Каждая дедуктивная теория (математика, многие её разделы, логика, теоретическая механика, некоторые разделы физики) состоит из Т., доказываемых одна за другой на основании ранее уже доказанных Т.; самые же первые предложения принимаются без доказательства и являются, таким образом, логической основой данной области дедуктивной теории; эти первые предложения называют Аксиома ми.
В формулировке Т. различают условие и заключение. Например, 1) если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3, или 2) если в треугольнике один из углов прямой, то оба других - острые; в каждом из этих примеров после слова «если» стоит условие Т., а после слова «то» - заключение. В такой форме можно высказать каждую Т. Например, Т.: «всякий вписанный в окружность угол, опирающийся на диаметр, прямой», можно высказать так: «если вписанный в окружность угол опирается на диаметр, то он прямой».
Для каждой Т., высказанной в форме «если... то...». можно высказать ей обратную теорему (См. Обратная теорема), в которой условие является заключением, а заключение - условием. Прямая и обратная Т. взаимно обратны. Не всякая обратная Т. оказывается верной; так, для примера 1) обратная Т. верна, а для примера 2) - очевидно неверна. Справедливость обеих взаимно обратных Т. означает, что выполнение условия любой из них не только достаточно, но и необходимо для справедливости заключения (см. Необходимые и достаточные условия).
Если заменить условие и заключение Т. их отрицаниями, то получится Т., называемая противоположной данной (см. Противоположная теорема), она равносильна обратной Т. Точно так же и Т., обратная противоположной, равносильна исходной Т. (прямой). Поэтому доказательство прямой Т. можно заменить доказательством того, что из отрицания заключения данной Т. вытекает отрицание её условия. Этот метод, называемый доказательством от противного (См. Доказательство от противного), или приведением к абсурду, является одним из наиболее употребительных приёмов математических доказательств.
Большая советская энциклопедия. - М.: Советская энциклопедия . 1969-1978 .
Синонимы :Смотреть что такое "Теорема" в других словарях:
Теорема Лёба теорема в математической логике о взаимосвязи между доказуемостью утверждения и самим утверждением. Установлена математиком Мартином Хуго Лёбом в 1955 году. Теорема Лёба гласит, что во всякой теории, включающей аксиоматику… … Википедия
- (от греч. theoreo – рассматриваю) научное положение. Философский энциклопедический словарь. 2010. ТЕОРЕМА (греч. ϑεώρημα, от ϑεωρέω – рассматриваю, исследу … Философская энциклопедия
- (греч. theorema, от theorein рассматривать). Предложение, долженствующее быть подтвержденным; истина, требующая доказательства, преимущественно в математике. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТЕОРЕМА… … Словарь иностранных слов русского языка
Пифагора. Жарг. шк. Шутл. Учительница математики. ВМН 2003, 131. Теорема Пофигатора. Жарг. шк. Шутл. Теорема Пифагора. ВМН 2003, 108. Теорема Фаллоса. Жарг. студ. (матем.). Шутл. Теорема Фалеса. (Запись 2003 г.). Теорема хана банаха. Жарг. студ.… … Большой словарь русских поговорок
См … Словарь синонимов
- (греч. theorema от theoreo рассматриваю), в математике предложение (утверждение), устанавливаемое при помощи доказательства (в противоположность аксиоме). Теорема обычно состоит из условия и заключения. Напр., в теореме: если в треугольнике один… … Большой Энциклопедический словарь
ТЕОРЕМА, утверждение или предложение, которое доказывается логическими рассуждениями, основанными на фактах и АКСИОМАХ. см. также ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА … Научно-технический энциклопедический словарь
ТЕОРЕМА, теоремы, жен. (от греч. theorema, букв. зрелище) (научн.). Положение, справедливость которого устанавливается путем доказательств, основанных на аксиомах или на других, уже доказанных положениях (мат.). Доказать теорему. Пифагорова… … Толковый словарь Ушакова
- «ТЕОРЕМА» (Теогеmа) Италия, 1968, 100 мин. Философская драма. Возможно, одна из самых противоречивых картин в истории мирового кино. Она вызвала взаимоисключающие трактовки, нападки на режиссера слева и справа, расколола представителей Ватикана… … Энциклопедия кино
Якопини положение структурного программирования, согласно которому любой исполняемый алгоритм может быть преобразован к структурированному виду, то есть такому виду, когда ход его выполнения определяется только при помощи трёх структур… … Википедия
теорема - ы, ж. Следуя логике лотмановского подхода к искусству можно предложить понятие эротемы как структурно тематической единицы эроса (термин образован с тем же французским суффиксом ем, что и другие обозначения структурных единиц языка: лексема,… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
Книги
- Теорема Гёделя о неполноте , Успенский В.А.. Брошюра снабжена шестью приложениями, написанными несколько более сжато, хотя по-прежнему не предполагающими никаких специальных знаний. В первом из них рассматривается вопрос о связи между…
Теорема - высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства. Примером теоремы может служить утверждение о том, что сумма величин углов произвольного треугольника равна 180°. Проверить это можно было бы опытным путем: начертить треугольник, измерить транспортиром величины его углов и, сложив их, убедиться, что сумма равна 180° (во всяком случае, в пределах той точности измерения, которую допускает транспортир). Такую проверку можно было бы повторить несколько раз для различных треугольников. Однако справедливость этого утверждения устанавливается в курсе геометрии не опытной проверкой, а при помощи доказательства, которое убеждает нас в том, что это утверждение справедливо для любого треугольника. Таким образом, утверждение о сумме углов треугольника является теоремой.
В формулировках теорем, как правило, встречаются слова «если..., то...», «из... следует...» и т. д. В этих случаях для сокращения записи используют знак ⇒. Возьмем в качестве примера теорему о том, что точка М, одинаково удаленная от двух точек А и В, принадлежит оси симметрии этих точек (рис. 1). Ее можно подробнее сформулировать так: (для любых точек А, В, М) (MA = MB) ⇒ (М принадлежит оси симметрии точек А и В).
Аналогичным образом могут быть записаны и другие геометрические теоремы: сначала идет разъяснительная часть теоремы (описывающая, какие точки или фигуры рассматриваются в теореме), а затем - два утверждения, соединенные знаком ⇒. Первое из этих утверждений, стоящее после разъяснительной части и перед знаком ⇒, называется условием теоремы, второе, стоящее после знака ⇒, называется заключением теоремы.
Меняя местами условие и заключение и оставляя без изменения разъяснительную часть, мы получаем новую теорему, которая называется обратной первоначальной. Например, для рассмотренной выше теоремы обратной будет следующая: (для любых точек А, В, М) (точка М принадлежит оси симметрии точек A и В) ⇒ (MA = MB). Короче: если точка М принадлежит оси симметрии точек А и В, то точка М одинаково удалена от точек А и В. В данном случае и исходная теорема, и обратная ей теорема справедливы.
Однако из того, что некоторая теорема верна, не всегда следует, что обратная ей теорема также верна. Например, теорема: (точка С не принадлежит прямой АВ) ⇒ (АВ < АС + ВС) справедлива, но обратная ей теорема: (АВ < АС + ВС) => (точка С не принадлежит прямой АВ) - неверна, так как при условии (АВ < АС + ВС) точка С может быть расположена на прямой АВ, но вне отрезка АВ (рис. 2).
Таким образом, доказав некоторую теорему, мы еще не можем утверждать, что верна и обратная теорема. Справедливость обратной теоремы требует отдельного доказательства.
В алгебре примерами теорем могут служить различные тождества, например равенства:
(а + b) 2 = а 2 + 2ab + b 2 ,
a 2 - b 2 = (a + b)(a - b),
a n - b n = (a - b)(a n-1 + a n-2 b + a n-3 b 2 + ... + ab n-2 + b n-1).
Они выводятся (доказываются), исходя из аксиом, и потому являются теоремами. Другим примером теорем в алгебре может служить теорема Виета о свойствах корней квадратного уравнения.
Большую роль в математике играют так называемые теоремы существования, в которых утверждается лишь существование какого-либо числа, фигуры и т.п., но не указывается, как это число (или фигура) могут быть найдены. Например: всякое уравнение х n + a 1 x n-1 + а 2 х n-2 + ... + а n-1 х + а n = 0 с действительными коэффициентами имеет при нечетном n хотя бы один действительный корень, т.е. существует число x 0 ∈ R, являющееся корнем этого уравнения.
Некоторым видам теорем дают особые названия, например лемма, следствие. Они имеют дополнительный оттенок. Леммой обычно называют вспомогательную теорему, саму по себе мало интересную, но нужную для дальнейшего. Следствием называют утверждение, которое может быть легко выведено из чего-то ранее доказанного.
Иногда теоремой называют то, что правильнее было бы называть гипотезой. Например, «великая теорема Ферма» (см. Ферма великая теорема), утверждающая, что уравнение х n + у n = z n не имеет целых положительных решений при n > 2, пока не доказана.
Наряду с аксиомами и определениями теоремы являются основными типами математических предложений. Важные факты каждой математической науки (геометрии, алгебры, теории функций, теории вероятностей и т.д.) формулируются в виде теорем. Однако овладение математикой не сводится к тому, чтобы изучить аксиомы, определения и основные теоремы. Математическое образование включает также умение ориентироваться в богатстве фактов математической теории, владение основными методами решения задач, понимание лежащих в основе математики идей, умение применять математические знания при решении практических задач.
Не менее важны пространственное представление, навыки графического «видения», умение находить примеры, иллюстрирующие то или иное математическое понятие, и т.д. Таким образом, теоремы составляют только формальный «остов» математической теории, и знакомство с теоремами представляет собой лишь начало глубокого овладения математикой.
θεώρημα - «зрелище, вид; взгляд; представление, положение») - утверждение, для которого в рассматриваемой теории существует доказательство (иначе говоря, вывод). В отличие от теорем, аксиомами называются утверждения, которые в рамках конкретной теории принимаются истинными без всяких доказательств или обоснований.В математических текстах теоремами обычно называют только достаточно важные утверждения. При этом требуемые доказательства обычно кем-либо найдены (исключение составляют в основном работы по логике, в которых изучается само понятие доказательства, а потому в некоторых случаях теоремами называют даже неопределённые утверждения). Менее важные утверждения-теоремы обычно называют леммами , предложениями , следствиями , условиями и прочими подобными терминами. Утверждения, о которых неизвестно, являются ли они теоремами, обычно называют гипотезами .
Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :- Desperado (альбом)
- Дело врачей
Смотреть что такое "Теорема" в других словарях:
Теорема Лёба - Теорема Лёба теорема в математической логике о взаимосвязи между доказуемостью утверждения и самим утверждением. Установлена математиком Мартином Хуго Лёбом в 1955 году. Теорема Лёба гласит, что во всякой теории, включающей аксиоматику… … Википедия
ТЕОРЕМА - (от греч. theoreo – рассматриваю) научное положение. Философский энциклопедический словарь. 2010. ТЕОРЕМА (греч. ϑεώρημα, от ϑεωρέω – рассматриваю, исследу … Философская энциклопедия
ТЕОРЕМА - (греч. theorema, от theorein рассматривать). Предложение, долженствующее быть подтвержденным; истина, требующая доказательства, преимущественно в математике. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. ТЕОРЕМА… … Словарь иностранных слов русского языка
ТЕОРЕМА - Пифагора. Жарг. шк. Шутл. Учительница математики. ВМН 2003, 131. Теорема Пофигатора. Жарг. шк. Шутл. Теорема Пифагора. ВМН 2003, 108. Теорема Фаллоса. Жарг. студ. (матем.). Шутл. Теорема Фалеса. (Запись 2003 г.). Теорема хана банаха. Жарг. студ.… … Большой словарь русских поговорок
теорема - См … Словарь синонимов
ТЕОРЕМА - (греч. theorema от theoreo рассматриваю), в математике предложение (утверждение), устанавливаемое при помощи доказательства (в противоположность аксиоме). Теорема обычно состоит из условия и заключения. Напр., в теореме: если в треугольнике один… … Большой Энциклопедический словарь
ТЕОРЕМА - ТЕОРЕМА, утверждение или предложение, которое доказывается логическими рассуждениями, основанными на фактах и АКСИОМАХ. см. также ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА … Научно-технический энциклопедический словарь
ТЕОРЕМА - ТЕОРЕМА, теоремы, жен. (от греч. theorema, букв. зрелище) (научн.). Положение, справедливость которого устанавливается путем доказательств, основанных на аксиомах или на других, уже доказанных положениях (мат.). Доказать теорему. Пифагорова… … Толковый словарь Ушакова
ТЕОРЕМА - «ТЕОРЕМА» (Теогеmа) Италия, 1968, 100 мин. Философская драма. Возможно, одна из самых противоречивых картин в истории мирового кино. Она вызвала взаимоисключающие трактовки, нападки на режиссера слева и справа, расколола представителей Ватикана… … Энциклопедия кино
Теорема Бёма - Якопини положение структурного программирования, согласно которому любой исполняемый алгоритм может быть преобразован к структурированному виду, то есть такому виду, когда ход его выполнения определяется только при помощи трёх структур… … Википедия
теорема - ы, ж. Следуя логике лотмановского подхода к искусству можно предложить понятие эротемы как структурно тематической единицы эроса (термин образован с тем же французским суффиксом ем, что и другие обозначения структурных единиц языка: лексема,… … Исторический словарь галлицизмов русского языка
Книги
- Теорема Гёделя о неполноте , Успенский В.А.. Брошюра снабжена шестью приложениями, написанными несколько более сжато, хотя по-прежнему не предполагающими никаких специальных знаний. В первом из них рассматривается вопрос о связи между…
Теорема - высказывание, правильность которого установлена при помощи рассуждения, доказательства. Примером теоремы может служить утверждение о том, что сумма величин углов произвольного треугольника равна 180°. Проверить это можно было бы опытным путем: начертить треугольник, измерить транспортиром величины его углов и, сложив их, убедиться, что сумма равна 180° (во всяком случае, в пределах той точности измерения, которую допускает транспортир). Такую проверку можно было бы повторить несколько раз для различных треугольников. Однако справедливость этого утверждения устанавливается в курсе геометрии не опытной проверкой, а при помощи доказательства, которое убеждает нас в том, что это утверждение справедливо для любого треугольника. Таким образом, утверждение о сумме углов треугольника является теоремой.
В формулировках теорем, как правило, встречаются слова «если..., то...», «из... следует...» и т.д. В этих случаях для сокращения записи используют знак . Возьмем в качестве примера теорему о том, что точка , одинаково удаленная от двух точек и , принадлежит оси симметрии этих точек (рис. 1). Ее можно подробнее сформулировать так: (для любых точек ) ( принадлежит оси симметрии точек и ).
Аналогичным образом могут быть записаны и другие геометрические теоремы: сначала идет разъяснительная часть теоремы (описывающая, какие точки или фигуры рассматриваются в теореме), а затем - два утверждения, соединенные знаком . Первое из этих утверждений, стоящее после разъяснительной части и перед знаком , называется условием теоремы, второе, стоящее после знака , называется заключением теоремы.
Меняя местами условие и заключение и оставляя без изменения разъяснительную часть, мы получаем новую теорему, которая называется обратной первоначальной. Например, для рассмотренной выше теоремы обратной будет следующая: (для любых точек ) (точка принадлежит оси симметрии точек и ) . Короче: если точка принадлежит оси симметрии точек и , то точка одинаково удалена от точек и . В данном случае и исходная теорема, и обратная ей теорема справедливы.
Однако
из того, что некоторая теорема верна, не всегда следует, что обратная ей
теорема также верна. Например, теорема: (точка не принадлежит прямой )
справедлива, но
обратная ей теорема: 
(точка не принадлежит прямой ) - неверна, так
как при условии точка может быть расположена на прямой , но вне отрезка (рис. 2).
Таким образом, доказав некоторую теорему, мы еще не можем утверждать, что верна и обратная теорема. Справедливость обратной теоремы требует отдельного доказательства.
В алгебре примерами теорем могут служить различные тождества, например равенства:
,
,
Они выводятся (доказываются), исходя из аксиом, и потому являются теоремами. Другим примером теорем в алгебре может служить теорема Виета о свойствах корней квадратного уравнения.
Большую роль в математике играют так называемые теоремы существования, в которых утверждается лишь существование какого-либо числа, фигуры и т.п., но не указывается, как это число (или фигура) могут быть найдены. Например: всякое уравнение с действительными коэффициентами имеет при нечетном хотя бы один действительный корень, т.е. существует число , являющееся корнем этого уравнения.
Некоторым видам теорем дают особые названия, например лемма, следствие. Они имеют дополнительный оттенок. Леммой обычно называют вспомогательную теорему, саму по себе мало интересную, но нужную для дальнейшего. Следствием называют утверждение, которое может быть легко выведено из чего-то ранее доказанного.
Иногда теоремой называют то, что правильнее было бы называть гипотезой. Например, «великая теорема Ферма» (см. Ферма великая теорема), утверждающая, что уравнение не имеет целых положительных решений при , пока не доказана.
Наряду с аксиомами и определениями теоремы являются основными типами математических предложений. Важные факты каждой математической науки (геометрии, алгебры, теории функций, теории вероятностей и т.д.) формулируются в виде теорем. Однако овладение математикой не сводится к тому, чтобы изучить аксиомы, определения и основные теоремы. Математическое образование включает также умение ориентироваться в богатстве фактов математической теории, владение основными методами решения задач, понимание лежащих в основе математики идей, умение применять математические знания при решении практических задач.
Не менее важны пространственное представление, навыки графического «видения», умение находить примеры, иллюстрирующие то или иное математическое понятие, и т.д. Таким образом, теоремы составляют только формальный «остов» математической теории, и знакомство с теоремами представляет собой лишь начало глубокого овладения математикой.
Чаще всего, термин «теорема» можно найти в различной научной литературе. Он многократно встречается как в математических науках (алгебре, геометрии, тригонометрии, математическом анализе и т.д.), так и в разных разделах физики и химии.
Итак, рассмотрим, что такое теорема.
Значение термина
Слово «теорема» происходит от древнегреческого слова «доказательство». Теорема — это определенное утверждение, для которого существует доказательство в определенной теории. Наряду с термином «теорема» необходимо рассматривать и термин аксиома. Аксиома отличается от теоремы тем, что она не требует доказательств и является заведомо истинной.
В математике теоремой называется только доказанное утверждение, которое может иметь широкое применение в решении различных математических задач. Чаще всего доказательство теоремы уже найдено. Исключение составляют теоремы по логике, в которых исследуется само понятие доказательства. Самые знаменитые и значимые теоремы: Птолемея, Ферма, Пифагора.
Применение теорем
Теоремы применяются для решения определенных теоретических задач. Они позволяют с разных сторон изучить те или иные явления. Давайте рассмотрим несколько примеров применения теорем в физике:
- В физике большой популярностью пользуется теорема Штейнера. Обычно её изучают студенты физических и технических факультетов, так как она позволяет наглядно объяснить понятия момента инерции и влияния массы тела на момент инерции. Также теорема Штейнера позволяет изучить значение ускорения свободного падения.
- Теорема Ампера или теорема о циркуляции магнитного поля — данная теорема является базовой в предмете классической электродинамики. Эта теорема позволяет точно определить величину магнитного поля проводника по заданным токам.
Примеры использования теорем в математике:
- - позволяет изучить свойства подобия треугольников для решения различных теоретических и практических задач.
- Остальные свойства треугольников можно изучить по теоремам .
- Одна из самых важных математических теорем - . Теорема Пифагора имела огромное влияние на развитие математики и геометрии. Также эта теорема нашла применение в искусстве и архитектуре.
