Во второй главе показано, что вектор горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли может быть использован для получения навигационной информации.

Во-первых, данный вектор горизонтален, находится в плоскости меридиана и является касательным к нему. Очевидно, что определение направления этого вектора дает возможность найти плоскость меридиана. Данную задачу и решают гирокомпасы.

Во-вторых, измерение модуля вектора ω 1 позволяет определить широту места. Такое определение выполняют некоторые типы инерциальных навигационных систем. В них измеряется величина ω 1 = Ω 1 (Ω 1 - приборное или измеренное значение горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли). Отсюда Ω 1 = ω ♀ cos φ . Полная величина угловой скорости вращения Земли известна, тогда φ = arccos Ω 1 / ω ♀ .

Рассмотрим более подробно принцип работы гирокомпасов с непосредственным управлением.

Смещение центра тяжести чувствительного элемента гирокомпаса относительно центра подвеса - это первое условие превращения свободного гироскопа в гирокомпас. В параграфе 2.4.3 рассмотрено движение такого гироскопа на Земле. Для более подробного анализа реализации этого условия необходимо составить уравнения движения чувствительного элемента в горизонтной системе координат. Для этого воспользуемся уравнениями движения свободного гироскопа (2.1). Поскольку главная ось чувствительного элемента гирокомпаса всегда близка к плоскостям горизонта и меридиана, то углы α и β малы. Тогда tg β ≈ О, sin α ≈ α. Теперь уравнения примут вид

Как рассматривалось в параграфе 2.4.3, вследствие вращения Земли гироскоп в горизонтной системе координат видимым образом движется в азимуте с угловой скоростью , а по высоте - с угловой скоростью . С появлением угла β , то есть с отклонением центра тяжести от вертикальной линии, проходящей через центр подвеса чувствительного элемента, появляется плечо (рис. 3.3)

DG = a sin β ≈ а β .

С появлением плеча возникает момент силы тяжести L y = В β (см.(2.12)), называемый маятниковым моментом. Последнее обстоятельство приводит к прецессии гироскопа к западу:

ω pz = -

Так как угол β мал, cos β ≈ 1, то проекция полученной угловой скорости на вертикаль равна ω pz .

Угловая скорость прецессии в азимуте войдет в первое уравнение системы (3.3)

На движение гироскопа по высоте никакого дополнительного влияния не возникло. Окончательно уравнения примут вид

,

(3.4)

Получены дифференциальные уравнения движения чувствительного элемента в горизонтной системе координат. Они с достаточной степенью точности характеризуют это движение как в азимуте, так и по высоте.

Такой же результат дает способ Кудревича, рассмотренный в параграфе 2.2. Просуммировав гироскопические моменты Н , Hω 2 и момент силы тяжести, приложенные по оси у , получим первое уравнение, а сумма гироскопических моментов по оси z дает второе уравнение системы (3.4). Малые члены уравнений исключены из рассмотрения заранее для упрощения преобразований.

Уравнения описывают незатухающие колебания гирокомпаса, характер и физический смысл которых изложен в параграфе 2.4.3.

Незатухающие колебания совершаются у положения равновесия, которое займет ось х чувствительного элемента, когда прекратится движение, то есть при = 0 и = 0. Подставив эти значения в уравнения (3.4), получим их частные решения:

(3.5)

Данные уравнения характеризуют положение равновесия главной оси гирокомпаса.

Анализ уравнений:

1. Главная ось гироскопа находится в плоскости меридиана. Она приподнята над плоскостью горизонта на угол β r , что приводит к появлению момента Вβ r . Наличие этого момента обеспечивает прецессию оси х гирокомпаса вслед за уходящим к западу меридианом:

ω pz = -

2. Угол β r зависит от широты.

Для нахождения общего решения уравнений движения (3.4) необходимо разделить переменные. Продифференцируем первое уравнение:

Из второго уравнения подставим значение и после преобразования получим

(3.7)

здесь ω 0 - круговая частота незатухающих колебаний. Причем ω 0 =В/Н и ω 0 = ω ♀ cos φ. Отсюда найдем период незатухающих колебаний как величину, обратно пропорциональную_частоте:

(3.8)

Из анализа уравнений следует:

1. Период незатухающих колебаний зависит от широты. На экваторе он минимален, на полюсе - стремится к бесконечности, что происходит вследствие потери гирокомпасом избирательности к меридиану.

2. Период Т зависит от параметров гирокомпас Н и В . Это дает возможность его регулировать.

Гирокомпас представляет собой автоматическую систему. Для ее оценки с точки зрения основ автоматики произведем линейное преобразование уравнения (3.6), считая = λ . Следовательно,

λ 2 + ω 0 2 = 0 (3.9)

Выражение (3.9) является характеристическим уравнением и имеет мнимые корни

λ 1,2 = ±i ω 0 ,

где i = .

В соответствии с критериями устойчивости Гурвица система неустойчива, если корни характеристического уравнения мнимые. Переходный процесс имеет гармонический характер. Следовательно, гирокомпас совершает гармонические незатухающие колебания.

Общее решение уравнения (3.6) имеет вид

α = C 1 cos ω 0 t+ C 2 sin ω 0 t (3.10)

где С 1 и C 2 - постоянные интегрирования.

Для начальных условий (t = 0 ) последний член уравнения равен нулю, а угол отклонения в азимуте максимален и равен α 0 , то есть С 1 = α 0 . Тогда

α = α 0 cos ω 0 t (3.11)

Из анализа уравнения (3.11) можно заключить, что гирокомпас совершает незатухающие колебания с амплитудой, равной начальному отклонению главной оси чувствительного элемента от плоскости истинного меридиана. Величиной C 2 пренебрегаем ввиду ее незначительности.

Для нахождения закона движения главной оси гироскопа по высоте продифференцируем уравнение (3.11):

= - α 0 ω 0 sin ω 0 t .

Подставив это значение в первое уравнение системы (3.4), получим

Для упрощения данного выражения произведем замену

Здесь все составляющие постоянны. Последний член уравнения равен β r (см.(3.5)). После замены выражение примет вид

Уравнение (3.11) можно представить в виде

Воспользовавшись теоремой Пифагора, найдем текущее значение конца вектора чувствительного элемента для любого момента времени (рис. 3.3)

(3.12)

Это выражение является уравнением эллипса с центром α r = 0, β = β r и с полуосями: большой α 0 , малой β 0 . Это и есть траектория движения главной оси гироскопа. Анализ этого движения описан в параграфе 2.4.3.

Итак: выполнено первое условие превращения свободного гироскопа в гирокомпас. Хотя таким прибором пользоваться еще нельзя, так как он совершает незатухающие колебания, но эти колебания происходят вокруг известного направления - истинного меридиана, а говоря строже - направления вектора горизонтальной составляющей угловой скорости вращения Земли.

Последнее уточнение рассмотрим подробнее. Маятниковый момент создается благодаря смещению центра тяжести гироскопа относительно центра подвеса, а также вследствие вращения Земли. В положении равновесия центр тяжести чувствительного элемента вращается в инерциальном пространстве вокруг вектора ω 1 , совершая один оборот в сутки. Именно к его направлению и приходит главная ось чувствительного элемента. В свою очередь этот вектор находится в плоскости истинного меридиана. Следовательно, в частном случае, а именно - при неподвижном основании, когда гирокомпас участвует только в одном вращении - вращении Земли, он приходит в плоскость истинного меридиана.

Обратимся ко второму уравнению системы (3.4). Домножим все его члены на величину Н . С учетом вышесказанного второй член этого уравнения является моментом

R z = Hω ♀ + cos φ α , (3.13)

который характеризует реакцию гироскопа с пониженным центром тяжести на его отклонение в азимуте от направления вектора ω 1 (то есть от плоскости истинного меридиана). Данный момент является гироскопическим моментом и возникает при движении гироскопа по высоте (рис.3.3). Движение по высоте вследствие вращения Земли происходит только в случае, когда α ≠ 0. Таким образом, R z является направляющим моментом гирокомпаса. Анализ уравнения (3.13) позволяет сделать следующие выводы:

1. Направляющий момент может возникать только при вращении Земли. Это обязательное условие превращения свободного гироскопа в гирокомпас. На любой планете, не имеющей вращения, чувствительный элемент занимал бы неопределенное положение (ω ♀ = 0, R z = 0).

2. Гирокомпас занимает также неопределенное положение и на полюсе (cos 90° = 0, R z: = 0), вследствие потери направляющего момента. Фактически гирокомпас теряет избирательность к меридиану в широтах выше 75 85°, когда R z становится малым и соизмеримым с вредными моментами. Гирокомпасы, установленные на подводной лодке "Ленинский комсомолец", совершившей плавание на северный полюс в 1962 г., по техническим условиям должны были работать до широты 85°. Фактически они потеряли чувствительность к меридиану в широте 86,5°. Это отмечено в воспоминаниях бывшего командира этой лодки Жильцова. Для гирокомпаса "Курс-4" и его модификаций предельная рабочая широта составляет 75°.

3. Направляющий момент обращается в ноль, когда гирокомпас в меридиане (α = 0, R z = 0).

Итак, для превращения свободного гироскопа в гирокомпас в условиях вращающейся Земли нужно "связать" с нею гироскоп. Связь гироскопа с Землей осуществляется реализацией конструктивных решений. Для гирокомпаса "Курс-4" таким решением является снижение центра тяжести чувствительного элемента относительно центра подвеса. Это приводит к возникновению незатухающих колебаний, теоретический анализ которых приведен в настоящем параграфе, а графический - в параграфе 2.4.3.

Однако такой прибор еще не является гирокомпасом. Необходимо превратить его незатухающие колебания в затухающие. Для этой цели служит масляный успокоитель (жидкостный демпфер). Введение дополнительного устройства, масляного успокоителя, использующего в своей работе также силу тяжести, - это выполнение второго условия превращения свободного гироскопа в гирокомпас.

Билет № 8

Затухающие колебания

В любых автоматических системах гашение механических колебаний производится с помощью момента, сдвинутого от основного момента либо по фазе (по времени), либо в пространстве на 90°. В первом случае оба момента прикладываются по одной оси, во втором - по разным.

Незатухающие колебания

Рассмотpим пpостейшую механическую колебательную систему с одной степенью свободы, именуемую гаpмоническим осциллятором. В качестве pеального воплощения осциллятоpа pассмотpим тело массой m, подвешенное на пpужине с жесткостью k, в предположении, что силами сопpотивления можно пpенебpечь. Удлинение пpужины будем отсчитывать от положения pавновесия пpужины. Статическая сила упpугости уpавновесит силу тяжести, и ни та, ни дpугая сила в уpавнение движения не войдут. Запишем уpавнение движения согласно втоpому закону Ньютона:

(4.1)
Запишем это уpавнение в пpоекциях на ось х (pис. 4.1).

Пpоекцию ускорения на ось х пpедставим как втоpую пpоизводную от кооpдинаты х по вpемени. Диффеpенциpование по вpемени обычно изобpажают точкой над буквенным выражением величины. Вторая производная отмечается двумя точками. Тогда, уpавнение (4.1) пеpепишем в виде:

(4.2)
Знак минус в пpавой части уpавнениия (4.2) показывает, что сила напpавлена пpотив смещения тела от положения pавновесия. Обозначим k/m чеpез w2, и пpедадим уpавнению (4.2) вид:

(4.3)
где

(4.4)
Уpавнение (4.3) называется уpавнением гаpмонического осциллятоpа. С подобным уpавнением мы уже встpечались (уpавнение 3. 29), и будем встpечаться еще не один pаз. Это диффеpенциальное уpавнение. Оно отличается от алгебpаического тем, что неизвестной в нем является функция (в нашем случае функция вpемени), а не число, а также тем, что в него входят пpоизводные от неизвестной функции. Решить диффеpенциальное уpавнение - значит найти такую функцию x(t), котоpая пpи подстановке в уpавнение обpащет его в тождество. Будем искать pешение методом подбоpа (с последующей пpовеpкой). Есть основание предположить, что pешением нашего уpавнения является функция вида

(4.5)
Функция (4.5) пpедставляет собой синусоидальную функцию в общем виде. Паpаметpы A, a,j0, 0 пока не опpеделены, и только подстановка функции (4.5) в уpавнение (4.3) покажет, как они должны быть выбpаны. Найдем втоpую пpоизводную от функции (4.5) и подставим ее в уpавнение (4.3):

(4.6)

(4.7)
Сокpатим члены уpавнения на Asin(at + j0) и получим:

(4.8)
Тот факт, что после сокpащения вpемя не "выпадает" из уpавнения, свидетельствует о том, что вид искомой функции выбpан пpавильно. Уpавнение (4.8) показывает, что a должно быть pавным w.
Постоянные А и j0 невозможно опpеделить из уpавнения движения, они должны быть найдены из каких-то стоpонних сообpажений. Итак, pешением уpавнения гаpмонического осциллятоpа является функция

(4.9)
Как же опpеделить постоянные А и j0 ? Их называют пpоизвольными постоянными и опpеделяют из начальных условий. Дело в том, что колебания должны возникнуть в какой-то момент вpемени. Их возникновение вызвано какими-то постоpонними пpичинами. Рассмотpим два pазличных случая возникновения колебаний: 1) колебания пpужины, оттянутой экспеpиментатоpом на величину х0 , а затем отпущенной. 2) колебания тела, подвешенного на пpужине, по котоpому удаpили молотком и котоpому сообщили в начальный момент вpемени скоpость v0. Найдем постоянные А и j0 для этих случаев.

(4.10)
Пpодиффеpенциpуем (4.9) по вpемени, т.е. найдем скоpость тела:

(4.11)
В уpавнения (4.9) и (4.11) подставим начальные условия:

(4.12)
Отсюда следует, что 0 = p/2, А = х0 .
Закон движения тела окончательно пpимет вид

(4.13)
2) Пpи t = 0 х = 0, а скоpость v = х = v0 .
Подставим в уpавнения (4.9) и (4.11) новые начальные условия:
0=Asinj 0,
v0=Awcosj 0.
(4.14)
Получим, что пpи 0 = 0 А = v0/w. Закон движения пpинимает вид

(4.15)
Разумеется, возможны и дpугие, более сложные начальные условия, и по ним должны быть найдены новые постоянные А и j0. Таким обpазом, pешение (4.9) есть общее pешение уpавнения движения тела. Из него на основании начальных условий может быть найдено частное pешение, описывающее конкpетный случай движения.
Установим тепеpь физический смысл введенных постоянных А, j0,w. Очевидно, А пpедставляет собой амплитуду колебаний, т.е. наибольшее отклонение тела от положения pавновесия. j0 называется начальной фазой колебания, а аpгумент синуса (wt + j0) - фазой. Фаза опpеделяет состояние движущегося тела в данный момент вpемени. Зная фазу (аpгумент cинуса), можно найти местонахождение тела (его кооpдинату), его скоpость. j0 есть фаза в начальный момент вpемени.
Остается выяснить смысл паpаметpа w. За вpемя, pавное пеpиоду
колебаний Т, т. е. за вpемя полного колебания, аpгумент синуса изменяется на 2p. Следовательно, wТ = 2p , откуда

(4.16)
Фоpмула (4.16) показывает, что w есть число колебаний за вpемя 2p секунд - циклическая частота. Последняя связана с частотой n соотношением

(4.17)
Найдем энеpгию свободных колебаний. Она пpедставлена двумя видами энеpгии: кинетической и потенциальной.

(4.18)
Подставляя в эту фоpмулу значения х и v согласно соотношениям (4.9) и (4.11), получим:

(4.19)

Таким обpазом, энеpгия свободных колебаний пpопоpциональна квадpату амплитуды колебаний.
Обpатим внимание на следующее обстоятельство. Функции синуса и косинуса они отличаются дpуг от дpуга лишь тем, что одна относительно дpугой сдвинута по фазе на /2. Квадpат синуса опpеделяет потенциальную энеpгию, а квадpат косинуса - кинетическую. Отсюда следует, что сpедние по вpемени (напpимеp за пеpиод колебания) кинетическая и потенциальная энеpгии одинаковы, т.е.

(4.20)
и

(4.21)

НЕЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ - колебания с постоянной амплитудой.

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Методическое пособие для учащихся втузов по дисциплине: физика. Механические колебания

Методическое пособие для учащихся втузов.. по дисциплине физика..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Твитнуть

Все темы данного раздела:

Частота, период, циклическая частота, амплитуда, фаза колебаний
ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ, число колебаний в 1 с. Обозначается u. Если T - период от колебаний, то u = 1/T; измеряется в герцах (Гц). Угловая частота колебаний w = 2pu = 2p/T рад/с. ПЕРИОД колебан

Энергия гармонических колебаний
Гармонические колебания Важным частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, т.е. такие изменения физической величины, которые идут по закону

Метод векторных диаграмм. Сложение колебаний одного направления
Метод векторных диаграмм. Каждому гармоническому колебанию с частотой можно поставить в соответствие вращающийся с

Биения. Сложение перпендикулярных колебаний. Затухающие механические колебания
Биения - колебания с периодически меняющейся амплитудой, возникающие в результате наложения двух гармонических колебаний с несклько различными, но близкими частотами. Б. возникают вследствие того,

Уравнение затухающих колебаний. Амплитуда, частота, коэффициент затухания
Уравнение затухающих колебаний представим в виде где

Резонанс
. Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний изменяется с изменением частоты внешнего воздействия. При

Уравнение плоской бегущей волны
Гармоническая бегущая волна является плоской волной, т.к. ее волновые поверхности (ω(t-)+φ0

Типы волн: продольные и поперечные, плоские, сферические
Будем полагать, что имеем сплошную упругую среду, например, твердое тело, жидкости, газы. Для упругой среды характерно возникновение упругих деформаций при внешнем воздействии на нее. Эти деформаци

Волновая поверхность, волновой фронт
Волна, распространяясь от источника колебаний, охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется волновым ф

Свойства волн
Генерация волн. Волны могут генерироваться различными способами. Генерация локализованным источником колебаний (излучателем, антенной). Спонтанная генерация волн в объёме при возн

Энергия волны
Энергия бегущей волны. Вектор плотности потока энергии Упругая среда, в которой распространяется волна, обладает как кинетической энергией колебательного движения частиц так и потенциально

Поток энергии
Поток энергии – количество энергии, переносимое волной через некоторую поверхность в единицу времени: Ве

Вектор Умова
Пусть в некоторой среде вдоль оси х распространяется упругая плоская продольная волна, описываемая уравнением (1.91")

Стоячие волны
Если в среде распространяется несколько волн, то результирующее колебание каждой частицы среды представляет собой сумму колебаний, которые совершала бы частица от каждой волны в отдельности. Это ут

Интерференция
Интерференция волн - явления усиления или ослабления амплитуды результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами складывающихся двух или нескольких волн с одинаковыми периодами. Если в

Координаты пучностей и узлов стоячей волны
Если навстречу друг другу распространяются две гармонические волны S1=Acos(ωt-kх) и S2=Acos(ωt+kх), то образуется стоячая волна S=S1+S2=2Аcoskx cosωt. Иссл

Отличие бегущих волн от стоячих
Бегущая волна - волновое движение, при котором поверхность равных фаз (фазовые волновые фронты) перемещается с конечной скоростью, постоянной в случае однородных сред. С бегущей волной, групповая с

Источники электромагнитных волн Проводник с током. Магнит. Электрическое поле (переменное). Вокруг проводника, через которых проходит ток и он постоянен. При изменении силы

Свойства электромагнитных волн: поперечность, синфазность колебаний векторов напряженностей электрического и магнитного полей
Поперечность. электромагнитные волны являются поперечными. Электромагнитной волной

Вектор Пойнтинга
Пойнтинга вектор, вектор плотности потока электромагнитной энергии. Назван по имени английского физика Дж. Г. Пойнтинга (J. Н. Poynting; 1852-1914). Модуль П. в. равен энергии, переносимой за едини

Шкала электромагнитных волн
(шкала электромагнитных

Когерентность волн
Волны и возбуждающие их источники называются когерентными, если разность фаз волн не зависит от времени. Волны и во

Интерференция
ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ ВОЛН - явление, наблюдающееся при одновременном распространении в пространстве нескольких волн и состоящее в стационарном (или медленно изменяющемся) пространственном распределении ам

Расчет интерференционной картины от двух когерентных источников. Рассмотрим две когерентные световые волны, исходящие из источников

Координаты минимумов и максимумов интенсивности
Оптическая длина путей лучей. Условия получения интерференционных максимумов и минимумов. В вакууме скорость света равна

Полосы равной толщины
Полосы равной толщины, один из эффектов оптики тонких слоев, в отличие от полос равного наклона, наблюдаются непосредственно на поверхности прозрачного слоя переменной толщины (рис. 1). Возникновен

Применение интерференции
Практическое применение интерференции света разнообразно: контроль качества поверхностей, создание светофильтров, просветляющих покрытий, измерение длины световых волн, точное измерение расстояния

Принцип Гюйгенса-Френеля
Гюйгенса-Френеля принцип,приближённый метод решения задач о распространении волн, особенно световых. Согласно первоначальному принципу Х. Гюйгенса (1678), каждый элемент поверхност

Метод зон Френеля
Вычисление интеграла в пункте в общем случае - трудная задача. В случаях, если в задаче существу

Дифракция Френеля
Пусть на пути сферической световой волны, испускаемой источником S, расположен непрозрачный экран с круглым отверстием радиуса r0. Если отверстие открывает четное число зон Френеля, то в

Пятно Пуассона
es С помощью спирали Френеля можно получ

Поляризация света
Поляризация света, одно из фундаментальных свойств оптического излучения (света), состоящее в неравноправии различных направлений в плоскости, перпендикулярной световому лучу (направлению распростр

Закон Малюса
Поставим на пути естественного света два поляроида, оси пропускания которых развернуты друг относительно

Двойное лучепреломление
Как уже упоминалось в, закон преломления может не выполняться в анизотропных средах. Действительно, этот закон утверждает, что:

Интерференция поляризованного света
Важный случай И. с. - интерференция поляризованных лучей (см. Поляризация света). В общем случае, когда складываются две различно поляризованные когерентные световые волны, происходит векторное сло

Оптически активные вещества
Оптически активные вещества, среды, обладающие естественной оптической активностью. О.-а. в. подразделяются на 2 типа. Относящиеся к 1-му из них оптически активны в любом агрегатном состоянии (саха

Дисперсия света
Дисперсия света (рассеяние света) - явление разложения белого света при прохождении его через призму, диф

Закон Бугера-Ламберта
Бугера - Ламберта, определяет постепенное ослабление параллельного монохроматического (одноцветного) пучка света при распространении его в поглощающем веществе. Если мощность пучка

Затухающие и вынужденные колебания

Затуханием колебаний называют уменьшение амплитуды колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой (например, превращение энергии колебаний в теплоту вследствие трения в механических системах). Затухание нарушает периодичность колебаний, потому они уже не являются периодическим процессом. Если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода колебаний – Т (на рисунке 7.6 А 0 – начальная амплитуда колебаний).

Рисунок 7.6 – Характеристики затухающих колебаний

Затухающие механические колебания пружинного маятника происходят под действием двух сил: силы упругости и силы сопротивления:

где r – коэффициент сопротивления.

Воспользовавшись уравнением второго закона Ньютона, можно получить:

или

Разделим последнее уравнение на m и введем обозначение или

где β коэффициент затухания, тогда уравнение примет вид

(7.20)

Данное выражение и есть дифференциальное уравнение затухающих колебаний. Решением этого уравнения является

Отсюда следует экспоненциальный характер затухающих колебаний, т.е. амплитуда колебаний убывает по экспоненциальному закону (рисунок 7.6):

(7.22)

Относительное уменьшение амплитуды колебаний за период характеризуется декрементом затухания, равным

(7.23)

или логарифмическим декрементом затухания:

(7.24)

Коэффициент затухания β обратно пропорционален времени τ в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в e раз:

т.е. (7.25)

Частота затухающих колебаний всегда меньше частоты собственных колебаний и может быть найдена из выражения

(7.26)

где ω 0 частота собственных колебаний системы.

Соответственно период затухающих колебаний равен:

Или (7.27)

С увеличением трения период колебаний возрастает, а при период .

Для получения незатухающих колебаний необходимо воздействие дополнительной переменной внешней силы, которая подталкивала бы материальную точку то в одну, то в другую сторону и работа которой непрерывно бы восполняла убыль энергии, затрачиваемой на преодоление трения. Такая переменная сила называется вынуждающей F вын, а возникающие под ее действием незатухающие колебания – вынужденными .

Если вынуждающая сила изменяется в соответствием с выражением, то уравнение вынужденных колебаний примет вид

(7.28)

(7.29)

где ωциклическая частота вынуждающей силы.

Это дифференциальное уравнение вынужденных колебаний . Реше­ние его может быть записано в виде

Уравнение описывает гармоническое колебание, происходящее с частотой, равной частоте вынуждающей силы, отличающееся по фазе на φотносительно колебаний силы.

Амплитуда вынужденного колебания:

(7.30)

Разность фаз между колебаниями силы и системы находится из вы­ражения

(7.31)

График вынужденных колебаний приведен на рисунке 7.7.

Рисунок 7.7 – Вынужденные колебания

При вынужденных колебаниях может наблюдаться такое явление, как резонанс. Резонанс это резкое возрастание амплитуды колебаний системы.

Определим условие, при котором наступает резонанс, для этого рас­смотрим уравнение (7.30). Найдем условие, при котором амплитуда при­нимает максимальное значение.

Из математики известно, что экстремум функции будет, когда про­изводная равна нулю, т.е.

Дискриминант равен

Следовательно

После преобразования получаем

Следовательно – резонансная частота.

В простейшем случае резонанс наступает, когда внешняя периоди­ческая сила F меняется с частотой ω , равной частоте собственных колеба­ний системы ω = ω 0 .

Механические волны

Процесс распространения колебаний в сплошной среде, периодический во времени и пространстве, называется волновым процессом или волной .

При распространении волны частицы среды не движутся вместе с волной, а колеблются около своих положений равновесия. Вместе с волной от частицы к частице среды передается лишь состояние колебательного движения и его энергия. Поэтому основным свойством волн, независимо от их природы, является перенос энергии без переноса вещества .

Выделяют следующие типы волн:

Упругими (или механическими) волнами называются механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. В любой упругой волне одновременно существуют два вида движения: колебание частиц среды и распространение возмущения.

Волна, в которой колебания частиц среды и распространение волны происходят в одном направлении, называется продольной , а волна, в которой частицы среды колеблются перпендикулярно направлению распространения волны, называется поперечной .

Продольные волны могут распространяться в средах, в которых возникают упругие силы при деформациях сжатия и растяжения, т.е. твердых, жидких и газообразных телах. Поперечные волны могут распространяться в среде, в которой возникают упругие силы при деформации сдвига, т.е. в твердых телах. Таким образом, в жидкостях и газах возникают только продольные волны, а в твердых телах – как продольные, так и поперечные.

Упругая волна называется синусоидальной (или гармонической), если соответствующие ей колебания частиц среды являются гармоническими.

Расстояние между ближайшими частицами, колеблющимися в одинаковой фазе, называется длиной волны λ .

Длина волны равна расстоянию, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний:

где – скорость распространения волны.

Так как (где ν частота колебания), то

Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t , называется волновым фронтом . Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью .

Основные величины, формулы и определения

Свободные незатухающие колебания

1. Период Т, частота  и циклическая частота колебаний 

,
,

2. Фаза колебаний , начальная фаза  0

.

3. Уравнения свободных гармонических не затухающих колебаний

где, [x] = м  смещение колеблющегося объекта, [А] = м  амплитуда колебаний.

4. Скорость тела при гармонических колебаниях

.

5. Ускорение тела при гармонических колебаниях

6. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

.

7. Возвращающая сила, обуславливающая колебательный процесс

,

где m  масса колеблющегося тела.

8. Кинематические характеристики колебательного движения

9. Физический смысл начальной фазы колебаний  0

10. Возвращающая сила при упругих гармонических колебаниях

,

где k  жёсткость или коэффициент квазиупругой силы.

11. Взаимосвязь жёсткости с циклической частой, частотой и периодом колебаний

.

12. Кинетическая энергия колебаний K

,

.

13. Потенциальная энергия колебаний 

,

.

14. Закон сохранения энергии для консервативной квазиупругой силы

15. Процесс перехода энергии при колебаниях из одного вида в другой с частотой 2

16. Среднее значение кинетической и потенциальной <П> энергии

.

17. Дифференциальное уравнение малых колебаний математического маятника sin  

,

,

 момент инерции грузика маятника массой m с длиной нити подвеса относительно оси, проходящей перпендикулярно плоскости качания через точку подвеса,
 циклическая частота колебаний математического маятника.

18. Уравнение колебаний математического маятника

.

19. Период колебаний математического маятника

.

20. Дифференциальное уравнение колебаний физического маятника

,

где J  момент инерции маятника относительно оси, перпендикулярной плоскости качания и проходящей через точку подвеса,  расстояние между точкой подвеса и центром масс маятника.

21. Циклическая частота  малых колебаний физического маятника, когда sin  

.

22. Период малых колебаний физического маятника

,

где
 приведённая длина физического маятника.

24. Дифференциальное уравнение свободных линейных колебаний массы m, соединённой с пружиной жёсткости k

.

25. Период колебаний груза на пружине

.

26. Параметры крутильных колебаний

,

где С  жёсткость упругого элемента крутильного маятника, для однородного стержня

,

где G  модуль сдвига, d  диаметр стержня,  длина стержня.

Затухающие свободные колебания

27. Сила сопротивления, пропорциональная скорости перемещения

,

где r  коэффициент сопротивления.

28. Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

где
 коэффициент затухания,
 циклическая частота собственных незатухающих колебаний.

29. Уравнение затухающих колебаний

где  0  частота собственных колебаний.

30. Графическое представление затухающих колебаний

31. Период затухающих колебаний

.

.

33. Логарифмический декремент 

.

34. Добротность колебательной системы Q

,

где N e  число полных колебаний за время  = 1/ в течение которого амплитуда A(t) уменьшается в e раз.

35. Энергия затухающих колебаний

.

36. Изменение энергии затухающих колебаний во времени

.

37. Изменение энергии затухающих колебаний при малых значениях коэффициента сопротивления

,

где Е 0  энергия затухающих колебаний в начальный момент времени.

38. Убыль энергии затухающих колебаний в течение одного периода

.

Вынужденные колебания

39. Внешняя периодическая сила, действующая на колебательную систему

,

где F 0  амплитудное значение силы.

40. Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний

где
,
,
.

41. Уравнение вынужденных колебаний

,

где
 амплитуда вынужденных колебаний,

 начальная фаза вынужденных колебаний.

42. Уравнение вынужденных колебаний с учётом затухания

43. Резонансная циклическая частота вынужденных колебаний

.

44. Амплитуда резонансных колебаний

.

45. Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы

46. Добротность вынужденных колебаний при малом затухании

,

где
 смещение из положения равновесия при действии постоянной силы F 0 .

47. Процесс установления вынужденных колебаний при  <<  0

48. Процесс установления вынужденных колебаний при  >>  0

49. Установление вынужденных колебаний при  0  

50. Установление вынужденных колебаний при  0   для различных значений добротности колебательной системы

Сложение гармонических колебаний

51. Результат сложения двух (левый рисунок) и трёх колебаний

52. Результат сложения двух колебаний значительно отличающихся по частоте

53. Сложение двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящие в одном направлении

,
,

54. Сложение двух колебаний с одинаковыми частотами и одинаковыми амплитудами А 1 = А 2

,
.

55. Сложение двух гармонических колебаний с разными частотами  1 и  2 , происходящими в одном направлении

,

,
,

,

56. Результирующий период при сложении двух колебаний незначительно отличающихся частотами (биения)

.

57. Наложение взаимно перпендикулярных колебаний (фигуры Лиссажу) при отношении частот m: n для различной разности фаз 

Волны в упругой среде

58. Взаимосвязь между фазовой скоростью упругой с волны, её частотой , длиной волны  и периодом Т

.

59. Фазовая скорость упругой поперечной волны в твёрдых телах

,

где F  сила натяжения струны, стержня, проволоки и т.п.,   плотность материала из которого изготовлено тело, s  площадь поперечного сечения.

60. Фазовая скорость продольной волны в твёрдом теле

,

где Е Y  модуль Юнга.

61. Фазовая скорость упругой волны в жидкостях

,

где   сжимаемость жидкости,   плотность жидкости.

62. Фазовая скорость продольной волны в газе при давлении р

,

где   показатель адиабаты,   плотность газа, R  универсальная газовая постоянная, Т  абсолютная температура.

63. Плотность энергии упругой волны

,

где А  амплитуда колебаний частиц среды,   циклическая частота, dЕ  энергия волны в объёме dV.

64. Поток энергии Ф Е, т.е. количество энергии проходящей через площадку s за время 

.

65. Мощность упругой волны

.

66. Интенсивность упругой волны

.

67. Волновое уравнение

,

где   мгновенное поперечное смещение из равновесного положения х, с  фазовая скорость волны.

68. Стоячие волны образуются при распространении двух волн одинаковой амплитуды, длины и частоты, в частности, в упругой среде в противоположных направлениях

,

,

,

где   смещение, А, В  постоянные величины,   длина волны.

Акустические волны

69. Уравнение акустической волны

70. Максимальное значение колебательной скорости

.

71. Эффективное значение колебательной скорости

.

72. Мгновенное значение акустического давления

.

73. Амплитудное значение акустического давления

.

74. Интенсивность (сила звука) акустической волны

75. Уровень акустического давления

,

где J 0 = 10  12 Вт/м 2  стандартный порог слышимости.

76. Эффект Доплера

,

где   частота воспринимаемого звука,  0  частота излучаемого звука, с  скорость звука, u 1  скорость перемещения приёмника, u 2  скорость перемещения излучателя.

Электромагнитные колебания

1. Уравнение колебательного контура

,

где L  индуктивность контура, С  ёмкость контура, q  заряд на обкладках конденсатора, R  активное сопротивление контура,   электродвижущая сила источника тока.формулы ... случайные величины . Основная задача... аналогично уравнению свободных незатухающих колебаний (2) где...

Основной закон электростатики

Закон

Заряд. Основной закон электростатики... частица в свободном колебании . Элементарный... величины : r=R/cosα, dl=rdα/cosα. Подставив в формулу ... незатухающие колебания в контуре. Колебаниями называются движения или процессы, которые характеризуются определенной ...

ISBN 5-06-003634-0  ГУП «Издательство «Высшая школа»

Учебное пособие

Скорость вращения. Сопоставим основные величины и уравнения, ... затухания, 0 - циклическая частота свободных незатуха­ющих колебаний той же колебательной системы, т. ... м/с). Какова точность определения координаты электрона? По формуле (215.4), т. ...

Лабораторный практикум (2)

Лабораторная работа

... … , %. Контрольные вопросы 1. Колебания . Свободные колебания . 2. Свободные незатухающие колебания . 3. Уравнения свободных незатухающих колебаний (дифференциальное уравнение и его решение). 4. Величины , характеризующие колебания : амплитуда, частота...