Стационарное уравнение диффузии в ограниченной среде. Теплопроводность; уравнение диффузии

Явлением диффузии называется процесс установления внутри фаз равновесного распределения концентраций.

Результатом диффузии при постоянной температуре является выравнивание химических потенциалов. В однофазной системе при постоянной температуре и при отсутствии внешних сил диффузия выравнивает концентрацию компонента фазы во всей системе. Если на систему действуют внешние силы или поддерживается градиент температуры, то в результате диффузии устанавливаются градиенты концентраций отдельных компонентов (термодиффузия, электродиффузия и другие процессы).

Уравнение диффузии в одномерном случае

Уравнение диффузии в одномерном случае () в двухкомпонентной системе - это первый закон Фика:

где dm – масса первого компонента, которая переносится за время dt через элементарную площадку dS в направлении нормали x к рассматриваемой площадке в сторону убывания плотности первого компонента, – градиент плотности, D – коэффициент диффузии.

Если в однокомпонентной системе выделить группу молекул, выравнивание концентрации выделенных частиц по объёму сосуда называется самодиффузией. Самодиффузия тоже описывается уравнением диффузии (первым законом Фика), в котором коэффициент D- называется коэффициентом самодиффузии.

Уравнение диффузии в трехмерном случае

В случае трехмерной диффузии изменение концентрации с течением времени при постоянной температуре и отсутствии внешних сил описывается дифференциальным уравнением диффузии:

где D- коэффициент диффузии, t- время. Если D не зависит от концентрации, то уравнение диффузии будет иметь вид:

Уравнение (3) еще называют вторым законом Фика, где - дифференциальный оператор Лапласа.

В том случае, если перенос вещества вызван лишь градиентом его концентрации уравнение диффузии можно записать и в следующем виде:

где c(x, t) - концентрация вещества в точке среды в момент времени t, D – коэффициент диффузии, q - коэффициент поглощения, a F - интенсивность источников вещества. Величины D, q и F обычно являются функциями координат и времени, а также могут зависеть от концентрации с(x, t). B последнем случае, уравнение диффузии (4) становится нелинейным. В анизотропной среде коэффициент диффузии D является тензорным полем. В случае, когда величины D и q постоянны уравнение (4) является уравнением параболического типа. Для такого типа уравнений в математической физике разработаны методы решения. Допущение о постоянстве коэффициента диффузии справедливо в большинстве случаев реализуемых на практике. Уравнения диффузии не содержат ни каких сведений о механизмах этого процесса. Основная цель решения уравнения - найти распределение примеси c(x,t) после диффузии в течение определенного времени при различных условиях осуществления процесса.

Решение уравнения диффузии

Для выделения единственного решения для уравнения (4) необходимо задать начальные и граничные условия. Обычно, рассматривают следующие граничные условия:

1) на границе поверхности S поддерживается заданное распределение вещества

2)на границе поверхности S поддерживается заданная плотность потока вещества, входящего в V через границу S:

где n – внутренняя нормаль к поверхности S

3) S- полупроницаема, и диффузия во внешнюю среду с заданной концентрацией через поверхность S происходит по линейному закону:

В простейшем случае, когда диффузия происходит только вдоль одной прямой и c=c(x,t)уравнение (3) запишется в виде:

с начальным условием:

Тогда уравнение (5) имеет решение вида:

Текущая координата интегрирования.

Выражение (6) называется фундаментальным решением уравнения диффузии в случае (5).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Найти массу газа ( с молярной плотностью прошедшего вследствие диффузии через площадку за время , если градиент плотности в направлении, перпендикулярном площадке, равен . Температура газа T, средняя длинна свободного пробега молекулы .
Решение	Запишем первый закон Фика в терминах условий задачи: Знак минус означает, направление вектора плотности. Возьмем модуль от правой части выражения (1.1): Зная, что , где - средняя длина свободного пробега молекулы, - средняя скорость молекулы газа и она равна: . Соответственно преобразуем (1.2), найдем искомую массу газа:
Ответ	Искомая масса газа может быть найдена по формуле:

· Ньютоновская жидкость · Неньютоновская жидкость · Поверхностное натяжение

Основные уравнения
Уравнение непрерывности · Уравнение Эйлера · Уравнения Навье - Стокса · Уравнение вихря · Уравнение диффузии · Закон Гука

См. также: Портал:Физика

Уравнение диффузии представляет собой частный вид дифференциального уравнения в частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоемкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

• Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера , отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

Общий вид

Уравнение обычно записывается так:

$\backslash frac\{\backslash partial\backslash varphi(\backslash mathbf\{r\},t)\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash big[\; D(\backslash varphi,\backslash mathbf\{r\})\; \backslash \; \backslash nabla\backslash varphi(\backslash mathbf\{r\},t)\; \backslash big],$

где φ(r , t ) - плотность диффундирующего вещества в точке r и во время t и D (φ, r ) - обобщённый диффузионный коэффициент для плотности φ в точке r ; ∇ - оператор набла . Если коэффициент диффузии зависит от плотности - уравнение нелинейно, в противном случае - линейно.

Если D - симметричный положительно определённый оператор , уравнение описывает анизотропную диффузию:

$\backslash frac\{\backslash partial\backslash varphi(\backslash mathbf\{r\},t)\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^3\backslash sum\_\{j=1\}^3\; \backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\_i\}\backslash left$

Если D постоянное, то уравнение сводится к линейному дифференциальному уравнению:

$\backslash frac\{\backslash partial\backslash phi(\backslash mathbf\{r\},t)\}\{\backslash partial\; t\}\; =\; D\backslash nabla^2\backslash phi(\backslash mathbf\{r\},t),$

История происхождения

Нестационарное уравнение

Нестационарное уравнение диффузии классифицируется как параболическое дифференциальное уравнение . Оно описывает распространение растворяемого вещества вследствие диффузии или перераспределение температуры тела в результате теплопроводности .

Одномерный случай

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) $D$ уравнение имеет вид:

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}c(x,\backslash ;t)=\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}D\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\{c(x,\backslash ;t)\}+f(x,\backslash ;t).$

При постоянном $D$ приобретает вид:

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}c(x,\backslash ;t)=D\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\{c(x,\backslash ;t)\}+f(x,\backslash ;t),$

где $c(x,\backslash ;t)$ - концентрация диффундирующего вещества, a $f(x,\backslash ;t)$ - функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трёхмерный случай

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; c(\backslash vec\{r\},\backslash ;t)=(\backslash nabla,\backslash ;D\backslash nabla\; c(\backslash vec\{r\},\backslash ;t))+f(\backslash vec\{r\},\backslash ;t),$

где $\backslash nabla=(\backslash partial\_x,\backslash ;\backslash partial\_y,\backslash ;\backslash partial\_z)$ - оператор набла , а $(\backslash ;,\backslash ;)$ - скалярное произведение. Оно также может быть записано как

$\backslash partial\_t\; c=\backslash mathbf\{div\}\backslash ,(D\backslash ,\backslash mathbf\{grad\}\backslash ,c)+f,$

а при постоянном $D$ приобретает вид:

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; c(\backslash vec\{r\},\backslash ;t)=D\backslash Delta\; c(\backslash vec\{r\},\backslash ;t)+f(\backslash vec\{r\},\backslash ;t),$

где $\backslash Delta=\backslash nabla^2=\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}+\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; y^2\}+\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z^2\}$ - оператор Лапласа .

n -мерный случай

$n$-мерный случай - прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать $n$-мерные версии соответствующих операторов:

$\backslash nabla=(\backslash partial\_1,\backslash ;\backslash partial\_2,\backslash ;\backslash ldots,\backslash ;\backslash partial\_n),$ $\backslash Delta=\backslash nabla^2=\backslash partial\_1^2+\backslash partial\_2^2+\backslash ldots+\backslash partial\_n^2.$

Это касается и двумерного случая $n=2$.

Мотивация

A.

Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):

$\backslash Phi=-\backslash varkappa\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; x\}$ (одномерный случай), $\backslash mathbf\; j=-\backslash varkappa\backslash nabla\; c$ (для любой размерности),

в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):

$\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; t\}+\backslash frac\{\backslash partial\backslash Phi\}\{\backslash partial\; x\}=0$ (одномерный случай), $\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; t\}+\backslash mathrm\{div\}\backslash ,\backslash mathbf\; j=0$ (для любой размерности),

с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).

• Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).

B.

Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или $n$-мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции $c$ в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае - с ограниченной по времени памятью).

Решение

$c(x,\backslash ;t)=\backslash int\backslash limits\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}c(x",\backslash ;0)c\_f(x-x",\backslash ;t)\backslash ,dx"=\backslash int\backslash limits\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}c(x",\backslash ;0)\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{4\backslash pi\; Dt\}\}\backslash exp\backslash left(-\backslash frac\{(x-x")^2\}\{4Dt\}\backslash right)\backslash ,dx".$

Физические замечания

Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше - и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.

Стационарное уравнение

В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности , относящееся к классу эллиптических уравнений . Его общий вид:

$-(\backslash nabla,\backslash ;D\backslash nabla\; c(\backslash vec\{r\}))=f(\backslash vec\{r\}).$

• При $D$, не зависящем от $\backslash vec\{r\}$, стационарное уравнение диффузии становится уравнением Пуассона (неоднородное), или уравнением Лапласа (однородное, то есть при $f=0$):

$\backslash Delta\; c(\backslash vec\{r\})=-\backslash frac\{f(\backslash vec\{r\})\}\{D\},$ $\backslash Delta\; c(\backslash vec\{r\})=0.$

Постановка краевых задач

• Задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой

Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

$$ и $t\backslash geqslant\; t\_0$, удовлетворяющее условию

• Первая краевая задача для полубесконечного стержня

Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $-\backslash infty\backslash leqslant\; x\backslash leqslant\; +\backslash infty$ и $t\backslash geqslant\; t\_0$, удовлетворяющее условиям

$\backslash left\backslash \{\backslash begin\{array\}\{l\}$

u(x,\;t_0)=\varphi(x),\quad(0 где $\backslash varphi(x)$ и $\backslash mu(t)$ - заданные функции.

• Краевая задача без начальных условий

Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл пренебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $0\backslash leqslant\; x\backslash leqslant\; l$ и

$\backslash left\backslash \{\backslash begin\{array\}\{l\}$

u(0,\;t)=\mu _1(t), \\ u(l,\;t)=\mu _2(t), \end{array}\right. где $\backslash mu\_1(t)$ и $\backslash mu\_2(t)$ - заданные функции.

• Краевые задачи для ограниченного стержня

Рассмотрим следующую краевую задачу:

Если $f(x,\backslash ;t)=0$, то такое уравнение называют однородным , в противном случае - неоднородным .

$u(x,\backslash ;0)=\backslash varphi(x),\backslash quad\; 0\backslash leqslant\; x\backslash leqslant\; l$ - начальное условие в момент времени $t=0$, температура в точке $x$ задается функцией $\backslash varphi(x)$. $\backslash left.\backslash begin\{array\}\{l\}$

u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ u(l,\;t)=\mu_2(t), \end{array}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T - краевые условия. Функции $\backslash mu\_1(t)$ и $\backslash mu\_2(t)$ задают значение температуры в граничных точках 0 и $l$ в любой момент времени $t$.

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай ($\backslash alpha\_i^2+\backslash beta\_i^2\backslash ne\; 0,\backslash ;(i=1,\backslash ;2)$).

$\backslash begin\{array\}\{l\}$

\alpha_1 u_x(0,\;t)+\beta_1 u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ \alpha_2 u_x(l,\;t)+\beta_2 u(l,\;t)=\mu_2(t). \end{array}

Если $\backslash alpha\_i=0,\backslash ;(i=1,\backslash ;2)$, то такое условие называют условием первого рода , если $\backslash beta\_i=0,\backslash ;(i=1,\backslash ;2)$ - второго рода , а если $\backslash alpha\_i$ и $\backslash beta\_i$ отличны от нуля, то условием третьего рода . Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности - первую, вторую и третью краевую.

Принцип максимума

Пусть функция $u(x,\backslash ;t)$ в пространстве $D\backslash times,\backslash ;D\backslash in\backslash R^n$, удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности $\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}-a^2\backslash Delta\; u=0$, причем $D$ - ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция $u(x,\backslash ;t)$ может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области $D$.

Напишите отзыв о статье "Уравнение диффузии"

Примечания

Виды уравнений Типы уравнений Краевые условия Уравнения математической физики Общие модели Методы решения Не сеточные методы
Исследование уравнений	Функция Грина Теория потенциала Задача Штурма - Лиувилля Теорема Стеклова
Связанные темы	Отрывок, характеризующий Уравнение диффузии По дороге Алпатыч встречал и обгонял обозы и войска. Подъезжая к Смоленску, он слышал дальние выстрелы, но звуки эти не поразили его. Сильнее всего поразило его то, что, приближаясь к Смоленску, он видел прекрасное поле овса, которое какие то солдаты косили, очевидно, на корм и по которому стояли лагерем; это обстоятельство поразило Алпатыча, но он скоро забыл его, думая о своем деле. Все интересы жизни Алпатыча уже более тридцати лет были ограничены одной волей князя, и он никогда не выходил из этого круга. Все, что не касалось до исполнения приказаний князя, не только не интересовало его, но не существовало для Алпатыча. Алпатыч, приехав вечером 4 го августа в Смоленск, остановился за Днепром, в Гаченском предместье, на постоялом дворе, у дворника Ферапонтова, у которого он уже тридцать лет имел привычку останавливаться. Ферапонтов двенадцать лет тому назад, с легкой руки Алпатыча, купив рощу у князя, начал торговать и теперь имел дом, постоялый двор и мучную лавку в губернии. Ферапонтов был толстый, черный, красный сорокалетний мужик, с толстыми губами, с толстой шишкой носом, такими же шишками над черными, нахмуренными бровями и толстым брюхом. Ферапонтов, в жилете, в ситцевой рубахе, стоял у лавки, выходившей на улицу. Увидав Алпатыча, он подошел к нему. – Добро пожаловать, Яков Алпатыч. Народ из города, а ты в город, – сказал хозяин. – Что ж так, из города? – сказал Алпатыч. – И я говорю, – народ глуп. Всё француза боятся. – Бабьи толки, бабьи толки! – проговорил Алпатыч. – Так то и я сужу, Яков Алпатыч. Я говорю, приказ есть, что не пустят его, – значит, верно. Да и мужики по три рубля с подводы просят – креста на них нет! Яков Алпатыч невнимательно слушал. Он потребовал самовар и сена лошадям и, напившись чаю, лег спать. Всю ночь мимо постоялого двора двигались на улице войска. На другой день Алпатыч надел камзол, который он надевал только в городе, и пошел по делам. Утро было солнечное, и с восьми часов было уже жарко. Дорогой день для уборки хлеба, как думал Алпатыч. За городом с раннего утра слышались выстрелы. С восьми часов к ружейным выстрелам присоединилась пушечная пальба. На улицах было много народу, куда то спешащего, много солдат, но так же, как и всегда, ездили извозчики, купцы стояли у лавок и в церквах шла служба. Алпатыч прошел в лавки, в присутственные места, на почту и к губернатору. В присутственных местах, в лавках, на почте все говорили о войске, о неприятеле, который уже напал на город; все спрашивали друг друга, что делать, и все старались успокоивать друг друга. У дома губернатора Алпатыч нашел большое количество народа, казаков и дорожный экипаж, принадлежавший губернатору. На крыльце Яков Алпатыч встретил двух господ дворян, из которых одного он знал. Знакомый ему дворянин, бывший исправник, говорил с жаром. – Ведь это не шутки шутить, – говорил он. – Хорошо, кто один. Одна голова и бедна – так одна, а то ведь тринадцать человек семьи, да все имущество… Довели, что пропадать всем, что ж это за начальство после этого?.. Эх, перевешал бы разбойников… – Да ну, будет, – говорил другой. – А мне что за дело, пускай слышит! Что ж, мы не собаки, – сказал бывший исправник и, оглянувшись, увидал Алпатыча. – А, Яков Алпатыч, ты зачем? – По приказанию его сиятельства, к господину губернатору, – отвечал Алпатыч, гордо поднимая голову и закладывая руку за пазуху, что он делал всегда, когда упоминал о князе… – Изволили приказать осведомиться о положении дел, – сказал он. – Да вот и узнавай, – прокричал помещик, – довели, что ни подвод, ничего!.. Вот она, слышишь? – сказал он, указывая на ту сторону, откуда слышались выстрелы. – Довели, что погибать всем… разбойники! – опять проговорил он и сошел с крыльца. Алпатыч покачал головой и пошел на лестницу. В приемной были купцы, женщины, чиновники, молча переглядывавшиеся между собой. Дверь кабинета отворилась, все встали с мест и подвинулись вперед. Из двери выбежал чиновник, поговорил что то с купцом, кликнул за собой толстого чиновника с крестом на шее и скрылся опять в дверь, видимо, избегая всех обращенных к нему взглядов и вопросов. Алпатыч продвинулся вперед и при следующем выходе чиновника, заложив руку зазастегнутый сюртук, обратился к чиновнику, подавая ему два письма. – Господину барону Ашу от генерала аншефа князя Болконского, – провозгласил он так торжественно и значительно, что чиновник обратился к нему и взял его письмо. Через несколько минут губернатор принял Алпатыча и поспешно сказал ему: – Доложи князю и княжне, что мне ничего не известно было: я поступал по высшим приказаниям – вот… Он дал бумагу Алпатычу. – А впрочем, так как князь нездоров, мой совет им ехать в Москву. Я сам сейчас еду. Доложи… – Но губернатор не договорил: в дверь вбежал запыленный и запотелый офицер и начал что то говорить по французски. На лице губернатора изобразился ужас. – Иди, – сказал он, кивнув головой Алпатычу, и стал что то спрашивать у офицера. Жадные, испуганные, беспомощные взгляды обратились на Алпатыча, когда он вышел из кабинета губернатора. Невольно прислушиваясь теперь к близким и все усиливавшимся выстрелам, Алпатыч поспешил на постоялый двор. Бумага, которую дал губернатор Алпатычу, была следующая: «Уверяю вас, что городу Смоленску не предстоит еще ни малейшей опасности, и невероятно, чтобы оный ею угрожаем был. Я с одной, а князь Багратион с другой стороны идем на соединение перед Смоленском, которое совершится 22 го числа, и обе армии совокупными силами станут оборонять соотечественников своих вверенной вам губернии, пока усилия их удалят от них врагов отечества или пока не истребится в храбрых их рядах до последнего воина. Вы видите из сего, что вы имеете совершенное право успокоить жителей Смоленска, ибо кто защищаем двумя столь храбрыми войсками, тот может быть уверен в победе их». (Предписание Барклая де Толли смоленскому гражданскому губернатору, барону Ашу, 1812 года.) Народ беспокойно сновал по улицам. Наложенные верхом возы с домашней посудой, стульями, шкафчиками то и дело выезжали из ворот домов и ехали по улицам. В соседнем доме Ферапонтова стояли повозки и, прощаясь, выли и приговаривали бабы. Дворняжка собака, лая, вертелась перед заложенными лошадьми. Алпатыч более поспешным шагом, чем он ходил обыкновенно, вошел во двор и прямо пошел под сарай к своим лошадям и повозке. Кучер спал; он разбудил его, велел закладывать и вошел в сени. В хозяйской горнице слышался детский плач, надрывающиеся рыдания женщины и гневный, хриплый крик Ферапонтова. Кухарка, как испуганная курица, встрепыхалась в сенях, как только вошел Алпатыч. – До смерти убил – хозяйку бил!.. Так бил, так волочил!.. – За что? – спросил Алпатыч. – Ехать просилась. Дело женское! Увези ты, говорит, меня, не погуби ты меня с малыми детьми; народ, говорит, весь уехал, что, говорит, мы то? Как зачал бить. Так бил, так волочил! Алпатыч как бы одобрительно кивнул головой на эти слова и, не желая более ничего знать, подошел к противоположной – хозяйской двери горницы, в которой оставались его покупки. – Злодей ты, губитель, – прокричала в это время худая, бледная женщина с ребенком на руках и с сорванным с головы платком, вырываясь из дверей и сбегая по лестнице на двор. Ферапонтов вышел за ней и, увидав Алпатыча, оправил жилет, волосы, зевнул и вошел в горницу за Алпатычем. – Аль уж ехать хочешь? – спросил он. Не отвечая на вопрос и не оглядываясь на хозяина, перебирая свои покупки, Алпатыч спросил, сколько за постой следовало хозяину. – Сочтем! Что ж, у губернатора был? – спросил Ферапонтов. – Какое решение вышло? Алпатыч отвечал, что губернатор ничего решительно не сказал ему. – По нашему делу разве увеземся? – сказал Ферапонтов. – Дай до Дорогобужа по семи рублей за подводу. И я говорю: креста на них нет! – сказал он. – Селиванов, тот угодил в четверг, продал муку в армию по девяти рублей за куль. Что же, чай пить будете? – прибавил он. Пока закладывали лошадей, Алпатыч с Ферапонтовым напились чаю и разговорились о цене хлебов, об урожае и благоприятной погоде для уборки. – Однако затихать стала, – сказал Ферапонтов, выпив три чашки чая и поднимаясь, – должно, наша взяла. Сказано, не пустят. Значит, сила… А намесь, сказывали, Матвей Иваныч Платов их в реку Марину загнал, тысяч осьмнадцать, что ли, в один день потопил. Алпатыч собрал свои покупки, передал их вошедшему кучеру, расчелся с хозяином. В воротах прозвучал звук колес, копыт и бубенчиков выезжавшей кибиточки. Было уже далеко за полдень; половина улицы была в тени, другая была ярко освещена солнцем. Алпатыч взглянул в окно и пошел к двери. Вдруг послышался странный звук дальнего свиста и удара, и вслед за тем раздался сливающийся гул пушечной пальбы, от которой задрожали стекла. Алпатыч вышел на улицу; по улице пробежали два человека к мосту. С разных сторон слышались свисты, удары ядер и лопанье гранат, падавших в городе. Но звуки эти почти не слышны были и не обращали внимания жителей в сравнении с звуками пальбы, слышными за городом. Это было бомбардирование, которое в пятом часу приказал открыть Наполеон по городу, из ста тридцати орудий. Народ первое время не понимал значения этого бомбардирования. Звуки падавших гранат и ядер возбуждали сначала только любопытство. Жена Ферапонтова, не перестававшая до этого выть под сараем, умолкла и с ребенком на руках вышла к воротам, молча приглядываясь к народу и прислушиваясь к звукам. К воротам вышли кухарка и лавочник. Все с веселым любопытством старались увидать проносившиеся над их головами снаряды. Из за угла вышло несколько человек людей, оживленно разговаривая. – То то сила! – говорил один. – И крышку и потолок так в щепки и разбило. – Как свинья и землю то взрыло, – сказал другой. – Вот так важно, вот так подбодрил! – смеясь, сказал он. – Спасибо, отскочил, а то бы она тебя смазала. Народ обратился к этим людям. Они приостановились и рассказывали, как подле самих их ядра попали в дом. Между тем другие снаряды, то с быстрым, мрачным свистом – ядра, то с приятным посвистыванием – гранаты, не переставали перелетать через головы народа; но ни один снаряд не падал близко, все переносило. Алпатыч садился в кибиточку. Хозяин стоял в воротах. – Чего не видала! – крикнул он на кухарку, которая, с засученными рукавами, в красной юбке, раскачиваясь голыми локтями, подошла к углу послушать то, что рассказывали. – Вот чуда то, – приговаривала она, но, услыхав голос хозяина, она вернулась, обдергивая подоткнутую юбку. Опять, но очень близко этот раз, засвистело что то, как сверху вниз летящая птичка, блеснул огонь посередине улицы, выстрелило что то и застлало дымом улицу. – Злодей, что ж ты это делаешь? – прокричал хозяин, подбегая к кухарке. В то же мгновение с разных сторон жалобно завыли женщины, испуганно заплакал ребенок и молча столпился народ с бледными лицами около кухарки. Из этой толпы слышнее всех слышались стоны и приговоры кухарки: – Ой о ох, голубчики мои! Голубчики мои белые! Не дайте умереть! Голубчики мои белые!.. Через пять минут никого не оставалось на улице. Кухарку с бедром, разбитым гранатным осколком, снесли в кухню. Алпатыч, его кучер, Ферапонтова жена с детьми, дворник сидели в подвале, прислушиваясь. Гул орудий, свист снарядов и жалостный стон кухарки, преобладавший над всеми звуками, не умолкали ни на мгновение. Хозяйка то укачивала и уговаривала ребенка, то жалостным шепотом спрашивала у всех входивших в подвал, где был ее хозяин, оставшийся на улице. Вошедший в подвал лавочник сказал ей, что хозяин пошел с народом в собор, где поднимали смоленскую чудотворную икону. К сумеркам канонада стала стихать. Алпатыч вышел из подвала и остановился в дверях. Прежде ясное вечера нее небо все было застлано дымом. И сквозь этот дым странно светил молодой, высоко стоящий серп месяца. После замолкшего прежнего страшного гула орудий над городом казалась тишина, прерываемая только как бы распространенным по всему городу шелестом шагов, стонов, дальних криков и треска пожаров. Стоны кухарки теперь затихли. С двух сторон поднимались и расходились черные клубы дыма от пожаров. На улице не рядами, а как муравьи из разоренной кочки, в разных мундирах и в разных направлениях, проходили и пробегали солдаты. В глазах Алпатыча несколько из них забежали на двор Ферапонтова. Алпатыч вышел к воротам. Какой то полк, теснясь и спеша, запрудил улицу, идя назад. – Сдают город, уезжайте, уезжайте, – сказал ему заметивший его фигуру офицер и тут же обратился с криком к солдатам: – Я вам дам по дворам бегать! – крикнул он.

Рассмотрим баланс нейтронов в единице объема dV при заданных Ф(r ), Ss.

Баланс нейтронов

К изменению числа нейтронов приводят поглощение, утечка, рождение. Тогда

Рождение – утечка – поглощение.

Рождение нейтронов обусловлено источником: S(r ) -число нейтронов, рождающихся в единицу времени в единице объема вблизи r . Поглощение нейтронов определяется числом реакций в единицу времени в единице объема . Нужно найти выход реакции в элементе объёма

.

Найдем утечку нейтронов, зная вектор плотности J из закона Фика

Если известенвектор J в каждой точке поверхности элементарного объема dV, то утечка равна divJ - число нейтронов, пересекающих поверхность единичного объема в единицу времени. Причем

div /D= const/= – D DФ

где

Таким образом, имеем уравнение

В стационарном случае

Замечания:

При выводе данных уравнений пользовались законом Фика, который справедлив, если распределение потока по координатам является линейным на расстоянии в несколько . Значит, эти уравнения плохо работают вблизи границы источника. Коэффициент D здесь уже учитывает возможную несферичность рассеяния(см. ранее).

Граничные условия:

1) поток Ф нейтронов конечен и неотрицателен в области, где применимо уравнение диффузии;

2) на границе двух сред, отличающихся хотя бы одной характеристикой взаимодействия нейтронов с ядрами.

Взаимодействие нейтронов с ядрами

В точке а :

Нормаль к поверхности;

Ток нейтронов.

Так как сама граница не поглощает нейтроны, то сколько нейтронов уходит из среды А, столько и приходит в среду В, т.е. проекции на нормаль

т. е. поток на границе неразрывен.

С другой стороны, при переходе через границу поток нейтронов должен быть непрерывной функцией координат, т.е.

Итак, имеем условия на границе

Условия на границе

Условия на границе

3) на границе среды с вакуумом (это условие необходимо при решении задач о конечном реакторе) нет потока внутрь среды из вакуума. Это условие можно выразить, если задать функцию Ф(r, E, W). На границе имеем:

функция Ф(r, E, W).

Видно, что это граничное условие нельзя записать, зная только зависимость Ф от r . Используем следующий прием: изобразим Ф(r ) в плоском реакторе. Очевидно, поток на границе меньше, чем в центре активной зоны, но не равен 0, т.е. . Уравнение наиболее просто решается при нулевых граничных условиях.

Поток на границе

Решение уравнения диффузии особенно просто, когда на какой-либо границе поток равен 0. Будем считать, что поток образуется в 0 не на физической, а на некоторой экстраполированной границе реактора (экстраполяция линейная).

Длина экстраполяции d – величина неопределенная, но вносящая малую поправку в уравнение диффузии. Оценка d была сделана как теоретически, так и экспериментально. Оказалось, что при d = 0,71λ tr наблюдается наилучшее совпадение теории с опытом.

Изучение процессов диффузии велось также в направлении создания на основе экспериментальных результатов более точных моделей, которые давали бы возможность предсказывать протекание процесса диффузии путем теоретического анализа. Конечная цель исследования процесса диффузии – возможность расчетным путем определять электрические характеристики полупроводниковых приборов на основе технологических параметров процесса. Диффузионные модели развивались с позиции двух основных приближений: 1) теории сплошных сред с использованием уравнения диффузии Фика и 2) атомистической теории, которая принимает во внимание взаимодействие между точечными дефектами (вакансиями и межузельными атомами), с одной стороны, и примесными атомами – с другой. Теория сплошных сред описывает явление диффузии исходя из диффузионного уравнения Фика с учетом соответствующих коэффициентов диффузии. Коэффициенты диффузии легирующих элементов могут быть определены путем экспериментальных измерений поверхностной концентрации, глубины р –п -перехода или профиля концентрации и из решения уравнения диффузии Фика.

При низких значениях концентрации примеси измеренные диффузионные профили хорошо согласуются с решениями уравнения диффузии Фика с постоянными значениями коэффициентов диффузии. При высоких значениях концентрации примеси форма диффузионных профилей отклоняется от предсказанной простой диффузионной теорией, что обусловлено влиянием на процесс диффузии примесей других факторов.

В 1855 Фик предложил теорию диффузии. В основу этой Теории положена аналогия между процессами переноса в жидких растворах и тепла за счет теплопроводности. Фик предложил следующие уравнение, получившее название I закона Фика :

Для одномерного случая:

, (3.2)

Здесь: j – поток атомов диффундирующего вещества через единичную площадку (например, через см 2) за единицу времени (с), N – количество таких атомов в единице объема, t (с)– время диффузии, а D –коэффициент пропорциональности, связывающий j и grad N, имеющий размерность см 2 /с, D (см 2 /с)называют коэффициентом диффузии . Знак (-) отражает тот факт, что поток атомов идет в направлении уменьшения их концентрации. Диффузия идет всегда, но направленный поток имеет место только в случае неоднородного по пространству распределения диффундирующих частиц и исчезает, когда система становится однородной.

Выполнив дифференцирование по координате, в одномерном варианте получим:

(3.3)

Легко устанавливается факт, что

поскольку изменение потока по координате обусловлено изменением числа частиц в единичном объеме. Из комбинации этих выражений следует основная форма уравнения диффузии, называемая II законом Фика .

В частных производных. Бывает нестационарным и стационарным.

В смысле интерпретации при решении уравнения диффузии речь идет о нахождении зависимости концентрации вещества (или иных объектов) от пространственных координат и времени, причем задан коэффициент (в общем случае также зависящий от пространственных координат и времени), характеризующий проницаемость среды для диффузии. При решении уравнения теплопроводности речь идет о нахождении зависимости температуры среды от пространственных координат и времени, причем задана теплоемкость и теплопроводность среды (также в общем случае неоднородной).

Физически в том и другом случае предполагается отсутствие или пренебрежимость макроскопических потоков вещества. Таковы физические рамки применимости этих уравнений. Также, представляя непрерывный предел указанных задач (то есть не более, чем некоторое приближение), уравнение диффузии и теплопроводности в общем не описывают статистических флуктуаций и процессов, близких по масштабу к длине и времени свободного пробега, также весьма сильно отклоняясь от предполагаемого точного решения задачи в том, что касается корреляций на расстояниях, сравнимых (и больших) с расстояниями, проходимыми звуком (или свободными от сопротивления среды частицами при их характерных скоростях) в данной среде за рассматриваемое время.

Это в подавляющей части случаев сразу же означает и то, что уравнения диффузии и теплопроводности по области применимости далеки от тех областей, где становятся существенными квантовые эффекты или конечность скорости света, то есть в подавляющей части случаев не только по своему выводу, но и принципиально, ограничиваются областью классической ньютоновской физики.

• Ближайшим формальным, а во многом и содержательным, аналогом уравнения диффузии является уравнение Шрёдингера , отличающееся от уравнения диффузии множителем мнимая единица перед производной по времени. Многие теоремы о решении уравнения Шрёдингера и даже некоторые виды формальной записи его решений прямо аналогичны соответствующим теоремам об уравнении диффузии и его решениях, однако качественно их решения различаются очень сильно.

Общий вид

Уравнение обычно записывается так:

История происхождения

Одномерный случай

В случае одномерного диффузионного процесса с коэффициентом диффузии (теплопроводности) $D$ уравнение имеет вид:

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}c(x,\backslash ;t)=\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}D\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; x\}\{c(x,\backslash ;t)\}+f(x,\backslash ;t).$

При постоянном $D$ приобретает вид:

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}c(x,\backslash ;t)=D\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}\{c(x,\backslash ;t)\}+f(x,\backslash ;t),$

где $c(x,\backslash ;t)$ - концентрация диффундирующего вещества, a $f(x,\backslash ;t)$ - функция, описывающая источники вещества (тепла).

Трёхмерный случай

В трёхмерном случае уравнение приобретает вид:

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; c(\backslash vec\{r\},\backslash ;t)=(\backslash nabla,\backslash ;D\backslash nabla\; c(\backslash vec\{r\},\backslash ;t))+f(\backslash vec\{r\},\backslash ;t),$

где $\backslash nabla=(\backslash partial\_x,\backslash ;\backslash partial\_y,\backslash ;\backslash partial\_z)$ - оператор набла , а $(\backslash ;,\backslash ;)$ - скалярное произведение. Оно также может быть записано как

$\backslash partial\_t\; c=\backslash mathbf\{div\}\backslash ,(D\backslash ,\backslash mathbf\{grad\}\backslash ,c)+f,$

а при постоянном $D$ приобретает вид:

$\backslash frac\{\backslash partial\}\{\backslash partial\; t\}\; c(\backslash vec\{r\},\backslash ;t)=D\backslash Delta\; c(\backslash vec\{r\},\backslash ;t)+f(\backslash vec\{r\},\backslash ;t),$

где $\backslash Delta=\backslash nabla^2=\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; x^2\}+\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; y^2\}+\backslash frac\{\backslash partial^2\}\{\backslash partial\; z^2\}$ - оператор Лапласа .

n -мерный случай

$n$-мерный случай - прямое обобщение приведенного выше, только под оператором набла, градиентом и дивергенцией, а также под оператором Лапласа надо понимать $n$-мерные версии соответствующих операторов:

$\backslash nabla=(\backslash partial\_1,\backslash ;\backslash partial\_2,\backslash ;\backslash ldots,\backslash ;\backslash partial\_n),$ $\backslash Delta=\backslash nabla^2=\backslash partial\_1^2+\backslash partial\_2^2+\backslash ldots+\backslash partial\_n^2.$

Это касается и двумерного случая $n=2$.

Мотивация

A.

Обычно уравнение диффузии возникает из эмпирического (или как-то теоретически полученного) уравнения, утверждающего пропорциональность потока вещества (или тепловой энергии) разности концентраций (температур) областей, разделённых тонким слоем вещества заданной проницаемости, характеризуемой коэффициентом диффузии (или теплопроводности):

$\backslash Phi=-\backslash varkappa\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; x\}$ (одномерный случай), $\backslash mathbf\; j=-\backslash varkappa\backslash nabla\; c$ (для любой размерности),

в сочетании с уравнением непрерывности, выражающим сохранение вещества (или энергии):

$\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; t\}+\backslash frac\{\backslash partial\backslash Phi\}\{\backslash partial\; x\}=0$ (одномерный случай), $\backslash frac\{\backslash partial\; c\}\{\backslash partial\; t\}+\backslash mathrm\{div\}\backslash ,\backslash mathbf\; j=0$ (для любой размерности),

с учетом в случае уравнения теплопроводности ещё теплоёмкости (температура = плотность энергия / удельная теплоемкость).

• Здесь источник вещества (энергии) в правой части опущен, но он, конечно же, может быть легко туда помещён, если в задаче есть приток (отток) вещества (энергии).

B.

Кроме того, оно естественно возникает как непрерывный предел аналогичного разностного уравнения, возникающего в свою очередь при рассмотрении задачи о случайном блуждании на дискретной решётке (одномерной или $n$-мерной). (Это простейшая модель; в более сложных моделях случайных блужданий уравнение диффузии также возникает в непрерывном пределе). Простейшей интерпретацией функции $c$ в этом случае служит количество (или концентрация) частиц в данной точке (или вблизи неё), причём каждая частица движется независимо от остальных без памяти (инерции) своего прошлого (в несколько более сложном случае - с ограниченной по времени памятью).

Решение

$c(x,\backslash ;t)=\backslash int\backslash limits\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}c(x",\backslash ;0)c\_f(x-x",\backslash ;t)\backslash ,dx"=\backslash int\backslash limits\_\{-\backslash infty\}^\{+\backslash infty\}c(x",\backslash ;0)\backslash frac\{1\}\{\backslash sqrt\{4\backslash pi\; Dt\}\}\backslash exp\backslash left(-\backslash frac\{(x-x")^2\}\{4Dt\}\backslash right)\backslash ,dx".$

Физические замечания

Так как приближение, реализуемое уравнениями диффузии и теплопроводности, принципиально ограничивается областью низких скоростей и макроскопических масштабов (см. выше), то неудивительно, что их фундаментальное решение на больших расстояниях ведёт себя не слишком реалистично, формально допуская бесконечное распространение воздействия в пространстве за конечное время; надо при этом заметить, что величина этого воздействия так быстро убывает с расстоянием, что этот эффект как правило в принципе ненаблюдаем (например, речь идёт о концентрациях много меньше единицы).

Впрочем, если речь идёт о ситуациях, когда могут быть экспериментально измерены столь маленькие концентрации, и это для нас существенно, нужно пользоваться по меньшей мере не дифференциальным, а разностным уравнением диффузии, а лучше - и более подробными микроскопической физической и статистической моделями, чтобы получить более адекватное представление о реальности в этих случаях.

Стационарное уравнение

В случае, когда ставится задача по нахождению установившегося распределения плотности или температуры (например, в случае, когда распределение источников не зависит от времени), из нестационарного уравнения выбрасывают члены уравнения, связанные со временем. Тогда получается стационарное уравнение теплопроводности , относящееся к классу эллиптических уравнений . Его общий вид:

$-(\backslash nabla,\backslash ;D\backslash nabla\; c(\backslash vec\{r\}))=f(\backslash vec\{r\}).$

• При $D$, не зависящем от $\backslash vec\{r\}$, стационарное уравнение диффузии становится уравнением Пуассона (неоднородное), или уравнением Лапласа (однородное, то есть при $f=0$):

$\backslash Delta\; c(\backslash vec\{r\})=-\backslash frac\{f(\backslash vec\{r\})\}\{D\},$ $\backslash Delta\; c(\backslash vec\{r\})=0.$

Постановка краевых задач

• Задача с начальными условиями (задача Коши) о распределении температуры на бесконечной прямой

Если рассматривать процесс теплопроводности в очень длинном стержне, то в течение небольшого промежутка времени влияние температур на границах практически отсутствует, и температура на рассматриваемом участке зависит лишь от начального распределения температур.

$$ и $t\backslash geqslant\; t\_0$, удовлетворяющее условию

• Первая краевая задача для полубесконечного стержня

Если интересующий нас участок стержня находится вблизи одного конца и значительно удалён от другого, то мы приходим к краевой задаче, в которой учитывается влияние лишь одного из краевых условий.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $-\backslash infty\backslash leqslant\; x\backslash leqslant\; +\backslash infty$ и $t\backslash geqslant\; t\_0$, удовлетворяющее условиям

$\backslash left\backslash \{\backslash begin\{array\}\{l\}$

u(x,\;t_0)=\varphi(x),\quad(0 где $\backslash varphi(x)$ и $\backslash mu(t)$ - заданные функции.

• Краевая задача без начальных условий

Если момент времени который нас интересует достаточно удалён от начального, то имеет смысл пренебречь начальными условиями, поскольку их влияние на процесс с течением времени ослабевает. Таким образом, мы приходим к задаче, в которой заданы краевые условия и отсутствуют начальные.

Найти решение уравнения теплопроводности в области $0\backslash leqslant\; x\backslash leqslant\; l$ и

$\backslash left\backslash \{\backslash begin\{array\}\{l\}$

u(0,\;t)=\mu _1(t), \\ u(l,\;t)=\mu _2(t), \end{array}\right. где $\backslash mu\_1(t)$ и $\backslash mu\_2(t)$ - заданные функции.

• Краевые задачи для ограниченного стержня

Рассмотрим следующую краевую задачу:

Если $f(x,\backslash ;t)=0$, то такое уравнение называют однородным , в противном случае - неоднородным .

$u(x,\backslash ;0)=\backslash varphi(x),\backslash quad\; 0\backslash leqslant\; x\backslash leqslant\; l$ - начальное условие в момент времени $t=0$, температура в точке $x$ задается функцией $\backslash varphi(x)$. $\backslash left.\backslash begin\{array\}\{l\}$

u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ u(l,\;t)=\mu_2(t), \end{array}\right\}\quad 0\leqslant t\leqslant T - краевые условия. Функции $\backslash mu\_1(t)$ и $\backslash mu\_2(t)$ задают значение температуры в граничных точках 0 и $l$ в любой момент времени $t$.

В зависимости от рода краевых условий, задачи для уравнения теплопроводности можно разбить на три типа. Рассмотрим общий случай ($\backslash alpha\_i^2+\backslash beta\_i^2\backslash ne\; 0,\backslash ;(i=1,\backslash ;2)$).

$\backslash begin\{array\}\{l\}$

\alpha_1 u_x(0,\;t)+\beta_1 u(0,\;t)=\mu_1(t), \\ \alpha_2 u_x(l,\;t)+\beta_2 u(l,\;t)=\mu_2(t). \end{array}

Если $\backslash alpha\_i=0,\backslash ;(i=1,\backslash ;2)$, то такое условие называют условием первого рода , если $\backslash beta\_i=0,\backslash ;(i=1,\backslash ;2)$ - второго рода , а если $\backslash alpha\_i$ и $\backslash beta\_i$ отличны от нуля, то условием третьего рода . Отсюда получаем задачи для уравнения теплопроводности - первую, вторую и третью краевую.

Принцип максимума

Пусть функция $u(x,\backslash ;t)$ в пространстве $D\backslash times,\backslash ;D\backslash in\backslash R^n$, удовлетворяет однородному уравнению теплопроводности $\backslash frac\{\backslash partial\; u\}\{\backslash partial\; t\}-a^2\backslash Delta\; u=0$, причем $D$ - ограниченная область. Принцип максимума утверждает, что функция $u(x,\backslash ;t)$ может принимать экстремальные значения либо в начальный момент времени, либо на границе области $D$.

{{#ifeq: Image:Wiki_letter_w.svg|none||Шаблон:!class ="ambox-image"Шаблон:! }}

Для улучшения этой статьи{{#if:Шаблон:Rq/topics/getcategory | Шаблон:Rq/topics/getcategory }} желательно : {{#if:{{#if: sources| {{#if:sources| сносок ссылки на независимые , подтверждающие написанное .{{#if:||}} | документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:img| иллюстрации .Шаблон:Нет изображения |Неверный параметр шаблона {{ }} - img . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:| {{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:| {{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:| {{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:| {{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:| {{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:| {{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:| {{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:| {{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:| {{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:| {{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:| {{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:| {{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:| {{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:| {{#ifexist:template:rq/|Обнаружена петля в шаблонах: Шаблон:Rq/ |Неверный параметр шаблона {{ }} - [[Шаблон:rq/|]] . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }} |Шаблон {{ }} используется неверно. Укажите хотя бы один параметр. Если Вы уверены, что всё указано правильно, напишите об этом на странице обсуждения шаблона .}}| {{#if: sources| {{#if:sources| {{#ifexist:template:rq/sources|Найти и оформить в виде сносок ссылки на независимые , подтверждающие написанное .{{#if:||}} |Неверный параметр шаблона {{ }} - . Проверьте исходный текст и обратитесь к документации . {{#if:||}}}} }}{{#if:img| {{#ifexist:template:rq/img|Добавить иллюстрации .Шаблон:Нет изображения |Неверный параметр шаблона {{