Гетерогенные равновесия, связанные с переходом вещества из одной фазы в другую без изменения химического состава, называются фазовыми.
К ним относятся равновесия в процессах испарения, плавления, конденсации и т.п. Фазовые равновесия, как и химические, характеризуются минимальным значением энергии Гиббса системы (DG 0 Т = 0) и равенством скоростей прямого и обратного процессов. Так, равновесие в системе «вода – лед» Н 2 О (ж.) Û Н 2 О (кр.) характеризуется равенством скоростей процессов плавления льда и кристаллизации воды.
Равновесие в гетерогенных системах зависит от давления, температуры и концентрации компонентов в системе. Для фазового равновесия, так же как и для химического равновесия, справедлив принцип Ле Шателье.
Прежде чем сформулировать правило фаз Гиббса, определим некоторые понятия.
Фаза (Ф) – часть термодинамической системы, однородная во всех точках по составу и свойствам и отделенная от других частей системы поверхностью раздела.
Компонент (К) или составная часть системы – вещество, которое может быть выделено из системы и существовать вне ее.
Наименьшее число компонентов, через которое выражается состав любой фазы, называется числом независимых компонентов данной системы. При рассмотрении фазовых равновесий, когда в системе не происходит химических превращений, понятия «компонент» и «независимый компонент» совпадают.
Число степеней свободы (С) или вариантность системы – число условий (температура, давление, концентрация), которые можно менять произвольно, не изменяя числа и вида фаз системы.
Соотношение между числом фаз (Ф), компонентов (К) и степеней свободы (С) в гетерогенной равновесной системе определяется правилом фаз Гиббса:
С = К – Ф + n, (7)
где n – число внешних факторов, влияющих на равновесие в системе.
Таковыми, как правило, являются температура и давление. Тогда n = 2 и уравнение (7) принимает вид:
С = К – Ф + 2. (8)
По числу степеней свободы системы делятся на инвариантные (С = 0), моновариантные (С = 1), бивариантные (С = 2) и поливариантные (С > 2).
При изучении фазовых равновесий широко используется графический метод – метод построения диаграмм состояния. Диаграмма состояния для любого вещества строится на основании опытных данных. Она позволяет судить: 1) об устойчивости какой-либо одной фазы системы; 2) об устойчивости равновесия между двумя или тремя фазами при заданных условиях. Для примера рассмотрим диаграмму состояния однокомпонентной системы (К = 1) – воды (рис. 7.2).
Три кривые АО, ОВ, и ОС, пересекающиеся в одной точке О, делят диаграмму на три части (по́ля, области), каждая из которых отвечает одному из агрегатных состояний воды – пару, жидкости или льду. Кривые отвечают равновесию между соответствующими фазами. Кривая АО выражает зависимость давления насыщенного пара надо льдом от температуры и называется кривой возгонки (сублимации). Для кривой АО: К= 1, Ф= 2, n = 2, тогда число степеней свободы, С = 1 – 2 + 2 = 1. Это значит, что произвольно можно менять только температуру (или только давление) – система моновариантна.
Кривая ОС выражает зависимость давления насыщенного пара над жидкой водой от температуры и называется кривой испарения или конденсации. Для кривой ОС: К= 1, Ф= 2, n = 2, тогда число степеней свободы С = 1–2 + 2 = 1, т.е. система моновариантна.
Кривая ОВ выражает зависимость температуры плавления льда (или замерзания жидкой воды) от давления и называется кривой плавления или кристаллизации. Для кривой ОВ: К= 1, Ф= 2, n= 2, тогда число степеней свободы С = 1 – 2 + 2 = 1, т.е. система моновариантна .
Все рассмотренные кривые (АО, ОВ, ОС) соответствуют переходу воды из одного фазового состояния в другое, т.е. определяют равновесие двух фаз. Области, ограниченные этими кривыми, отвечают условиям существования одной фазы. Для каждой из этих областей: К = 1, Ф = 1, n = 2, тогда число степеней свободы С = 1 – 2 + 2 = 2 – система бивариантна , т.е. в известных пределах можно менять значения р и Т независимо друг от друга, не изменяя числа фаз.
Все кривые пересекаются в точке О – тройная точка – она соответствует равновесию всех трех фаз:
Лед Û Жидкая вода Û Пар.
Для тройной точки: К = 1, Ф = 3, n = 2, тогда число степеней свободы С = 1 – 3 + 2 = 0 – система инвариантна , т.е. условия равновесия (температура и давление) строго определены и ни одно из них не может изменяться: Т = 273,1 К, Р = 610 Па (4,58 мм рт.ст.).
Если закон Авогадро применим только для газов, то число Авогадро имеет универсальный характер для любого агрегатного состояния вещества.
Все рассмотренные газовые законы строго соблюдаются при очень малых давлениях, при обычных невысоких давлениях они соблюдаются приближенно, а при высоких давлениях наблюдаются большие отклонения от этих законов.
1 Представление об электронных семействах элементов и их валентных электронах см. в разделе 2.8.
1 Валентные электроны атома – это электроны, способные участвовать в образовании химических связей в молекулах, ионах и т.д.
1 Приведены эффективные радиусы, экспериментально найденные для металлического состояния простых веществ.
2 В этом случае f-сжатие называется лантаноидным.
1 В скобках указано число электронов на внешнем энергетическом уровне иона.
Реакция протекает в расплаве веществ.
1 Реакция протекает в расплаве веществ.
2 Реакция протекает в расплаве веществ.
3 Реакция протекает в растворе.
Описание фазового равновесия является одной из важнейших задач при расчете процессов разделения. Знание условий равновесия позволяет не только принципиально решить вопрос о возможности разделения многокомпонентной смеси методами ректификации, абсорбции, экстракции, но и выбрать схему разделения. Наиболее общий метод расчета равновесия основан на применении некоторого уравнения (уравнения состояния) ко всем фазам системы пар - жидкость. Однако использование уравнений состояния возможно лишь в случае простых систем, которые образованы веществами с аналогичными свойствами, например неполярными веществами, составляющими природный газ.
При наличии полярных молекул эти уравнения непригодны. Для таких систем, составляющих в большинстве своем процессы основной химии, уравнения состояния применяют только для паровой фазы, а жидкая фаза рассматривается с учетом отклонений от идеального поведения для реальных условий смешения и в соответствии с теорией растворов.
При рассмотрении многофазных систем достижение фазового равновесия интерпретируется как состояние, при котором скорости взаимного перехода молекул компонента из одной фазы в другую равны между собой. Термодинамически это условие выражается как равенство химических потенциалов фаз по каждому компоненту, т. е.
где ц/ - химический потенциал, равный частной производной от изобарно- изотермического потенциала (свободной энергии Гиббса) по составу при постоянных давлении и температуре системы.
Для химической реакции, протекающей в идеальной газовой фазе, имеем
где д„ bj - стехиометрические коэффициенты исходных веществ и конечных продуктов реакции; A it Bj - наименование исходных компонентов и продуктов реакции.
Если в (1.18) подставить выражение для химического потенциала Ц/ = ро + Я Tin/>, то после соответствующих преобразований для константы химического равновесия можно записать
где У^. 9 УВ{ ~ концентрации исходных компонентов газовой смеси и продуктов реакции соответственно; Р - давление системы; К - константа равновесия химической реакции.
Из (1.19) следует, что при изменении давления равновесный состав будет меняться в зависимости от соотношения стехиометрических коэффициентов а, и Ь,. Если реакция идет без из-
менения общего числа молей в системе (т. е. ? я/ = Z b t ), то
давление не влияет на равновесный состав. Температурная зависимость равновесного состава определяется характером температурной зависимости константы равновесия (возрастающей или убывающей функцией температуры). Заметим, что уравнение (1.19) носит название “закона действующих масс”.
Если некоторые из компонентов реакции (1.17) находятся в конденсированном состоянии, то при незначительных изменениях внешнего давления концентрации их не указываются в левой части уравнения (1.19), однако при вычислении константы равновесия через свободную энергию Гиббса конденсированное состояние этих компонентов учитывается.
Поскольку фазовое равновесие в замкнутых системах достигается при наличии в системе химического равновесия, очевидно, что расчет равновесия в системах, в которых происходит несколько одновременно протекающих реакций, представляет определенные трудности.
Недостатком описания условий фазового равновесия через химические потенциалы является то, что эти величины измерить непосредственно невозможно. Поэтому для получения расчетных соотношений необходимо выразить их через параметры состояния системы. Такой подход термодинамически обоснован при рассмотрении идеальных систем, когда имеется уравнение состояния. Однако для реальных систем до настоящего времени отсутствует общепринятое уравнение состояния реального газа, в связи с чем вывод соотношений для термодинамических функций и описание условий фазового равновесия крайне затруднено. С использованием функции фугитивности условие равновесия реальных систем выражается как
где - фугитивность, определяемая тем, что, во-первых, термодинамические соотношения справедливы для идеальных и реальных систем; во-вторых, совпадает с давлением, если последнее настолько мало, что газ становится идеальным.
Если рассматривать идеальный раствор как смесь компонентов, молекулы которой ведут себя так же, как и в чистой жидкости, а неидеальность поведения отразить введением меры неидеальности в виде коэффициентов, то фугитивности отдельных компонентов должны быть пропорциональны их концентрациям, т. е. для двухфазной системы имеем:
где у;, ф, - коэффициенты, характеризующие неидеальность жидкой и паровой фаз, т. с. коэффициенты активности и летучести соответственно: /,° ,//^ - фугитивности компонентов в стандартных условиях (L - жидкость; V - пар); х,-, уj - мольные концентрации жидкой и паровой фаз соответственно.
Если паровая фаза подчиняется законам идеальных газов, то вместо можно использовать Р (давление системы). Аналогично при умеренных давлениях вместо f^ L можно использовать Р j° (давление пара чистого компонента). Таким образом, условие равновесия для любого компонента трехфазной многокомпонентной смеси запишется как
Это уравнение является основным при расчете фазового равновесия многокомпонентных трехфазных систем. Коэффициенты активности и летучести, как мера отклонения фаз от идеальности, для идеальной смеси равны единице.
Как следует из уравнения (1.21), параметры, характеризующие условия равновесия (состав, температура, давление), могут быть рассчитаны лишь при наличии значений фугитивности в стандартном состоянии. В принципе выбор стандартного состояния произволен и диктуется лишь удобствами расчета. Необходимо только, чтобы стандартные фугитивности вычислялись при той же температуре, что и температура смеси. Давление и состав могут выбираться произвольно.
Изменение потенциала при смешении двух растворов в изобарно-изотермических условиях составляет
Первый член этого выражения соответствует изменению потенциала при смешении идеальных компонентов, а второй - изменению потенциала за счет неидеальности смеси. Таким образом, избыточная свободная энергия смешения Гиббса равна:
где хi - средняя мольная доля i-го компонента,
Поскольку избыточная энергия является мерой неидеальности смеси, выражение (1.23) широко используется для оценки степени этой неидеальности.
В соответствии с моделью Вильсона, в которой он ввел понятие “локальные” объемные доли компонентов, уравнение (1.23) приобретает вид для свободной энергии смешения:
где - локальная объемная доля /-го компонента относительно центральной молекулы того же типа; G E - свободная энергия смешения Гиббса.
Основная идея этой концепции заключается в том, что при микроскопическом рассмотрении жидкая смесь не является однородной. Состав в одной точке смеси может отличаться от состава в другой. Хотя в инженерных приложениях и используется только средняя концентрация компонентов в смесях, для построения адекватной модели жидкой смеси необходимо оперировать локальными составами. Согласно концепции локальных составов, введенной Вильсоном, распределение молекул относительно центральной молекулы имеет вид:
где Xji - локальный состав, определенный как число молекул типа ] - / в окрестности центральной молекулы, деленное на общее число молекул; (Хд - Хд) - параметр, характеризующий энергию взаимодействия между парами i - / и
С учетом введенных локальных концентраций локальные объемные доли /-го компонента в уравнении (1.24) могут быть определены как
где V„ Vj - мольные объемы чистых / и j компонентов; gy = Ху - X#; gji = - Хд.
Подстановкой уравнения (1.25) в (1.24) получаем зависимость избыточной энергии смешения Гиббса от состава и температуры смеси. Дифференцирование полученного выражения по составу смеси дает широкоизвестное уравнение Вильсона, связывающее коэффициент активности компонента в смеси у, с составом и температурой смеси:
Модель Вильсона требует для описания состояния равновесия многокомпонентных смесей (МКС) только задания экспериментальных данных по бинарным парам, входящим в данную МКС, и физико-химических свойств чистых компонентов.
Равновесная концентрация /-го компонента в л-ком- понентной смеси выражается как:
где Р ® - упругость паров чистого компонента; Р - давление в системе, МПа.
Коэффициент активности любого компонента у/ можно определить из уравнения (1.26), а коэффициент активности в бинарной паре - рассчитать по следующим уравнениям:
Упругость паров /-го компонента Я, 0 рассчитывается по уравнению Антуана:
где Cj ,.,Cj - эмпирические константы, определяемые по методу наименьших квадратов.
Алгоритм определения равновесной концентрации у* = / (х,) следующий: определяются параметры k/j - ц и - kjj из уравнений (1.27) для всех пар компонентов, составляющих МКС, по экспериментальным данным бинарного равновесия. Решение проводится методом последовательных приближений, причем степень приближения контролируют по суммам квадратов отклонений равновесных составов паровой фазы в контрольных точках, рассчитанных и снятых экспериментально. Направление поиска неизвестных параметров указывает минимизируемая функция R:
где к = 1, 2, ... , m - число контрольных точек; у состав паровой фазы в контрольной точке.
Алгоритм поиска должен быть составлен таким образом, чтобы можно было определить значения неизвестных параметров Х).
Для любой точки в однофазной области, например для точки Z (жидкость), по формуле (3.36) С = 3 – 1 = 2. Система является бивариантной , т. е. в некоторых пределах независимо друг от друга можно менять 2 внешних условия (Т и Р
Для любой точки, соответствующей двум равновесным фазам, например для точки X (лёд/жидкость), С = 3 – 2 = 1. Система является моновариантной , т. е. можно менять только одно внешнее условие (либо Т, либо Р ) без изменения числа и вида фаз.
Наконец, для тройной точки О (лёд/жидкость/пар) С = 3 – 3 = 0. Система является нонвариантной (безвариантной ), т. е. без изменения числа и вида фаз невозможно изменить ни одно из внешних условий.
Представленная на рис. 3.5. диаграмма состояния воды справедлива для низких давлений. В области высоких давлений лёд может существовать в нескольких кристаллических модификациях. Диаграмма выглядит гораздо сложнее [Киреев].
Рис. 3.5. Схема диаграммы состояния воды
[Равдель], [Справочник химика 1], [Эйзенберг]
Что такое фаза
Определение
Фазой называют однородную с физической точки зрения, макроскопическую часть вещества, которая отделена границами раздела от других частей системы, таким образом, что ее можно извлечь из системы механическим способом.
Например, система жидкость -- пар является двухфазной. Не может быть более одной газообразной фазы, так как газы смешиваются.
Важным вопросом при наличии несколько фаз является вопрос об условиях, при которых система находится в равновесии. Равновесие будет включать как механическое, так и тепловое равновесие. Для того, чтобы система находилась в тепловом равновесии необходимо, чтобы температура во всех ее точках была одинакова. Для механического равновесия необходимо, чтобы давления по разные стороны границы раздела соприкасающихся фаз были одинаковы. Это условие строго справедливо только для плоских границ. В случае кривых границ оно нарушается действие сил поверхностного натяжения. Влияние этой кривизны учтем позднее. Как уже сказано, равенство давлений и температур -- необходимое, но не достаточное условие равновесия, так как соприкасающиеся фазы могут переходить друг в друга. Это так называемые фазовые переходы. При таких переходах одни фазы растут, другие уменьшаются вплоть до исчезновения. Состояние равновесия должно характеризоваться тем, что массы всех фаз, составляющих систему, не изменяются. Таким образом, в системе, в которую входит несколько фаз возникает еще одно условие равновесия: равновесие взаимных превращений фаз. Изменение агрегатного состояния вещества - фазовое превращение.
Состояние динамического равновесия
Когда число молекул, которые переходят из жидкости в пар, такое же, как количество молекул, переходящих из пара в жидкость, мы говорим о состояние динамического или статистического равновесия, в этом состоянии количество вещества в каждой фазе в среднем остается неизменным. Фазовое равновесие между любыми фазами 1 и 2 не является статическим состоянием, в котором полностью прекратились фазовые превращения. Оно характеризуется равенством средних скоростей двух взаимно противоположных процессов: превращением фазы 1 в фазу 2 и обратно. При равновесии эти противоположные процессы взаимно компенсируют друг друга, то есть выполняется принцип детального равновесия. При этом количество вещества в каждой фазе в среднем остается неизменным.
Рассмотрим систему, которая состоит из двух фаз (1 и 2), которые могут переходить друг в друга. Пусть $m_1\ $масса первой фазы, $m_2$ масса второй фазы. Удельные термодинамические потенциалы вещества этих фаз обозначим ${\varphi }_1$ и ${\varphi }_2$. Термодинамический потенциал (энергия Гиббса) всей системы будет, в этом случае иметь вид:
\[Ф=m_1{\varphi }_1+m_2{\varphi }_2\left(1\right).\]
Пусть давление и температура в системе поддерживаются постоянными. В таком случае ${\varphi }_1$ и ${\varphi }_2$ не будут изменяться потому, что эти потенциалы, являются функциями температуры и давления. Полная масса системы $m_1+m_2=m=const.$ Изменяются массы отдельных фаз, при этом изменения должны происходить в таком направлении, при котором энергия Гиббса $\ (Ф=U+pV-TS$) приняла бы минимальное значение. Если ${\varphi }_1$ $>$ ${\varphi }_2$, то любое превращение фазы 1 в фазу 2 сопровождается уменьшением Ф. Этот переход будет происходить до тех пор, пока вещество из фазы 1 полностью не перейдет в фазу 2. Система станет однофазной. Тогда термодинамический потенциал системы примет минимальное значение равное $m{\varphi }_2$. Если мы имеем обратную ситуацию (${\varphi }_1$ $ \[{\varphi }_1\left(p,T\right)={\varphi }_2\left(p,T\right)(2)\]
фазы будут находиться в равновесии друг с другом. Можно сделать вывод о том, что условием равновесия фаз является равенство их удельных термодинамических потенциалов.
Мы знаем, что внутренняя энергия системы (U) и энтропия (S) определены с точностью до постоянных. Следовательно, энергия Гиббса (Ф) и его удельное значение $\varphi \left(p,T\right)$ определены с точностью до произвольной линейной функции температуры. Возникающую в (2) неоднозначность следует исключить. Для этого договариваются определять $\varphi \left(p,T\right)$ интегрируя выражение:
исходя из одного и того же начального состояния. В выражении (3) $v\ $- удельный объем.
Смысл условия равновесия (2): При любых фазовых переходах величина удельного термодинамического потенциала неизменна. В данных условиях удельный термодинамический потенциал всегда изменяется непрерывно. Это отличие удельного термодинамического потенциала от других физических параметров, например, удельного объема, удельной энтропии и прочих, которые изменяются скачкообразно.
Задание: Рассмотреть газ Ван-дер-Ваальса. Докажите правило Максвелла относительно площадей для изотермы Ван-дер-Ваальса. Укажите, где находятся точки фазового превращения, используя условие равновесия.
Применим к процессу превращения жидкости в пар и обратно условие равновесия:
\[{\varphi }_1\left(p,T\right)={\varphi }_2\left(p,T\right)\left(1.1\right).\]
Рассмотрим изотерму вещества при температуре ниже критической (рис. 1):
На рис. 1 ветви GE и FD -- соответствуют устойчивым состояниям вещества (газообразному и жидкому). Участок GA соответствует пересыщенному пару, участок FB -- перегретой жидкости. Участок BCA -- отображает абсолютно не устойчивое состояние вещества. Горизонтальный участок FCG -- представляет изотерму вещества в двухфазном состоянии.
Когда точка перемещается вдоль изотермы, имеется в виду, что dT=0 (температура постоянна), в таком случае можно из выражения для удельного термодинамического потенциала:
можно записать:
Так как интегрирование у нас в уравнении (1.4) идет по переменной p, нам удобнее перевернуть оси (рис.2).
Рассмотрим изменение функции $\varphi \left(p,T\right)\ $при перемещении точки вдоль изотермы EACBD (рис. 2). На участке EA dp положительный, следовательно $\varphi \left(p,T\right)$ возрастает. На участке ACD dp меняет знак, а потом убывает, $\varphi \left(p,T\right)$ начинает убывать. Далее если двигаться по изотерме, на участке BD потенциал $\varphi \left(p,T\right)$ снова начинает возрастать. Величина $\varphi \left(p,T\right)$ будет проходить через те же значения, которые она на ветви AE. Следовательно, существует изобара GF, в точках которой значения $\varphi \left(p,T\right)$ одинаковы:
\[{\varphi }_G\left(p,T\right)={\varphi }_L\left(p,T\right)\ \left(1.4\right).\]
Из (1.4), следует, что:
\[\int\nolimits_{GACBF}{vdp}=0\to \int\nolimits_{GAC}{vdp=\int\nolimits_{FBC}{vdp}}\ \left(1.5\right).\]
Это значит, что заштрихованные площади GACD и CBFC на рис. 1 и рис.2 одинаковы. Проведем две изобары MN и QR справа и слева от изобары GF. Тогда можно записать следующее:
\[{\varphi }_M={\varphi }_G-\int\limits^{p_G}_{p_M}{v_pdp,}\ {\varphi }_N={\varphi }_F-\int\limits^{p_F}_{p_N}{v_gdp,}\]
где $v_p$- удельный объем пара, $v_g$- удельный объем жидкости. Так как ${\varphi }_G=ц_F,$ $v_p>v_g$, пределы интегрирования одни и те же, то ${\varphi }_M
Пример 2
Задание: В теплоизолированном сосуде система состоит изо льда и насыщенного водяного пара. Насколько необходимо повысить давление воздуха в сосуде, чтобы давление пара надо льдом повысилось на один процент, если температура постоянна (T), удельный объем льда равен $v_i$?
Изменение термодинамического потенциала при изменении давления $\triangle p$ приводит к изменению удельного термодинамического потенциала на ($\triangle {\varphi }_i$):
\[\triangle {\varphi }_i=v_i\triangle p\ \left(2.1\right).\]
Для сохранения равновесия изменение термодинамического потенциала пара должно быть таким же, но для пара мы можем записать ($\triangle {\varphi }_p$):
\[\triangle {\varphi }_p=v_p\triangle p_p=\frac{RT}{\mu }\frac{\triangle p_p}{p_p}\left(2.2\right).\]
Приравняем (2.1) и (2.2), получим:
\[\triangle {\varphi }_i=\triangle {\varphi }_p;v_i\triangle p=\frac{RT}{м}\frac{\triangle p_p}{p_p}\to \triangle p=\frac{RT}{\mu v_i}\frac{\triangle p_p}{p_p}=0,01\cdot \frac{RT}{\mu v_i}\]
Ответ: Давление воздуха в сосуде надо повысить на $\triangle p=0,01\cdot \frac{RT}{\mu v_i}$.
