Основные признаки параллелограмма. Теоремы параллелограмма

Параллелограмм. Признаки параллелограмма

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Теорема.

Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство.

Пусть ABCD – данный параллелограмм, O – точка пересечения диагоналей данного параллелограмма.
Δ AOD = Δ COB по первому признаку равенства треугольников (OD = OB, AO = OC по условию теоремы, ∠ AOD = ∠ COB, как вертикальные углы). Следовательно, ∠ OBC = ∠ ODA. А они являются внутренними накрест лежащими для прямых AD и BC и секущей BD. По признаку параллельности прямых прямые AD и BC параллельны. Так же доказываем, что AB и DC тоже параллельны. По определению данный четырехугольник параллелограмм. Теорема доказана.

Теорема.

Если у четырехугольника пара противоположных сторон параллельны и равны, то четырехугольник – параллелограмм.

Пусть ABCD – данный четырехугольник. AD параллельно BC и AD = BC.
Тогда Δ ADB = Δ CBD по первому признаку равенства треугольников (∠ ADB = ∠ CBD, как внутренние накрест лежащие между прямыми AD и BC и секущей DB, AD=BC по условию, DB – общая).
Следовательно, ∠ ABD = ∠ CDB, а эти углы являются внутренними накрест лежащими для прямых AB и CD и секущей DB. По теореме признаке параллельности прямых AB и CD параллельны. Значит, ABCD – параллелограмм. Теорема доказана.

Теорема.

Если в четырехугольнике противолежащие углы равны, такой четырехугольник – параллелограмм.

Доказательство.

Пусть дан четырехугольник ABCD. ∠ DAB = ∠ BCD и ∠ ABC = ∠ CDA.

Проведем диагональ DB. Сумма углов четырех угольника равна сумме углов треугольников ABD и BCD. Так как сумма углов в треугольнике равна 180 º,
∠ DAB + ∠ BCD + ∠ ABC + ∠ CDA.= 360 º. Так как противолежащие углы в четырехугольнике равны, то ∠ DAB + #8736 ABC = 180 º и ∠ BCD + ∠ CDA = 180 º.
Углы BCD и CDA являются внутренними односторонними для прямых AD и ВС и секущей DC, их сумма равна 180 º, поэтому из следствия к теореме о признаке параллельности прямых, прямые AD и ВС параллельны. Так же доказывается, что AB || DC. Таким образом, четырехугольник ABCD – параллелограмм по определению. Теорема доказана.

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Цель урока: рассмотреть признаки параллелограмма и закрепить полученные знания в процессе решения задач.

Задачи:

• образовательная: формирование умений применять признаки параллелограмма для решения задач;
• развивающая: развитие логического мышления, внимания, навыков самостоятельной работы, навыков самооценки;
• воспитательная: воспитание интереса к предмету, умение работать в коллективе, культуре общения.

Тип урока: изучение нового материала, первичное закрепление.

Оборудование: интерактивная доска, проектор, карточки с заданием, презентация.

Ход урока

1. Организационный момент.

У: Добрый день, ребята! Сегодня на уроке мы опять будем говорить о параллелограмме. Нам предстоит выполнить много заданий, доказать теоремы и научиться применять их при решении задач. Девизом нашего урока будут слова Ле Карбюзье: "Всё вокруг - геометрия".

2. Актуализация знаний учащихся.

Теоретический опрос

Некоторым учащимся дать индивидуальные задания по карточкам на тему свойства параллелограмма (задания выбирает каждый самостоятельно на слайде презентации по гиперссылке, наводя указатель мышки на фигуру, но не на цифру) , выслушать индивидуально каждого отвечающего.

С остальным - доказать дополнительные свойства параллелограмма. (Сначала обсудить устно доказательство, затем сверить с интерактивной доской).

1°. Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

2°. Биссектрисы соседних углов параллелограмма перпендикулярны, а биссектрисы противоположных углов параллельны или лежат на одной прямой.

После подготовки выслушать доказательства дополнительных свойств параллелограмма.

ABCD -параллелограмм,

AE -биссектриса угла BAD.

Доказать: ABE - равнобедренный.

Доказательство:

Так как ABCD - параллелограмм, значит BC || AD, тогда угол EAD = углу BEA как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AE. AE - биссектриса угла BAD, значит, угол BAE = углу EAD, поэтому угол BAE = углу BEA.

В ABE угол BAE =углу BEA, значит, ABE - равнобедренный с основанием AE.

Наводящие вопросы:

Сформулируйте признак равнобедренного треугольника.

Какие углы в BAE могут быть равными? Почему?

ABCD -параллелограмм,

BE -биссектриса угла CBA,

AE - биссектриса угла BAD.

Наводящие вопросы:

Когда прямые AE и CK будут параллельными?

Равны ли углы BEA и <3? Почему?

В каком случае AE и CK совпадут?

Подготовка к изучению нового материала

Фронтальная работа с классом (устно).

• Что означают слова "свойства" и "признак"? Приведите примеры.
• Что такое обратная теорема?
• Всегда ли верно утверждение обратное данному? Приведите примеры.

3. Объяснение нового материала.

У.: У каждого объекта есть свои свойства и признаки. Скажите, пожалуйста, чем отличаются свойства от признаков.

Давайте попробуем разобраться в этом вопросе на простом примере. Дан объект - осень. Назовите его свойства: Его признаки:

• Какими утверждениями являются по отношению друг к другу свойство и признак объекта? (ответ: обратными)
• Какие свойства в курсе геометрии мы уже изучали? Сформулируйте их. (называют несколько)

Для любого ли свойства можно построить верное обратное утверждение? (разные ответы).

Проверим это на следующих свойствах:

Сделайте вывод: Для любого ли свойства можно построить верное обратное утверждение? (нет, не для любого)

Теперь, давайте вернёмся к нашему четырёхугольнику, вспомним его свойства и сформулируем обратные для них утверждения, т.е:.. (ответ - признаки параллелограмма). Итак, тема сегодняшнего урока: "Признаки параллелограмма".

Итак, назовите свойства параллелограмма.

Сформулируйте обратные свойствам утверждения. (ученики формулируют признаки, учитель их корректирует и формулирует повторно)

Докажем, эти признаки. Первый признак - подробно, второй - коротко, третий - самостоятельно дома.

4. Закрепление изученного материала.

Работа в рабочих тетрадях: решить задачу №11 на интерактивной доске к доске вызвать менее подготовленного учащегося.

Решение задачи № 379 (решение записать на интерактивной доске). Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого AB BC и А острый, проведены перпендикуляры ВК и DМ к прямой АС. Докажите, что четырёхугольник BMDK - параллелограмм.

I. Если две противоположные стороны четырехугольника параллельны и равны, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Задача 1. Из вершин В и D параллелограмма АBCD, у которого АВ≠ ВС и угол А — острый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой АС. Докажите, что четырехугольник BMDK — параллелограмм.

Доказательство.

Так как ВК и DM перпендикулярны одной и той же прямой АС, то ВК II DM. Кроме того, ВК и DM являются высотами, проведенными в равных треугольниках Δ АВС и Δ CDA из вершин равных углов ∠B и ∠D к одной и той же стороне АС, следовательно, ВК = DM. Имеем: две стороны ВК и DM четырехугольника BMDK параллельны и равны, значит, BMDK – параллелограмм, что и требовалось доказать.

II. Если противоположные стороны четырехугольника попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Задача 2. На сторонах AB, BC, CD и DA четырехугольника ABCD отмечены соответственно точки M, N, P и Q так, что AM=CP, BN=DQ, BM=DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Доказательство.

1. По условию в четырехугольнике ABCD противоположные стороны состоят из равных отрезков, поэтому равны, т.е. AD=BC, AB=CD. Следовательно, ABCD – параллелограмм.

2. Рассмотрим Δ MBN и Δ PDQ. BM=DP и BN=DQ по условию. ∠B =∠D как противолежащие углы параллелограмма ABCD. Значит, Δ MBN = Δ PDQ по двум сторонам и углу между ними (1-й признак равенства треугольников). А в равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны. Отсюда MN=PQ. Мы доказали, что противоположные стороны MN и PQ четырехугольника MNPQ равны. Аналогично, из равенства треугольников Δ MAQ и Δ PCN следует равенство сторон MQ и PN, которые являются противоположными сторонами четырехугольника MNPQ. Имеем: противоположные стороны четырехугольника MNPQ попарно равны. Следовательно, четырехугольник MNPQ – параллелограмм. Задача решена.

III. Если диагонали четырехугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник - параллелограмм.

Задача 3. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, Докажите, что четырехугольник MNPQ, вершинами которого являются середины отрезков OA, OB, OC и OD, — параллелограмм.

Доказательство.

По свойству диагоналей параллелограмма ABCD его диагонали AC и BD точкой пересечения делятся пополам, т.е. ОА=ОС и ОВ=OD. Диагонали четырехугольника MNPQ так же пересекаются в точке О, которая будет серединой каждой их них. Действительно, так как вершины четырехугольника MNPQ по условию являются серединами отрезков ОА, ОС, ОВ и OD, то BN=ON=OQ=DQ и AM=OM=OP=CP. Следовательно, диагонали MP и NQ четырехугольника MNPQ в точке пересечения делятся пополам, следовательно, четырехугольник MNPQ – параллелограмм, что и требовалось доказать.

Теорема: Четырехугольник является параллелограммом, если:

1. противоположные его углы равны;
2. противоположные его стороны попарно равны;
3. его диагонали точкой пересечения делятся пополам;
4. две его противоположные стороны параллельны и равны.

Доказательство:

A. Пусть в четырехугольнике KLMN углы К и М равны друг другу и равны а, пусть также равны друг другу и равны р углы L и N (рисунок). Учитывая, что сумма углов четырехугольника равна 360°, получаем, что 2α + 2β = 360°, или α + β = 180°. Учитывая, что углы К и L, равные соответственно аир, являются внутренними односторонними углами при прямых KN и LM, пересеченных прямой KL, заключаем, что стороны KN и LM параллельны. Также по углам К и N заключаем, что стороны KL и NM параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник KLMN - параллелограмм.

B. Пусть в четырехугольнике CDEF стороны CD и FE, а также CF и DE попарно равны (рисунок). Проведем одну из диагоналей четырехугольника, например СЕ. Треугольники CDE и EFC равны по трем сторонам. Поэтому углы DEC и FCE равны. Поскольку эти углы являются внутренними накрест лежащими при прямых DE и CF, пересеченных прямой СЕ, то стороны DE и CF параллельны. Также из равенства углов DCE и FEC получаем, что стороны CD и FE параллельны. Теперь по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник CDEF - параллелограмм.

C. Пусть точка В пересечения диагоналей IL и КМ четырехугольника IKLM делит эти диагонали пополам: IB = BL и KB = ВМ (рисунок). Тогда треугольники KBL и MBI равны по двум сторонам и углу между ними. Это позволяет утверждать, что углы 1MB и LKB равны, а значит, стороны IM и KL параллельны. Аналогично из равенства треугольников KBI и MBL делаем вывод о параллельности сторон IK и LM. Теперь по определению параллелограмма можем утверждать, что четырехугольник IKLM - параллелограмм. Очень часто это надо знать при решении олимпиадных задачах на школьных олимпиадах.

D. Пусть в четырехугольнике OPQR противоположные стороны ОР и RQ параллельны и равны (рисунок). Проведем диагональ OQ. Полученные углы POQ и RQO равны, так как они являются внутренними накрест лежащими при параллельных прямых ОР и RQ, пересеченных прямой OQ. Поэтому треугольники OPQ и RQO равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, их соответствующие углы PQO и ROQ равны.

А поскольку они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых PQ и OR, пересеченных прямой OQ, то стороны PQ и OR параллельны. Учитывая параллельность сторон ОР и RQ, по определению параллелограмма утверждаем, что четырехугольник OPQR - параллелограмм.