Удельное сопротивление, а следовательно, и сопротивление металлов, зависит от температуры, увеличиваясь с ее ростом. Температурная зависимость сопротивления проводника объясняется тем, что

возрастает интенсивность рассеивания (число столкновений) носителей зарядов при повышении температуры;
изменяется их концентрация при нагревании проводника.

Опыт показывает, что при не слишком высоких и не слишком низких температурах зависимости удельного сопротивления и сопротивления проводника от температуры выражаются формулами:

\(~\rho_t = \rho_0 (1 + \alpha t) ,\) \(~R_t = R_0 (1 + \alpha t) ,\)

где ρ 0 , ρ t - удельные сопротивления вещества проводника соответственно при 0 °С и t °C; R 0 , R t - сопротивления проводника при 0 °С и t °С, α - температурный коэффициент сопротивления: измеряемый в СИ в Кельвинах в минус первой степени (К -1). Для металлических проводников эти формулы применимы начиная с температуры 140 К и выше.

Температурный коэффициент сопротивления вещества характеризует зависимость изменения сопротивления при нагревании от рода вещества. Он численно равен относительному изменению сопротивления (удельного сопротивления) проводника при нагревании на 1 К.

\(~\mathcal h \alpha \mathcal i = \frac{1 \cdot \Delta \rho}{\rho \Delta T} ,\)

где \(~\mathcal h \alpha \mathcal i\) - среднее значение температурного коэффициента сопротивления в интервале ΔΤ .

Для всех металлических проводников α > 0 и слабо изменяется с изменением температуры. У чистых металлов α = 1/273 К -1 . У металлов концентрация свободных носителей зарядов (электронов) n = const и увеличение ρ происходит благодаря росту интенсивности рассеивания свободных электронов на ионах кристаллической решетки.

Для растворов электролитов α < 0, например, для 10%-ного раствора поваренной соли α = -0,02 К -1 . Сопротивление электролитов с ростом температуры уменьшается, так как увеличение числа свободных ионов из-за диссоциации молекул превышает рост рассеивания ионов при столкновениях с молекулами растворителя.

Формулы зависимости ρ и R от температуры для электролитов аналогичны приведенным выше формулам для металлических проводников. Необходимо отметить, что эта линейная зависимость сохраняется лишь в небольшом диапазоне изменения температур, в котором α = const. При больших же интервалах изменения температур зависимость сопротивления электролитов от температуры становится нелинейной.

Графически зависимости сопротивления металлических проводников и электролитов от температуры изображены на рисунках 1, а, б.

При очень низких температурах, близких к абсолютному нулю (-273 °С), сопротивление многих металлов скачком падает до нуля. Это явление получило название сверхпроводимости . Металл переходит в сверхпроводящее состояние.

Зависимость сопротивления металлов от температуры используют в термометрах сопротивления. Обычно в качестве термометрического тела такого термометра берут платиновую проволоку, зависимость сопротивления которой от температуры достаточно изучена.

Об изменениях температуры судят по изменению сопротивления проволоки, которое можно измерить. Такие термометры позволяют измерять очень низкие и очень высокие температуры, когда обычные жидкостные термометры непригодны.

Литература

Аксенович Л. А. Физика в средней школе: Теория. Задания. Тесты: Учеб. пособие для учреждений, обеспечивающих получение общ. сред, образования / Л. А. Аксенович, Н.Н.Ракина, К. С. Фарино; Под ред. К. С. Фарино. - Мн.: Адукацыя i выхаванне, 2004. - C. 256-257.

Зависимость сопротивления металлов от температуры. Сверхпроводимость. Закон Видемана-Франца

Удельное сопротивление зависит не только от рода вещества, но и от его состояния, в частности, от температуры. Зависимость удельного сопротивления от температуры можно охарактеризовать, задавая температурный коэффициент сопротивления данного вещества:

Он даёт относительное приращение сопротивления при увеличении температуры на один градус.

Рисунок 14.3

Температурный коэффициент сопротивления для данного вещества различен при разных температурах. Это показывает, что удельное сопротивление изменяется с температурой не по линейному закону, а зависит от неё более сложным образом.

ρ=ρ 0 (1+αt) (14.12)

где ρ 0 – удельное сопротивление при 0ºС, ρ – его значение при температуре tºС.

Температурный коэффициент сопротивления может быть как положительным, так и отрицательным. У всех металлов сопротивление увеличивается с увеличением температуры, а следовательно для металлов

α >0. У всех электролитов в отличии от металлов сопротивление при нагревании всегда уменьшается. Сопротивление графита с повышением температуры также уменьшается. Для таких веществ α <0.

На основании электронной теории электропроводности металлов можно объяснить зависимость сопротивления проводника от температуры. С повышением температуры его удельное сопротивление увеличивается, а электропроводимость уменьшается. Анализируя выражение (14.7), видим, что электропроводимость пропорциональна концентрации электронов проводимости и средней длине свободного пробега <ℓ> , т.е. чем больше <ℓ> , тем меньшую помеху для упорядоченного движения электронов представляют соударения. Электропроводимость обратно пропорциональна средней тепловой скорости <υ τ > . Тепловая скорость при повышении температуры возрастает пропорционально , что приводит к уменьшению электропроводимости и увеличению удельного сопротивления проводников. Анализируя формулу (14.7), можно, кроме того, объяснить зависимость γ и ρ от рода проводника.

При очень низких температурах порядка 1-8ºК сопротивление некоторых веществ резко падает в миллиарды раз и практически становится равным нулю.

Это явление, впервые открыто голландским физиком Г.Камерлинг-Оннесом в 1911 г.. называется сверхпроводимостью . В настоящее время сверхпроводимость установлена у целого ряда чистых элементов (свинца, олова, цинка, ртути, алюминия и др), а также у большого числа сплавов этих элементов друг с другом и с другими элементами. На рис. 14.3 схематически показана зависимость сопротивления сверхпроводников от температуры.

Теория сверхпроводимости была создана в 1958 г. Н.Н. Боголюбовым. Согласно этой теории, сверхпроводимость – это движение электронов в кристаллической решётке без соударений друг с другом и с атомами решётки. Все электроны проводимости движутся как один поток невязкой идеальной жидкости, не взаимодействуя между собой и с решёткой, т.е. не испытывая трения. Поэтому сопротивление сверхпроводников равно нулю. Сильное магнитное поле, проникая в сверхпроводник, отклоняет электроны, и, нарушая «ламинарное течение» электронного потока, вызывает соударение электронов с решёткой, т.е. возникает сопротивление.

В сверхпроводящем состоянии между электронами происходит обмен квантами энергии, что приводит к созданию между электронами сил притяжения, которые больше кулоновских сил отталкивания. При этом образуются пары электронов (куперовские пары) с взаимно скомпенсированными магнитными и механическими моментами. Такие пары электронов движутся в кристаллической решётке без сопротивления.

Одним из важнейших практических применений сверхпроводимости является применение её в электромагнитах со сверхпроводящей обмоткой. Если бы не существовало критического магнитного поля, разрушающего сверхпроводимость, то с помощью таких электромагнитов можно было бы получать магнитные поля в десятки и сотни миллионов ампер на сантиметр. Получать такие большие постоянные поля с помощью обычных электромагнитов невозможно, так как для этого потребовались бы колоссальные мощности, и был бы практически невозможен отвод тепла, выделяемого при поглощении обмоткой столь больших мощностей. В сверхпроводящем электромагните расход мощности источника тока ничтожен, а расход мощности на охлаждение обмотки до гелиевой температуре (4,2ºК) на четыре порядка ниже, чем в обычном электромагните, создающем такие же поля. Сверхпроводимость применяется и для создания систем памяти электронных математических машин (криотронные элементы памяти).

В 1853 г. Видеман и Франц опытным путём установили, что отношение теплопроводности λ к электропроводности γ для всех метал лов при одной и той же температуре одинаково и пропорционально их термодинамической температуре.

Это заставляет предполагать, что теплопроводность в металлах, так же как и электропроводность, обусловлена движением свободных электронов. Будем считать, что электроны подобны одноатомному газу, коэффициент теплопроводности которого, согласно кинетической теории газов, равен

У металлов, не обладающих сверхпроводимостью, при низких температурах из-за наличия примесей наблюдается область 1 – область остаточного сопротивления, почти не зависящая от температуры (рис. 10.5). Остаточное сопротивление - r ост тем меньше, чем чище металл.

Рис. 10.5. Зависимость удельного сопротивления металла от температуры

Быстрый рост удельного сопротивления при низких температурах до температуры Дебая Q д может быть объяснен возбуждением новых частот тепловых колебаний решетки, при которых происходит рассеяние носителей заряда - область 2 .

При Т > Q д , когда спектр колебаний возбужден полностью, увеличение амплитуды колебаний с ростом температуры приводит к линейному росту сопротивления примерно до Т пл - область 3 . При нарушении периодичности структуры электрон испытывает рассеяние, приводящее к изменению направления движения, конечным длинам свободного пробега и проводимости металла. Энергия электронов проводимости в металлах составляет 3–15 эВ, что соответствует длинам волн 3–7 Å. Поэтому любые нарушения периодичности, обусловленные примесями, дефектами, поверхностью кристалла или тепловыми колебаниями атомов (фононами) вызывают рост удельного сопротивления металла.

Проведем качественный анализ температурной зависимости удельного сопротивления металлов. Электронный газ в металлах является вырожденным и основным механизмом рассеяния электронов в области высоких температур является рассеяние на фононах.

При понижения температуры до абсолютного нуля сопротивление нормальных металлов стремится к постоянному значению - остаточному сопротивлению . Исключением из этого правила являются сверхпроводящие металлы и сплавы, в которых сопротивление исчезает ниже некоторой критической температуры Т св (температура перехода в сверхпроводящее состояние).

При увеличении температуры, отклонение удельного сопротивления от линейной зависимости у большинства металлов наступает вблизи температуры плавления Т пл . Некоторое отступление от линейной зависимости может наблюдаться у ферромагнитных металлов, в которых происходит дополнительное рассеяние электронов на нарушениях спинового порядка.

При достижении температуры плавления и переходе в жидкое состояние у большинства металлов наблюдается резкое увеличение удельного сопротивления и у некоторых его уменьшение. Если плавление металла или сплава сопровождается увеличением объема, то удельноесопротивление повышается в два–четыре раза (например, у ртути в 4 раза).

У металлов, объем которых при плавлении уменьшается, наоборот, происходит понижение удельного сопротивления (у галлия на 53%, у сурьмы –29% и у висмута –54%) . Подобная аномалия может быть объяснена возрастанием плотности и модуля сжимаемости при переходе этих металлов из твердого в жидкое состояние. У некоторых расплавленных (жидких) металлов удельное сопротивление с ростом температуры при постоянном объеме перестает расти, у других оно растет более медленно, чем в твердом состоянии. Такие аномалии, по-видимому, можно связать с явлениями разупорядочения решетки, которые неодинаково происходят в различных металлах при переходе их из одного агрегатного состояния в другое.

Важной характеристикой металлов является температурный коэффициент удельного электрического сопротивления , показывающий относительное изменение удельного сопротивления при изменении температуры на один Кельвин (градус)

(10.11)

a r - положительно, когда удельное сопротивление возрастает при повышении температуры. Очевидно, что величина a r также является функцией температуры. В области 3 линейной зависимости r (T ) (см. рисунок 10.3) выполняется соотношение:

r=r 0 [ 1 +a r (T -T 0)]

(10.12)

где r 0 и a r - удельное сопротивление и температурный коэффициент удельного сопротивления при температуре T 0 , а r - удельное сопротивление при температуре T . Экспериментальные данные показывают, что у большинства металлов a r при комнатной температуре примерно 0,004 К -1 .У ферромагнитных металлов значение a r несколько выше.

Остаточное удельное сопротивление металлов. Как говорилось выше, сопротивление нормальных металлов стремится к постоянному значению - остаточному сопротивлению, по мере снижения температуры до абсолютного нуля. У нормальных металлов (не сверхпроводников) остаточное сопротивление возникает из-за рассеяния электронов проводимости статическими дефектами

Общую чистоту и совершенство металлического проводника можно определять отношением сопротивлений r =R 273 /R 4,2 K . Для стандартной меди чистоты 99,999 это отношение составляет 1000. Б óльших значений r можно достигнуть путем дополнительных зонных переплавок и приготовлением образцов в виде монокристаллов.

Обширный экспериментальный материал содержит многочисленные данные по измерению сопротивления вметаллах, вызванному наличием в них примесей. Можно отметить следующие наиболее характерные изменения в металлах, вызываемые легированием. Во-первых, не считая фононных возмущений, примесь является локальным нарушением идеальности решетки совершенное во всех других отношениях. Во-вторых, легирование влияет на зонную структуру, сдвигая энергию Ферми и изменяя плотность состоянии и эффективную массу, т.е. параметры, частично определяющие идеальное сопротивление металла. В-третьих, легирование может менять упругие константы и, соответственно, колебательный спектр решетки, оказывая влияние на идеальное сопротивление.

Общее удельное сопротивление проводника при температурах выше 0К складывается из остаточного сопротивления r ост и удельного сопротивления, обусловленного рассеянием на тепловых колебаниях решетки - r Т

r=r ост + r Т

(10.13)

Это соотношение известно как правило Матиссена об аддитивности удельного сопротивления. Часто, однако, наблюдаются значительные отклонения от правила Матиссена , причем некоторые их этих отклонений могут говорить не в пользу применимости основных факторов, влияющих на сопротивление металлов при введении в них примесей. Однако второй и третий факторы, отмеченные в начале этого раздела, также дают заметный вклад. Но, все же более сильное воздействие на сопротивление разбавленных твердых растворов оказывает первый фактор.

Изменение остаточного сопротивления на 1 ат . % примеси для одновалентных металлов можно найти по правилу Линде, согласно которому

Δρ ост = а + b (ΔΖ )

(10.14)

где a и b - константы, зависящие от природы металла и периода, который занимает в Периодической системе элементов примесный атом; ΔΖ - разность валентностей металла-растворителя и примесного атома. Значительный практический интерес представляют расчеты сопротивления, обусловленные вакансиями и внедренными атомами. Такие дефекты легко возникает при облучении образца частицами высоких энергий, например нейтронами из реактора или ионами из ускорителя.

На основании классической электронной теории проводимости металлов можно объяснить закон Джоуля-Ленца.

Упорядоченное движение электронов происходит под действием сил поля. Как и выше, будем считать, что в момент соударения с положительными ионами кристаллической решётки электроны полностью передают ей свою кинетическую энергию. К концу свободного пробега скорость электрона , а кинетическая энергия

(14.9)

Мощность, выделяемая единицей объёма металла (плотность мощности), равна произведению энергии одного электрона на число соударений в секундуи на концентрациюn электронов:

(14.10)

Учитывая (14.7), имеем

- закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме.

Если нас интересует энергия, выделяемая проводником длиной ℓ, площадью поперечного сечения S за промежуток времени dt, то выражение (14.10) нужно умножить на объём проводника V=St и время dt:

Учитывая, что
(гдеR– сопротивление проводника), получаем закон Джоуля-Ленца в виде

§ 14.3 Зависимость сопротивления металлов от температуры. Сверхпроводимость. Закон Видемана-Франца

(14.11)

Он даёт относительное приращение сопротивления при увеличении температуры на один градус.

Рисунок 14.3

ρ=ρ 0 (1+αt) (14.12)

где ρ 0 – удельное сопротивление при 0ºС, ρ – его значение при температуре tºС.

На основании электронной теории электропроводности металлов можно объяснить зависимость сопротивления проводника от температуры. С повышением температуры его удельное сопротивление увеличивается, а электропроводимость уменьшается. Анализируя выражение (14.7), видим, что электропроводимость пропорциональна концентрации электронов проводимости и средней длине свободного пробега <ℓ> , т.е. чем больше <ℓ> , тем меньшую помеху для упорядоченного движения электронов представляют соударения. Электропроводимость обратно пропорциональна средней тепловой скорости < υ τ > . Тепловая скорость при повышении температуры возрастает пропорционально
, что приводит к уменьшению электропроводимости и увеличению удельного сопротивления проводников. Анализируя формулу (14.7), можно, кроме того, объяснить зависимость γ и ρ от рода проводника.

Это явление, впервые открыто голландским физиком Г.Камерлинг-Оннесом в 1911 г.. называется сверхпроводимостью . В настоящее время сверхпроводимость установлена у целого ряда чистых элементов (свинца, олова, цинка, ртути, алюминия и др), а также у большого числа сплавов этих элементов друг с другом и с другими элементами. На рис. 14.3 схематически показана зависимость сопротивления сверхпроводников от температуры.

(14.13)

(n – концентрация атомов, m -масса атома, <ℓ> -средняя длина свободного пробега электрона, c V -удельная теплоёмкость).

Для одноатомного газа

(k -постоянная Больцмана, М –молярная масса).

(14.14)

Из уравнений (14.7) и (14.14) находим отношение теплопроводности и электропроводности металла:

(14.15)

Из кинетической теории газов известно, что
, тогда

(14.16)

(k и е – постоянные величины).

Поэтому отношение теплопроводности и электропроводности металла пропорционально термодинамической температуре, что и было установлено законом Видемана-Франца. Так как k =1,38∙10 -23 Дж/К; е = 1,6∙10 -19 Кл, то

(14.17)

Закон Видемана-Франца для большинства металлов выполняется при температуре 100-400 К, но при низкой температуре закон существенно нарушается. Имеются металлы (бериллий, марганец) которые совсем не подчиняются закону Видемана-Франца. Выход из непреодолимых противоречий был найден в квантовой электронной теории металлов.

Одна из характеристик любого проводящего электрический ток материала - это зависимость сопротивления от температуры. Если ее изобразить в виде графика на где по горизонтальной оси отмечаются промежутки времени (t), а по вертикальной - значение омического сопротивления (R), то получится ломаная линия. Зависимость сопротивления от температуры схематично состоит из трех участков. Первый соответствует небольшому нагреву - в этом время сопротивление изменяется очень незначительно. Так происходит до определенного момента, после которого линия на графике резко идет вверх - это второй участок. Третья, последняя составляющая - это прямая, уходящая вверх от точки, на которой остановился рост R, под относительно небольшим углом к горизонтальной оси.

Физический смысл данного графика следующий: зависимость сопротивления от температуры у проводника описывается простым до тех пор, пока величина нагрева не превысит какое-то значение, характерное именно для данного материала. Приведем абстрактный пример: если при температуре +10°C сопротивление вещества составляет 10 Ом, то до 40°C значение R практически не изменится, оставаясь в пределах погрешности измерений. Но уже при 41°C возникнет скачок сопротивления до 70 Ом. Если же дальнейший рост температуры не прекратится, то на каждый последующий градус придутся дополнительные 5 Ом.

Данное свойство широко используется в различных электротехнических устройствах, поэтому закономерно привести данные по меди как одному из самых распространенных материалов в Так, для медного проводника нагрев на каждый дополнительный градус приводит к росту сопротивления на полпроцента от удельного значения (можно найти в справочных таблицах, приводится для 20°C, 1 м длины сечением 1 кв.мм).

При возникновении в металлическом проводнике появляется электрический ток - направленное перемещение элементарных частиц, обладающих зарядом. Ионы, находящиеся в узлах металла, не в состоянии долго удерживать электроны на своих внешних орбитах, поэтому они свободно перемещаются по всему объему материала от одного узла к другому. Это хаотичное движение обусловлено внешней энергией - теплом.

Хотя факт перемещения налицо, оно не является направленным, поэтому не рассматривается в качестве тока. При появлении электрического поля электроны ориентируются в соответствии с его конфигурацией, формируя направленное движение. Но так как тепловое воздействие никуда не исчезло, то хаотично перемещающиеся частицы сталкиваются с направленными полем. Зависимость сопротивления металлов от температуры показывает величину помех прохождению тока. Чем больше температура, тем выше R проводника.

Очевидный вывод: снижая степень нагрева, можно уменьшить и сопротивление. (около 20°K) как раз и характеризуется существенным снижением теплового хаотичного движения частиц в структуре вещества.

Рассматриваемое свойство проводящих материалов нашло широкое применение в электротехнике. Например, зависимость сопротивления проводника от температуры используется в электронных датчиках. Зная ее значение для какого-либо материала, можно изготовить терморезистор, подключить его к цифровому или аналоговому считывающему устройству, выполнить соответствующую градуировку шкалы и использовать в качестве альтернативы В основе большинства современных термодатчиков заложен именно такой принцип, ведь надежность выше, а конструкция проще.

Кроме того, зависимость сопротивления от температуры дает возможность рассчитывать нагрев обмоток электродвигателей.