетные формулы Необходимо привести расчетные формулы и их вывод. В том числе и формулы для оценки погрешностей.

7.4. Результаты работы и их анализ Экспериментальную часть начинают таблицы с экспериментальными и исходными

данными. Далее идут расчеты, экспериментальные графики. Таблицы и графики должны быть пронумерованы, и иметь названия. Расчеты должны быть приведены все, включая обработку результатов измерения. Записывается искомая величина, после знака "равно" – формула, по которой величина определяется. После знака "равно" необходимо привести

результатов измерений проводится во всех лабораторных работах.

7.5. Заключение В заключении формулируются выводы. Выводы формулируются исходя из

экспериментальных данных – как найденные величины зависят друг от друга? соответствует ли это теории? По виду и характеру графических зависимостей также формулируются выводы. Полученные зависимости и физические величины необходимо сравнить с теоретическими. Оценить расхождение. Окончательный вывод формулируется исходя из цели лабораторной работы.

При подготовке к защите лабораторных работ следует пользоваться как настоящим методическим пособием, так и литературой указанной в конце пособия, а также литературой, рекомендуемой преподавателем.

II. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ

1. Лабораторная работа 1. Измерение объема тела простой конфигурации

Введение

Основой любого эксперимента является измерение. Результаты любого физического эксперимента необходимо уметь анализировать. Это значит, что в физическом практикуме необходимо научиться не только измерять величины, но и находить связь между ними, сопоставлять результаты эксперимента с выводами теории.

Целью данной работы является получение навыков обработки результатов измерений и измерение объема тела в виде прямоугольного параллелепипеда.

1.1. Методика измерений

Принадлежности: деревянный брусок, штангенциркуль.

Преподавателем выдается тело, объем которого необходимо измерить, и прибор, измеряющий геометрические размеры (штангенциркуль). Правила пользования прибором

где a, b, c – длины граней параллелепипеда.

Измеряются длины граней a, b, c. Каждая длина измеряется несколько раз (от 3 до 9 раз) в разных местах поверхности, ограничивающей указанный размер.

1.2. Порядок проведения измерений

1.2.1. Получить принадлежности у преподавателя.

1.2.2. Определить систематическую погрешность прибора σ сист , которая указана на шкале прибора. Количество измерений n указывается преподавателем. По количеству измерений и

доверительной вероятности выбрать коэффициент Стьюдента tn,P (таблица 1). Указанные данные записать в таблицу 6.

Таблица 6 – Исходные данные.

		t n,P	σ сист, мм

1.2.3. Провести измерения параметров (ai , bi , ci ) n=8 раз. Результаты измерений записать в таблицу 7.

Таблица 7 – Измеренные значения длин граней параллелепипеда.

№ измерения, i	ai , мм	bi , мм	ci , мм

1.2.4. Сдать принадлежности преподавателю. 1.3. Обработка результатов измерений

1.3.1. Обработку результатов прямых многократных измерений линейных размеров a, b, c провести согласно п. 3.2 (I ) , где в качестве параметра Xi выступают значения ai или bi , ci .

1.3.2. Записать результаты расчетов в таблицу 8.

1.3.3. Результаты измеренных параметров записать в стандартном виде (15), указав доверительный интервал, и предварительно округлить. Результаты измерений следует записать в системе СИ.