доцент

Лабораторная работа № 1-3

Маятник Максвелла

студент_______________________________________________________________________ группа:______________

Допуск ____________________________________Выполнение ________________________Защита ______________

Кинематика" href="/text/category/kinematika/" rel="bookmark">кинематики и динамики поступательного и вращательного

движения. Экспериментально определить угловое ускорение и момент инерции маятника.

Приборы и принадлежности: маятник Максвелла, набор металлических накладных колец, втулки.

Описание экспериментальной установки.

Данная установка называется маятником Максвелла . Она служит для определения момента инерции тела. Небольшой диск (маховичок), туго надетый на ось опускается под действием силы тяжести на двух нитях, предварительно намотанных на ось маховичка. Нити во время движения разматываются до полной длины. Раскрутившийся маховичок по инерции продолжает вращательное движение в том же направлении и наматывает нити на ось, вследствие чего он поднимается вверх, замедляя при этом вращение. Дойдя до верхней точки, диск опять опускается вниз и т. д. Маховичок будет совершать колебания вверх - вниз, поэтому данное устройство и называют маятником.

Общий вид маятника Максвелла приведён на рис. 1.

На основании 1 закреплена стойка 2, к которой прикреплены неподвижный верхний кронштейн 3 и подвижный кронштейн 4. На верхнем кронштейне находится электромагнит 5, фотоэлектрический датчик №1 6 и вороток с фиксатором 7 для закрепления и регулировки длины маятника.

Нижний кронштейн 4 с фотодатчиком № 2 8 можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в выбранном положении. Маятник 9 - это диск, закрепленный на оси и подвешенный на двух нитях к неподвижному кронштейну. На диск накладываются сменные металлические кольца 10, изменяющие момент инерции системы. Маятник с наложенным кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Длина маятника определяется по миллиметровой шкале стойки прибора. Сигналы с фотодатчиков служат для автоматического пуска и остановки миллисекундомера 11.

Основные теоретические сведения

Основы кинематики поступательного и вращательного движения тела.

Поступательным называется движение, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся параллельной сама себе при движении тела.

Основными особенностями такого вида движения являются следующие обстоятельства:

- при поступательном движении все точки тела движутся совершенно одинаково, то есть имеют одну и ту же скорость, ускорение, траектории движения, совершают одинаковые перемещения и проходят одинаковый путь.

- в этом случае при описании движения тела его можно рассматривать как материальную точку.

Для описания поступательного движения тел вводят в рассмотрение следующие понятия:

Для характеристики быстроты перемещения тела в пространстве вводят понятие скорости :

https://pandia.ru/text/79/267/images/image004_28.gif" width="56" height="41">, метр в секунду.

Физический смысл скорости: она показывает, какое перемещение совершает тело за единицу времени при равномерном движении.

(пример: DIV_ADBLOCK104">

Вектор скорости направлен по касательной к траектории движения материальной точки.

Для характеристики быстроты изменения скорости по величине и направлению вводят понятие ускорения :

https://pandia.ru/text/79/267/images/image008_12.gif" width="59" height="41">, метр на секунду в квадрате.

Таким образом, ускорением называется векторная величина, равная первой производной по времени от мгновенной скорости тела.

Физический смысл ускорения: оно показывает, на сколько изменяется скорость тела за единицу времени при равнопеременном движении.

(например: означает, что скорость тела изменяется на font-size:10.0pt">Направление вектора ускорения совпадает с направлением вектора.

При прямолинейном движении тела ускорение сонаправлено с вектором font-size:10.0pt">.gif" width="13" height="19">некоторый угол .

Вращательным называется движение, при котором все точки тела описываю окружности, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения тела .

Основной особенностью такого вида движения является следующее обстоятельство:

при вращательном движении все точки абсолютно твёрдого тела движутся с одной и той же угловой скоростью и угловым ускорением и совершают одинаковые угловые перемещения.

Для описания вращательного движения тела вводят в рассмотрение следующие понятия:

Угол поворота - это угол, на который поворачивается радиус-вектор любой точки тела при его вращении.

font-size:10.0pt"> , радиан.

Элементарное угловое перемещение можно рассматривать как вектор DIV_ADBLOCK105">

если рукоятку буравчика вращать по направлению вращения тела, то поступательное движение буравчика будет совпадать с направлением вектора (см. рис. 3).

Удобство такого введения в следующем:

- модуль вектора однозначно определяет величину элементарного поворота тела ,

- направление вектора через правило буравчика определяет направление вращения тела,

- положение вектора в пространстве определяет

Ось вращения тела.

Для характеристики быстроты вращения тела в пространстве вводится понятие угловой скорости .

https://pandia.ru/text/79/267/images/image021_6.gif" width="72" height="41 src=">, радиан в секунду.

Угловая скорость есть первая производная по времени от угла поворота.

Физический смысл угловой скорости: она показывает, на какой угол поворачивается радиус-вектор любой точки тела за единицу времени при равномерном вращении.

(например: font-size:10.0pt">Направление угловой скорости совпадает с направлением вектора , то есть она также определяется по правилу буравчика.

Для характеристики быстроты изменения угловой скорости вводится понятие углового ускорения :

https://pandia.ru/text/79/267/images/image025_6.gif" width="68" height="41 src=">, радиан на секунду в квадрате.

Физический смысл углового ускорения: оно показывает, на сколько изменяется угловая скорость тела за единицу времени при равнопеременном вращении.

(например: https://pandia.ru/text/79/267/images/image027_6.gif" width="41" height="41 src=">.)

Направление вектора углового ускорения совпадает с направлением вектора https://pandia.ru/text/79/267/images/image029_5.gif" width="16" height="19">при ускоренном вращении тела и противоположно направлено при замедленном вращении.

Векторы, направление которых связывают с направлением вращения, называются псевдовекторами или аксиальными в отличие от обычных векторов (,, DIV_ADBLOCK106">

Основы динамики поступательного и вращательного движения тела.

Для описания взаимодействия одного тела на другое вводят понятие силы font-size:10.0pt">font-size:10.0pt">где - сила, font-size:10.0pt">, Ньютон, - масса тела, , килограмм, - ускорение тела,.

Масса тела является одной из важнейших понятий динамики, характеризующая инертные и гравитационные свойства тела. Масса тела – величина аддитивная (то есть масса тела равна сумме масс всех его частей).

Опыт показывает, что при описании вращательного движения твёрдого тела, кроме величины и направления действующей на тело силы, важной характеристикой является ещё и точка приложения этой силы.

В связи с этим вводят в рассмотрение понятие момента силы .

Моментом силы https://pandia.ru/text/79/267/images/image030_5.gif" width="13" height="17">, проведённого из точки О в точку приложения силы, на саму эту силу:

Или , где, Ньютон. метр.

Вектор момента силы DIV_ADBLOCK107">

если винт вращать от первого сомножителя в векторном произведении ко второму по кратчайшему повороту, то поступательное движение винта укажет направление искомого вектора (см. рис. 4)

Следует помнить, что перед применением этого правила необходимо совместить начала перемножаемых векторов.

Можно использовать более простое правило буравчика :

если рукоятку буравчика вращать по направлению действия силы, то поступательное движение буравчика будет совпадать с направлением вектора момента силы https://pandia.ru/text/79/267/images/image045_1.jpg" align="left" width="141" height="201 src=">На рис. 4 и 5 вектор направлен перпендикулярно плоскости чертежа на нас.

При этом следует помнить, что начало вектора font-size:10.0pt">.gif" width="17" height="20 src=">, а его величину можно определить по формуле:

https://pandia.ru/text/79/267/images/image047_5.gif" width="57" height="19 src=">,

Где - угол между векторамии , а величина называется плечом силы , , метр.

Плечом силы https://pandia.ru/text/79/267/images/image031_5.gif" width="17" height="20"> (см. рис. 5).

Величина зависит от выбора точки О.

Моментом силы относительно неподвижной оси Z называется скалярная величина, равная проекции на эту ось вектора момента силы относительно любой точки О, выбранной на этой оси:

Величина font-size:10.0pt">не зависит от выбора точки О на этой оси Z .

Наблюдения показывают, что при рассмотрении вращательного движения тела, основной характеристикой инертных свойств тела является не масса этого тела https://pandia.ru/text/79/267/images/image053_4.gif" width="13" height="16">.

Различают момент инерции тела относительно точки и момент инерции тела относительно оси.

Моментом инерции тела относительно точки О называется величина равная font-size:10.0pt">где - кратчайшее расстояние от точки О до элементарной массы тела font-size:10.0pt">Моментом инерции тела относительно оси Z называется величина равная ,

где - кратчайшее расстояние от оси Z до элементарной массы тела font-size:10.0pt">Основной особенностью момента инерции тела является то обстоятельство, что его величина зависит от выбора оси вращения тела и распределение массы тела относительно рассматриваемой оси..gif" width="13" height="16 src=">, в зависимости от выбора оси вращения. В общем случае момент инерции тела относительно произвольной оси можно рассчитать по формуле:

где https://pandia.ru/text/79/267/images/image060_4.gif" width="15" height="17 src=">- это функция зависимости плотности тела от координат, а сам интеграл определяется по всему объёму данного тела.

Основным уравнением динамики вращательного движения тела является закон аналогичный второму закону

Ньютона, одной из возможных формулировок которого является следующая:

В инерциальной системе отчёта алгебраическая сумма моментов всех внешних сил EN-US">Z , равна произведению момента инерции этого тела относительно этой оси , на сообщённое ему угловое ускорение e :

Выполнение работы

Уравнения для поступательного и вращательного движения маятника без учёта сил сопротивления воздуха в нашем случае имеют вид:

font-size:10.0pt">где m - полная масса маятника, кг, I - момент инерции маятника, кг. м2, g - ускорение свободного падения, м/с2,

r - радиус оси маятника, м, Т - сила натяжения нити (одной), Н, - ускорение поступательного движения центра масс маятника, м/с2, e - угловое ускорение маятника, рад/с2.

Так как уравнение вращательного движения маховичка относительно оси вращения: font-size:10.0pt">где - результирующий момент действующих на маятник сил относительно оси вращения, то с учетом уравнения (1), момент действующих сил можно определить по формуле:

font-size:10.0pt">Упражнение 1. Определение углового ускорения маятника и его дисперсии

1. Установите при помощи подвижного кронштейна высоту падения маятника h , заданную преподавателем. При помощи воротка с фиксатором 7 отрегулируйте длину нитей маятника Максвелла. Следите за тем, чтобы ось маятника была расположена горизонтально.

2. На диск маятника наложите стальное кольцо и запишите его массу mк . Убедитесь, что край стального кольца находится примерно на 2 мм ниже оптической оси нижнего фотоэлектрического датчика. Если нет, отрегулируйте высоту нижнего кронштейна с фотоэлектрическим датчиком. Замерьте радиус оси маятника .

3. Включите кнопку «СЕТЬ».

4. Нажмите кнопку «СБРОС» чтобы убедиться, что на табло установились нули.

5. Аккуратно вращая диск маятника, намотайте на его ось нить и зафиксируйте его в верхнем положении при помощи электромагнитов. При этом следите за тем, чтобы нити наматывались на ось виток к витку.

6. Нажмите кнопку «ПУСК» на передней панели миллисекундомера, удерживая её в течение одной секунды.

При этом маятник начнёт двигаться вниз, а таймер производить отсчет времени. В момент пересечения маятником оптиче ской оси фотодатчика отсчет времени должен прекратиться.

7. Прочитайте измеренное значение времени падения маятника и занести его в таблицу 1.

8. Нажмите кнопку «СБРОС» и приведите маятник в исходное положение (то есть зафиксируйте его в верхнем положении

при помощи электромагнита).

9. Аналогично проведите ещё четыре замера времени падения маятника с заданной высоты. Результаты занесите в таблицу 1.

h = mк = = Таблица 1

N опыта
, с

10. Угловое ускорение маятникаfont-size:10.0pt">.gif" width="12" height="13 src=">- радиус оси маятника.

11. Вычислите среднее значение углового ускорения, его дисперсию и среднеквадратичное отклонение по формулам: ; , где - число опытов.

12..gif" width="20 height=25" height="25">= 2.8 для = 0,95 и = 4.

Упражнение 2. Проверка уравнения вращательного движения и определение момента

инерции маятника

Цель упражнения 2 состоит в проверке основного уравнение вращательного движения маятника https://pandia.ru/text/79/267/images/image075_2.gif" width="13" height="15">и моментом внешних сил , действующих на него.

Момент инерции маятника относительно оси вращения определим методом наименьших квадратов для линейной зависимости MsoPageNumber">Для этого момент внешних сил и угловое ускорение маятника рассчитайте по формулам :

, ,

где – полная масса маятника и .

Искомый момент инерции маятника определим методом наименьших квадратов

Выполнение упражнения

1. Оденьте на ось маятника подвижные втулки и, изменяя с помощью них радиус оси , проведите 5 замеров

времени падения маятника . Результаты занесите в таблицу 2.

Таблица 2

№

2. Для проверки линейной зависимости определите момент инерции маятника MsoPageNumber"> и его дисперсию

По формулам:

; , где = 5 – число измерений.

3. Постройте график зависимости MsoPageNumber">, используя свои экспериментальные данные, а так же прямую , где - вычисленный момент инерции маятника и убедитесь, что экспериментальные точки лежат вблизи прямой.

4. Вычислите критерий Фишера по следующей формуле: , где дисперсию адекватности и дисперсию опыта рассчитайте по формулам:

и , где MsoPageNumber">, где MsoPageNumber">5. Проверьте равенство . Если это равенство выполняется, то с вероятностью 0,95 можно утверждать, что предположение о линейной зависимости между угловым ускорением маятника и моментом внешних сил , действующим на него, является справедливым .

6. Сделайте вывод о справедливости основного уравнения вращательного движения твёрдого тела MsoPageNumber">7. Запишите окончательный ответ момента инерции маятника в виде: MsoPageNumber">

Упражнение 3. Изучение зависимости момента инерции маятника от его массы и определение

моментов инерции колец и диска держателя

Для определения искомых величин проведём совместные измерения. Возможность определения моментов инерции

колец и диска держателя основана на свойстве аддитивности момента инерции механической системы

(т. е. момент инерции системы равен сумме моментов инерции его частей).

Для нашего случая можно записать: ,

или, введя обозначения и получим: ,

где - это масса i – го кольца, а параметры и определяются, используя метод наименьших квадратов

для линейной зависимости по формулам:

; . (4)

В этих формулах https://pandia.ru/text/79/267/images/image123_1.gif" width="15" height="21">- это момент инерции всего маятника (т. е. кольца и диска держателя с осью вместе), который вычисляется по формуле:MsoPageNumber"> где – полная масса маятника (диска держателя, оси маятника и MsoPageNumber">

1. Снимите с оси маятника подвижные втулки и, одевая на диск держатель кольца разной массы , проведите пять замеров времени падения маятника с одной и той же высоты . Результаты занесите в таблицу 3.

Маятник Максвелла представляет собой тело, способное совершать одновременно поступательное и вращательное движение (рис.1).

Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором каждая линия, соединяющая две любые точки тела, …
сохраняет свое неизменное направление в пространстве. При поступательном движении тела прямая, проведенная через две произвольно выбранные точки этого тела, перемещается параллельно самой себе. Основы кинематики поступательного движения изложены в краткой теории к работе М1.

Основным законом динамики поступательного движения является торой закон Ньютона:

.

Вращательным движением твердого тела называется такое движение, при котором траектории всех точек тела являются концентрическими окружностями с центром на одной прямой, называемой осью вращения. Ось вращения может находиться вне тела или проходить через него. Основы кинематики и динамики вращательного движения в краткой теории к работам М1 и М3.

Рассмотрим более подробно закономерности поступательного и вращательного движения на приме маятника Максвелла, который представляет собой маховик, закрепленный на оси и подвешенный на двух нитях. Если нить намотать на ось маховика, то во время движения вниз она будет разматываться до полной длины. Раскрутившийся маховик продолжает вращательное движение в том же направлении и наматывает нить на ось, вследствие чего он поднимается вверх, замедляя при этом свое вращение. Дойдя до верхней точки, диск будет опять спускаться вниз и т.д. Маховик таким образом совершает колебания вверх и вниз и поэтому его называют маятником.

Движение всякой точки маятника мы можем представить как поступательное движение со скоростью , равной скорости центра инерции, и вращение вокруг оси с угловой скоростью w .

При движении на маятник действуют следующие силы и их моменты:

1) сила тяжести , приложенная к центру массы маятника и перпендикулярная оси вращения; момент силы тяжести равен нулю;

2) две силы натяжения нитей , приложенные к мгновенным точкам соприкосновения нитей и валика; момент силы натяжения:

3) две силы сопротивления совпадают по направлению с и имеют момент . Сила направлена против движения, характеризует трение нити о валик и другие диссипативные силы.

Запишем закон поступательного движения маятника, пренебрегая силами сопротивления:

где mg — сила тяжести маятника, F — сила натяжения нити.

Закон вращательного движения имеет вид:

где R — радиус валика, I — момент инерции маятника, e — угловое ускорение маятника.

Так как маятник Максвелла в процессе движения совершает равноускоренное движение с нулевой начальной скоростью, то изменение его скорости и координаты можно рассчитать по формулам:

Скорость центра инерции маятника (скорость оси маховика) и скорость вращения маятника связаны выражением

где R — радиус оси маятника, — касательная скорость этой оси.

Существует связь и между ускорениями двух видов движения:

Решая совместно уравнения (1-6), можно получить необходимые для работы расчетные формулы:

Отметим, что ускорение и сила натяжения совершенно не зависят от того, куда движется маятник — вверх или вниз. При колебаниях маятника скорость меняет свой знак, а ускорение не меняет, как не меняют знаков и силы.

Для определения моментов инерции используем формулу, выражающую закон сохранения механической энергии: потенциальная энергия маятника, находящегося в состоянии покоя на высоте h , равна кинетической энергии поступательного и вращательного движения маятника, находящегося в нижнем положении:

Учитывая формулу (5), находим:

С учетом (3-7) получим

где R — радиус оси маятника, t — время падения маятника.

Массу маятника надо определять по формуле

где m 1 — масса оси маятника; m 2 — масса диска; m 3 — масса кольца, одетого на диск. Все массы указаны на самих элементах.

Вычисление теоретического момента инерции маятника

Вычисление теоретического момента инерции маятника производится путем определения моментов инерции отдельных его элементов (валик, диск, кольцо).

Все три предмета можно представить в виде правильных фигур. Значит формулы для вычисления их моментов инерции можно найти в справочных материалах.

Валик можно представить как кольцо с тонкими стенками (обруч):

Формула для расчета момента инерции диска:

Формула для расчета момента инерции кольца (с толстыми стенками):

Вычисление энергии диссипации

Записывая формулу (10), мы считали маятник консервативной системой. Однако неизбежно существует сопротивление, что приводит к рассеянию энергии. Благодаря этому, маятник не сможет снова подняться на высоту h . Часть механической энергии переходит в тепловую, т.е. происходит диссипация механической энергии. При малых скоростях диссипативные силы можно считать линейными функциями скоростей. Используя закон сохранения энергии, находим:

где F c — сила сопротивления, h — высота, с которой опускается центр инерции маятника, h 1 — высота последующего подъема центра инерции маятника.

Таким образом

Числовое значение рассеивающейся энергии находим по формуле:

где h n — высота поднятия маятника после n колебаний маятника.

Описание установки

Вертикальная стойка имеет верхний и нижний кронштейны. На верхнем кронштейне имеется электромагнит, фотоэлектрический датчик и винт для закрепления и регулирования длины подвеса маятника. Нижний кронштейн вместе с прикрепленным к нему фотоэлектрическим датчиком можно перемещать вдоль стойки и фиксировать в выбранном положении.

Маятник – прибор, подвешенный по бирилярному способу, имеет сменные кольца, которые позволяют изменять массу маятника а, следовательно, и его момент инерции. Маятник с надетым на него кольцом удерживается в верхнем положении электромагнитом. Время движения маятника измеряется при помощи секундомера, пройденный путь — по шкале на стойке прибора, ориентируясь на нижний край кольца.

На передней панели прибора находится:

1) выключатель сети "СЕТЬ". Для включения питания;

2) кнопка "СБРОС". Для обнуления секундомера;

3) управление электромагнитом "ПУСК". Нажатие этой клавиши выключает электромагнит и включает секундомер.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Определение динамических характеристик движения центра инерции маятника:

1) вычертите в тетради таблицу 1, помещенную в конце данных методических указаний;

2) взяв самое легкое кольцо, наденьте его на диск маятника; суммируйте массы кольца, диска и валика, результат запишите в таблицу;

3) нажмите на клавишу "СЕТЬ";

4) намотайте на ось маятника нить так, чтобы витки располагались равномерно, при этом в своем верхнем положении маятник должен удерживаться электромагнитом;

5) нажмите на клавишу "СБРОС" (секундомер должен обнулиться);

6) при нажатии клавиши "ПУСК" маятник начнет движение вниз, а после достижения им нижнего фотоэлектрического датчика секундомер автоматически зафиксирует время опускания маятника с данной высоты;

7) измерение времени движения маятника выполнить 5 раз (показания секундомера записывайте в таблицу); высчитайте среднее значение и также внесите его в таблицу 1;

8) поменяйте кольцо на маятнике и повторите измерения согласно п.4-7;

9) повторите измерения и расчеты п. 4-7 для третьего кольца;

10) по шкале на вертикальной стойке определить путь, пройденный маятником и записать его в единицах системы СИ;

11) по формулам 7,8,9 и 11 рассчитайте ускорения поступательного и вращательного движения маятника, силу натяжения нитей и момент инерции маятника для всех трех колец. Результаты занесите в таблицу 1;

12) рассчитайте по формуле (12) теоретический момент инерции маятника для всех трех колец. Результаты запишите в таблицу и сравните со значениями I , рассчитанными ранее по формуле (11).

13) В заключении к работе сделать выводы о зависимости всех рассчитанных величин от массы маятника. Пояснить эти зависимости.

Таблица 1

, кг	, кг	t, с	t ср, с	a, м/с 2	e, 1/с 2	F, Н	I э, кг×м 2	I теор, кг×м 2

Определение энергии диссипации

1. Вычертите в тетради таблицу 2, помещенную в конце данных методических указаний.

2. Произведите равномерное наматывание нити и закрепите маятник в верхнем положении.

3. Нажмите "ПУСК", приведите маятник в движение и зафиксируйте высоту h , с которой опускается центр инерции маятника и высоту его последующего поднятия h 1 .

4. По формуле (12) вычислите силу сопротивления.

5. Произведите равномерное наматывание нити и закрепите маятник в верхнем положении.

6. Приведите маятник в движение, измерьте высоту в верхнем положении маятника после каждого из 10 колебаний.

7. Вычислите значение энергии диссипации по формуле (13).

8. Постройте график зависимости энергии диссипации от числа колебаний маятника.

9. В заключении к работе пояснить полученную зависимость W d = f(n).

Таблица 2

n, колебаний	h i , м	F c , Н	W d , Дж

Контрольные вопросы

1. Как устроен маятник Максвелл?

2. Записать и прокомментировать уравнения поступательного и вращательного движения маятника.

3. Вывести формулу для расчета ускорения центра инерции маятника, углового ускорения маятника, силы натяжения нити, момента инерции маятника.

4 Записать закон сохранения энергии для маятника Максвелла и дать пояснения.

5. Что называется моментом инерции материальной точки и моментом инерции твердого тела? Единицы измерения этой величины.

6. Вывести формулу для определения силы сопротивления, действующей на маятник Максвелла.

Цель работы : познакомиться с закономерностями плоского движения тел, определить момент инерции диска маятника Максвелла.

Оборудование : маятник Максвелла, секундомер.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Плоским движением твердого тела называется такое движение, при котором траектории всех точек тела лежат в параллельных плоскостях.

Получим уравнение кинетической энергии плоского движения. Небольшая частица тела, как и положено материальной точке, движется поступательно и обладает кинетической энергией . Представим скорость частицы как сумму скорости центра масс V 0 и скорости движения U i относительно оси О , проходящей через центр масс перпендикулярно плоскости движения (рис. 1). Суммарная кинетическая энергия всех частиц будет равна .

Потребуем, чтобы средний член, то есть сумма импульсов частиц относительно оси О, был бы равен нулю. Так будет, если относительное движение будет вращательным, , с угловой скоростью ω. (Если подставить относительную скорость в средний член, то получим формулу для расчета центра масс тела ).

В итоге кинетическая энергия плоского движения может быть представлена как сумма энергии поступательного движения тела со скоростью центра масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс

. (1)

Здесь m – масса тела, – момент инерции тела относительно оси О, проходящей через центр масс.

Рассмотрим другой способ представления плоского движения, как только вращение вокруг так называемой мгновенной оси. Сложим эпюры скоростей в поступательном и вращательном движении для точек тела, лежащих на перпендикуляре к вектору V 0 , (рис. 2).

Есть в пространстве такая точка С, результирующая скорость которой равна нулю. Через неё проходит так называемая мгновенная ось вращения, относительно которой тело совершает только вращательное движение. Расстояние между центром масс и мгновенной осью можно определить из соотношения между угловой и линейной скоростью центра масс .

Уравнение кинетической энергии вращательного движения относительно мгновенной оси имеет вид

Здесь J с – момент инерции тела относительно мгновенной оси. Сопоставив уравнения (1) и (2), при , получим

. (3)

Это выражение называется теоремой Штейнера: момент инерции тела относительно данной оси С равен сумме момента инерции относительно оси О , проходящей через центр масс и параллельной данной и произведению массы тела на квадрат расстояния между осями.

Рассмотрим закономерности плоского движения на примере маятника Максвелла (рис. 3). Маятник представляет собой диск, может быть с надетым кольцом, на оси которого закреплен круглый стержень небольшого радиуса r . На концах стержня намотаны две нити, на которых маятник подвешен. Если маятник отпустить, то он падает, одновременно вращаясь. Траектории всех точек лежат в параллельных плоскостях, поэтому это плоское движение. Центр масс расположен на оси симметрии, а мгновенная ось вращения совпадает с образующей стержня и проходит через точки касания нитей на расстоянии r от центра масс. В нижней точке движения маятник, продолжая по инерции вращаться, наматывает нити на стержень и начинает подниматься. В идеальном случае, при отсутствии сопротивления, он поднялся бы до исходного положения.

Система тел маятник – Земля является замкнутой, а внутренние силы тяжести и натяжения нитей консервативные. Если в первом приближении можно пренебречь действием сил сопротивления, то можно применить закон сохранения энергии: потенциальная энергия маятника в верхнем исходном положении превращается в нижней точке в кинетическую энергию плоского движения (1):

. (4)

Подставим в это уравнение угловую скорость вращения , и скорость поступательного движения по формуле кинематики равноускоренного движения . После преобразований получим расчетную формулу для момента инерции относительно оси симметрии

. (5)

Время падения измеряется секундомером. При нажатии на кнопку «Пуск» отключается электромагнит, удерживающий маятник и начинается счет времени. При пересечении маятником луча фотоэлемента счет прекращается. Высота падения измеряется по шкале на стойке по положению луча фотоэлемента (рис. 3)

Момент инерции относительно оси симметрии для маятника можно рассчитать теоретически как сумму моментов инерции стержня, диска и кольца:

ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

1. Установить фотоэлемент в нижнем положении так, чтобы маятник при опускании перекрывал луч фотоэлемента. Длина нитей подвеса регулируется винтом с контргайкой на кронштейне стойки. Измерить высоту падения как координату луча по шкале на стойке.

Включить установку в сеть 220 В, нажать кнопку «Сеть».

2. Вращая стержень, намотать нить на стержень, подняв диск до электромагнита. Произойдет примагничивание диска. Нажать кнопку «Пуск». Магнит отпустит маятник, и он начнет опускаться, начнется счет времени секундомером. Записать в табл. 1 высоту падения и время падения.

Таблица 1

Высота Н, см
Время t, с
Момент инерции J, кг∙м 2

3. Изменить высоту падения, регулируя длину нитей и поднимая фотоэлемент. Нажать кнопку «Сброс» для обнуления индикаторов и включения магнита. Поднять диск к электромагниту, нажать кнопку «Пуск». Опыт повторить не менее пяти раз, в интервале от предельной, до трети предельной высоты. Записать в табл. 1 высоты и время падения диска.

Выключить установку.

4. Измерить и записать в табл. 2 размеры и массы частей маятника. Таблица 2

5. Произвести расчеты в системе СИ. Определить по формуле (5) момент инерции в каждом опыте. Определить его среднее значение <J >.

6. Оценить случайную погрешность измерения по формуле

. (7)

7. Записать результат работы , Р =0,90.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Дайте определение плоского движения. Каким образом можно представить плоское движение?

2. Дайте определение мгновенной оси вращения и способ ее нахождения.

3. Выведите расчетную формулу кинетической энергии плоского движения.

4. Выведите и сформулируйте теорему Штейнера.

5. Запишите закон сохранения энергии для падения маятника Максвелла с некоторой высоты. Объясните правомерность применения закона.

6. Выведите формулу для теоретического расчета момента инерции маятника Максвелла по известным размерам и массам частей маятника.