1) Область определения функции и область значений функции .
Область определения функции - это множество всех допустимых действительных значений аргумента x (переменной x ), при которых функция y = f(x) определена. Область значений функции - это множество всех действительных значений y , которые принимает функция.
В элементарной математике изучаются функции только на множестве действительных чисел.
2) Нули функции .
Нуль функции – такое значение аргумента, при котором значение функции равно нулю.
3) Промежутки знакопостоянства функции .
Промежутки знакопостоянства функции – такие множества значений аргумента, на которых значения функции только положительны или только отрицательны.
4) Монотонность функции .
Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.
Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.
5) Четность (нечетность) функции .
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x) . График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Нечетная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x ). График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
6) Ограниченная и неограниченная функции .
Функция называется ограниченной, если существует такое положительное число M, что |f(x)| ≤ M для всех значений x . Если такого числа не существует, то функция - неограниченная.
7) Периодическость функции .
Функция f(x) - периодическая, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x). Такое наименьшее число называется периодом функции. Все тригонометрические функции являются периодическими. (Тригонометрические формулы).
19. Основные элементарные функции, их свойства и графики. Применение функ-ций в экономике.
Основные элементарные функции. Их свойства и графики
1. Линейная функция.
Линейной функцией называется функция вида , где х - переменная, а и b - действительные числа.
Число а называют угловым коэффициентом прямой, он равен тангенсу угла наклона этой прямой к положительному направлению оси абсцисс. Графиком линейной функции является прямая линия. Она определяется двумя точками.
Свойства линейной функции
1. Область определения - множество всех действительных чисел: Д(y)=R
2. Множество значений - множество всех действительных чисел: Е(у)=R
3. Функция принимает нулевое значение при или.
4. Функция возрастает (убывает) на всей области определения.
5. Линейная функция непрерывная на всей области определения, дифференцируемая и .
2. Квадратичная функция.
Функция вида , где х - переменная, коэффициенты а, b, с - действительные числа, называетсяквадратичной.
Описание видеоурока
Функцией называется зависимость переменной игрек от переменной икс, при которой каждому значению переменной икс соответствует единственное значение переменной игрек.
Икс называется независимой переменной или аргументом. Игрек называется зависимой переменной, значением функции или просто функцией.
Если зависимость переменной игрек от переменной икс является функцией, то коротко записывают так: игрек равно эф от икс. Этим символом обозначают также значение функции, соответствующее значению аргумента икс.
Пусть функция задана формулой игрек равно три икс квадрат минус пять. Тогда можно записать, что эф от икс равно три икс квадрат минус пять. Найдем значения функции эф для значений икс, равных двум и минус пяти. Они будут равны семи и семидесяти.
Заметим, что в записи игрек равно эф от икс вместо эф можно употреблять и другие буквы: же, фи и так далее.
Все значения икс образуют область определения функции. Все значения, которые принимает игрек, образуют область значений функции.
Функция считается заданной, если указана её область определения и правило, согласно которому каждому значению икс поставлено в соответствие единственное значение игрек.
Если функция игрек равно эф от икс задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений переменной икс, при которых выражение эф от икс имеет смысл…
Графиком функции называется множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции.
На рисунке изображен график функции игрек равно эф от икс, областью определения которой является отрезок от единицы до пяти. С помощью графика можно найти, например, что функция от числа один равна минус трем, функция от двух равна двум, функция от числа четыре равна минус двум, функция от числа пять равна минус четырем. Наименьшее значение функции равно минус четырем, а наибольшее - двум. При этом любое число от минус четырех до двух, включая эти числа, является значением данной функции. Таким образом, областью значений функции игрек равно эф от икс является отрезок от минус четырех до двух.
Ранее нами уже были изучены некоторые виды функций:
- Линейная функция, задаваемая формулой игрек равно ка икс плюс бэ, где ка и бэ - некоторые числа;
- Прямая пропорциональность - частный случай линейной функции, она задается формулой игрек равно ка икс, где ка не равно нулю;
- Обратная пропорциональность - функция игрек равно ка деленное на икс, где ка не равно нулю.
Графиком функции игрек равно ка икс плюс бэ является прямая. Область определения этой функции - множество всех чисел. Областью значений этой функции при ка не равном нулю является множество всех чисел, а при ка равном нулю ее область значений состоит из одного числа бэ.
График функции игрек равно ка деленное на икс называется гиперболой.
На рисунке изображен график функции игрек равно ка деленное на икс, для ка большего нуля. Областью определения этой функции является множество всех чисел, кроме нуля. Это множество является и областью ее значений…
Функциями описываются многие реальные процессы и закономерности. Например, прямой пропорциональностью является зависимость массы тела от его объема при постоянной плотности; зависимость длины окружности от ее радиуса. Обратной пропорциональностью является зависимость силы тока на участке цепи от сопротивления проводника при постоянном напряжении; зависимость времени, которое затрачивает равномерно движущееся тело на прохождение заданного пути, от скорости движения.
Изучались также функции, заданные формулами игрек равно икс квадрат, игрек равно икс куб, игрек равно корень квадратный из икс.
Рассмотрим функцию, заданную формулой игрек равно модуль икс.
Так как выражение модуль икс имеет смысл при любом икс, то областью определения этой функции является множество всех чисел. По определению модуль икс равен икс, если икс больше либо равен нулю, и минус икс, если икс меньше нуля. Поэтому функцию игрек равно модуль икс можно задать следующей системой.
График рассматриваемой функции в промежутке от нуля до плюс бесконечности, включая ноль, совпадает с графиком функции игрек равно икс, а в промежутке от минус бесконечности до нуля - с графиком функции игрек равно минус икс. График функции игрек равно модуль икс состоит из двух лучей, которые исходят из начала координат и являются биссектрисами первого и второго координатных углов.
Урок по теме «Область определения и область значений функции» проводится в 10 классе в курсе алгебры и начал анализа. На объяснение материала по данной теме автор отводит 8:47 минут. этого времени достаточно для того, чтобы обучающиеся прослушали необходимую информацию, зафиксировали ее в своих тетрадях и поняли содержание материала. Примерно столько же времени затрачивает учитель на уроке при объяснении нового материала.
Автор позаботился об учителях, нагрузка которых итак достаточно велика, поэтому разработал данный видеоурок с учетом всех требований. То есть, урок соответствует возрасту обучающихся, их уровню образования и особенностей восприятия материала. Учителю останется лишь подобрать материал для закрепления новой информации, полученной из данного урока.
Урок начинается с информации о том, что функция задается вместе с областью определения. Далее автор определяет переменные xи y? как аргумент и значение функции соответственно. После этого вводятся определения понятий область определения функции и область значений функции.
Затем рассматривается пример, где функция задана графически, и необходимо определить ее область определения. Решение данного примера подробно расписывается на экране. Автор поясняет каждый момент, где обучающиеся могут допустить ошибки. Все объяснение сопровождается наглядной иллюстрацией на рисунке.
Далее автор переходит к пункту «Область определения рациональной функции». Для обучающихся говорится о том, что в область определения рациональных функций не входят те значения аргумента, которые обращают знаменатель в нуль. Это поясняется на случае общего написания рациональной функции.
Затем на этот случай рассматривается пример. Здесь необходимо найти область определения рациональной функции. Решение пример основано на той информации, которую только что автор поведал обучающимся. То есть, он находит все те значения, которые обращают знаменатель в нуль и исключает их из множества действительных чисел, получая, таким образом, область определения функции.
после этого предлагается рассмотреть еще один пример, где требуется найти область определения рациональной функции. Но здесь наблюдается следующая особенность: знаменатель дроби никогда не обращается в нуль. Поясняя это, автор делает вывод, что областью определения данной функции является множество действительных чисел. После этого примера предлагается запомнить закономерность, которая только что была использована в примере.
Далее автор переходит к пункту «Область определения иррациональной функции». Здесь важно запомнить то, что подкоренное выражение никогда не может быть отрицательным. Это подкрепляется математической интерпретацией на математической языке. Здесь же поясняется, что если иррациональное выражение в записи функции находится в знаменателе, то подкоренное выражение будет не просто неотрицательным, а строго положительным.
К этому материалу прилагается пример, где требуется найти область определения иррациональной функции. Решая неравенство: подкоренное выражение неотрицательно, автор получает значения аргумент, которые образуют область определения заданной функции.
Затем рассматривается область определения функции с натуральным логарифмом. Сначала дается теоретический экскурс по данному материалу, а затем приводится пример с подробным описанием каждого шага решения.
После всего теоретического материала автор предлагает рассмотреть три примера, где требуется найти область определения и область значений функции, заданной графически. Это можно использовать как небольшой элемент закрепления выданного только что материала.
Урок будет полезен не только учителям, но и обучающимся, которые занимаются самообразованием или пропустили урок по данной теме по определенным причинам. Из этого урока обучающиеся смогут почерпнуть не только теоретический материал, но и подкрепить полученные знания практическими упражнениями.
ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:
Область определения и область значений функции.
Из определения функции следует, что функция игрек равен эф от икс задается вместе с ее областью определения икс большое.
Для изучения этой темы нам необходимо вспомнить: как называется переменная икс? число у?
Независимую переменную икс называют аргументом функции, а число игрек, соответствующее числу икс, называют значением функции эф в точке икс и обозначают эф от икс
Какое множество называется областью определения функции?
Если нам дана функция у=f(х),то ее область определения - это множество значений «икс» , для которых существуют значения «игрек»и обозначают дэ большое от эф.
Область значений функции - множество, состоящее из всех чисел эф от х, таких, что икс принадлежит икс большому и обозначают е большое от эф.
Рассмотрим пример. Функция задана графически. Определить дэ большое от эф.
Область определения данной функции представляет собой объединение промежутков:
интервал от минус бесконечности до а, луч от вэ до цэ и интервал от цэ до плюс бесконечности. Действительно так, если взять любое значение «икс» из интервала от минус бесконечности до а, или из полуинтервала от вэ до цэ, или из интервала от цэ до плюс бесконечности, то для каждого такого «икс» будет существовать значение «игрек».
Как ?
Рассмотрим примеры.
Первое.
Область определения рациональной функции, т.е. аргумент у которой есть в содержится в знаменателе.
Запомните:
значения аргумента, которые обращают знаменатель в ноль - не входят в область определения данной функции .
Предположим, дана функция, содержащая некоторую дробь единица, деленная на альфа от ихс. Как вы знаете, на ноль делить нельзя: поэтому альфа от икс не равно нулю
Найти область определения функции
эф от икс равен дроби, числитель которой икс плюс два, а знаменатель - икс квадрат минус три. Данная функция задана аналитически.
Решение : обращаем внимание на знаменатель, он должен быть не нулевым. Приравняем его к нулю и найдем значение аргумента которые обращают знаменатель функции в ноль:
икс квадрат минус триравно нулю.
икс квадрат равно трем.
Полученное уравнение имеет два корня:
минус квадратный корень из трех, квадратный корень из трех.
Данные значения не входят в область определения функции , так как при этих значениях знаменатель дроби обращается в ноль.
Ответ : дэ большое от эф равен объединению промежутков:интервал от минус бесконечности до квадратного корня из трех,интервал от минус квадратного корня из трех до квадратного кореня из трех.
и интервал от квадратного кореня из трех
до плюс бесконечности.
Рассмотрим еще пример.
Найти область определения функции
эф от икс равен дроби, числитель которой единица, а знаменатель - икс квадрат плюс один.
Рассмотрим выражение стоящее в знаменателе: к квадрату числа икс прибавляют единицу он всегда положительно т.е. какое бы значение «икс» мы не взяли, знаменатель не обратится в ноль, более того, будет всегда положителен, значит область определения функции, дэ большое от эф равено множеству всех действительных чисел.
определена на всей числовой оси.
Запомните!
при любом значении «икс» и положительной константе
ка
:
икс квадрат плюс ка больше нуля.
Второе.
Область определения иррациональной функции (содержащий радикал или корень).
подкоренное выражение неотрицательно
Функция вида игрек равен квадратный корень из альфа от икс определена только при тех значениях икс из области определения дэ от альфа, когда альфа от икс не отрицательно, т.е. больше или равна нулю. Если функция содержащая радикал в знаменателе дроби, то альфа от х строго больше нуля.
Найти область определения функции
эф от икс равен квадратный корень из трех минус два икс.
Решение : подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
три минус два икс больше или равно нулю
минус два икс больше или равно минус трем
два икс меньше или равно трем
икс меньше или равнотрем вторым
Ответ: дэ большое от эф равен полуинтервалу от минус бесконечности до трех вторых.
Третье .
Область определения функций с натуральным логарифмом.
Пусть функция содержит натуральный логарифм альфа от икс., то в её область определения входят только те значения икс, удовлетворяющие неравенству альфа от икс строго больше нуля.
Если логарифм находится в знаменателе: то дополнительно накладывается условие альфа от икс не равно единице, (так как натуральный логарифм единицы равен нулю).
Найти область определения функции
эф от икс равен дроби числитель равен единице, а знаменатель - натуральный логарифм из выражения икс плюс три.
Решение : в соответствии с вышесказанным составим и решим систему:
икс плюс три больше нуля
и икс плюс три не равно единице
икс больше минус трех и икс не равно минус двум.
Изобразим множество решений системы на прямой и сделаем вывод.
Ответ: дэ большое от эф равно объединению промежутков: интервалам от минус трех до минус двух и от минус двух до плюс бесконечности.
Дэ большое от эф равен отрезку от минус четырех до двух;
Е большое от эф равно отрезку от минус одного до двух;
Найтиобласть определения и область значений функции.
Дэ большое от эф равен интервалу от минус двух до пяти;
Е большое от эф равно отрезку от минус двух до трех;
Найтиобласть определения и область значений функции.
Дэ большое от эф равен отрезку от минус четырех до трех;
Е большое от эф равно отрезку от минус пяти до нуля;
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная - одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?
Геометрический и физический смысл производной
Пусть есть функция f(x) , заданная в некотором интервале (a, b) . Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0 . Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:
Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.
Иначе это можно записать так:
Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:
производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.
Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.
Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t . Средняя скорость за некоторый промежуток времени:
Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:
Правило первое: выносим константу
Константу можно вынести за знак производной. Более того - это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило - если можете упростить выражение, обязательно упрощайте .
Пример. Вычислим производную:
Правило второе: производная суммы функций
Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.
Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.
Найти производную функции:
Правило третье: производная произведения функций
Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:
Пример: найти производную функции:
Решение:
Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.
В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:
В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.
Правило четвертое: производная частного двух функций
Формула для определения производной от частного двух функций:
Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.
С любым вопросом по этой и другим темам вы можете обратиться в студенческий сервис . За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если вы никогда раньше не занимались вычислением производных.
