В табл. 8.4 представлена зависимость скорости падающего шара от времени. Аналогичную таблицу можно составить и для машины, если записывать показания спидометра через каждую минуту или полминуты. Но можно ли, зная скорость машины в любой момент времени, вычислить расстояние, которое ею было пройдено? Эта задача обратна той, которую мы только что рассмотрели. Как же решить ее, если скорость машины непостоянна, если она то ускоряется до 90 км/час, то замедляется, затем где-то останавливается у светофора и т.д.? Сделать это нетрудно. Нужно использовать ту же идею и выражать полное расстояние через бесконечно малые его части. Пусть в первую секунду скорость будет vi, тогда по формуле Δs= v 1 \Δt можно вычислить расстояние, пройденное за эту секунду. В следующую секунду скорость будет несколько другой, хотя, может быть, и близкой к первоначальной, а расстояние, пройденное машиной за вторую секунду, будет равно новой скорости, умноженной на интервал времени (1 сек). Этот процесс можно продолжить дальше, до самого конца пути. В результате мы получим много маленьких отрезков, которые в сумме дадут весь путь. Таким образом, путь является суммой скоростей, умноженных на отдельные интервалы времени, или s - ∑vΔt, где греческая буква ∑ (сигма) означает суммирование. Точнее, это будет сумма скоростей в некоторые моменты времени, скажем t i , умноженные на Δt:

причем каждый последующий момент t i+1 находится по правилу t i+1 =t + Δt. Но расстояние, полученное этим методом, не будет точным, поскольку скорость за время Δt все же изменяется. Выход из этого положения заключается в том, чтобы брать все меньшие и меньшие интервалы Δt, т. е. разбивать время движения на все большее число все меньших отрезков. В конце концов мы придем к следующему, теперь уже точному выражению для пройденного пути:

Математики придумали для этого предела, как и для дифференциала, специальный символ. Значок Δ превращается в d, напоминая о том, что интервал времени сколь угодно мал, а знак суммирования превращается в ∫ - искаженное большое S, первая буква латинского слова «Sumrna». Этот значок назван интегралом. Таким образом, мы пишем

где v(t) - скорость в момент t. Сама же операция суммирования этих членов называется интегрированием. Она противоположна операции дифференцирования в том смысле, что производная этого интеграла равна v(t), так что один оператор (d/dt) «уничтожает» другой (∫). Это дает возможность получать формулы для интегралов путем обращения формул для дифференциалов: интеграл от функции, стоящей в правой колонке табл.8.3, будет равен функции, стоящей в левой колонке. Дифференцируя все виды функций, вы сами можете составить таблицу интегралов.

Любая функция, заданная в аналитическом виде, т. е. выражающаяся через комбинацию известных нам функций, дифференцируется очень просто - вся операция выполняется чисто алгебраически, и в результате мы всегда получаем какую-то известную функцию. Однако интеграл не от всякой функции можно записать в аналитическом виде. Разумеется, для каждого частного интеграла всегда сначала пытаются найти такую функцию, которая, будучи продифференцирована, давала бы функцию, стоящую после знака интеграла (она называется подынтегральной). Однако это не всегда удается сделать. В таких случаях интеграл вычисляют просто суммированием, т. е. вычисляют суммы типа (8.6) со все меньшими и меньшими интервалами, пока не получат результат с достаточной точностью.

Возникновение понятия интеграла было обусловлено необходимостью нахождения первообразной функции по ее производной, а также определения величины работы, площади сложных фигур, расстояния пройденного пути, при параметрах, очерченных кривыми, описываемыми нелинейными формулами.

а что работа равна произведению силы на расстояние. Если все движение происходит с постоянной скоростью или расстояние преодолевается с приложением одной и той же силы, то все понятно, нужно их просто перемножить. Что такое интеграл от константы? вида y=kx+c.

Но сила на протяжении работы может меняться, причем в какой-то закономерной зависимости. Такая же ситуация возникает и с вычислением пройденного расстояния, если скорость непостоянна.

Итак, понятно, для чего нужен интеграл. Определение его как суммы произведений значений функции на бесконечно малое приращение аргумента вполне описывает главный смысл этого понятия как площадь фигуры, ограниченной сверху линией функции, а по краям - границами определения.

Жан Гастон Дарбу, французский математик, во второй половине XIX века очень наглядно объяснил, что такое интеграл. Он сделал это настолько понятно, что в целом разобраться в этом вопросе не составит труда даже школьнику младших классов средней школы.

Допустим, есть функция любой сложной формы. Ось ординат, на которой откладываются значения аргумента, разбивается на небольшие интервалы, в идеале они бесконечно малы, но так как понятие бесконечности довольно абстрактно, то достаточно представить себе просто небольшие отрезки, величину которых обычно обозначают греческой буквой Δ (дельта).

Функция оказалась «нарезанной» на маленькие кирпичики.

Каждому значению аргумента соответствует точка на оси ординат, на которой откладываются соответствующие значения функции. Но так как границ у выделенного участка две, то и значений функции тоже будет два, большее и меньшее.

Сумма произведений бо́льших значений на приращение Δ называется большой суммой Дарбу, и обозначается как S. Соответственно, меньшие на ограниченном участке значения, умноженные на Δ, все вместе образуют малую сумму Дарбу s. Сам участок напоминает прямоугольную трапецию, так как кривизной линии функции при бесконечно малом ее приращении можно пренебречь. Самый простой способ найти площадь такой геометрической фигуры - это сложить произведения большего и меньшего значения функции на Δ-приращение и поделить на два, то есть определить как среднее арифметическое.

Вот что такое интеграл по Дарбу:

s=Σf(x) Δ - малая сумма;

S= Σf(x+Δ)Δ - большая сумма.

Итак, что такое интеграл? Площадь, ограниченная линией функции и границами определения будет равна:

∫f(x)dx = {(S+s)/2} +c

То есть среднее арифметическое большой и малой сумм Дарбу.с - величина постоянная, обнуляемая при дифференцировании.

Исходя из геометрического выражения этого понятия, становится понятен и физический смысл интеграла. очерченная функцией скорости, и ограниченная временным интервалом по оси абсцисс, будет составлять длину пройденного пути.

L = ∫f(x)dx на промежутке от t1 до t2,

f(x) - функция скорости, то есть формула, по которой она меняется во времени;

L - длина пути;

t1 - время начала пути;

t2 - время окончания пути.

Точно по такому же принципу определяется величина работы, только по абсциссе будет откладываться расстояние, а по ординате - величина силы, прилагаемая в каждой конкретной точке.

Движения представляют собой пересечение изоповерхностей соответствующих интегралов движения. Например, построение Пуансо показывает, что без крутящего момента вращение твердого тела представляет собой пересечение сферы (сохранение полного углового момента) и эллипсоида (сохранение энергии), траекторию, которую трудно вывести и визуализировать. Поэтому, нахождение интегралов движения - важная цель в механике .

Методы нахождения интегралов движения

Существует несколько методов нахождения интегралов движения:

Наиболее простой, но и наименее строгий метод заключается в интуитивном подходе, часто основанном на экспериментальных данных и последующего математического доказательства сохранения величины.

Уравнение Гамильтона - Якоби предлагает строгий и прямой метод нахождения интегралов движения, особенно если гамильтониан принимает знакомую функциональную форму в ортогональных координатах .

Другой подход заключается в сопоставлении сохраняющейся величины и какой-либо симметрии Лагранжиана . Теорема Нётер даёт систематический способ вывода таких величин из симметрий. Например, закон сохранения энергии является результатом того, что лагранжиан не изменяется относительно сдвига по времени, закон сохранения импульса эквивалентен инвариантности лагранжиана относительно сдвига начала координат в пространстве (трансляционная симметрия ) и закон сохранения момента импульса следует из изотропности пространства (лагранжиан не меняется при поворотах системы координат). Обратное тоже верно: каждая симметрия лагранжиана соответствует интегралу движения.

Величина A сохраняется если она не зависит явным образом от времени и её скобки Пуассона с гамильтонианом системы равны нулю

Другой полезный результат известен как теорема Пуассона , в которой утверждается, что если есть два интеграла движения A и B то скобки Пуассона {A ,B } этих двух величин тоже является интегралом движения.

Система с n степенями свободы и n интегралами движения, такими, что скобки Пуассона любой пары интегралов равны нулю известна как полностью интегрируемая система. Такой набор интегралов движения, как говорят, находится в инволюции друг с другом.

В квантовой механике

Наблюдаемая величина Q сохраняется, если она коммутирует с гамильтонианом H , который не зависит явным образом от времени. Поэтому

где используется коммутационное соотношение

Вывод

Пусть имеется некоторая наблюдаемая Q , которая зависит от координаты, импульса и времени

Для вычисления производной по времени от среднего значения наблюдаемой Q используется правило дифференцирования произведения , и результат после некоторых манипуляций приведён ниже

В итоге получим

Отношение к квантовому хаосу и квантовой интегрируемости

В классической механике имеется теорема Лиувилля , согласно которой система, в которой число интегралов движения в инволюции совпадает с числом степеней свободы n , может быть полностью проинтегрирована (решена) методом разделения переменных в уравнении Гамильтона-Якоби. Такая система является интегрируемой системой. Траектория такой системы в 2n -мерном фазовом пространстве может быть представлена в подходящих переменных (переменных действие-угол) как намотка на n -мерном торе. Системы, число интегралов в которой меньше числа степеней свободы, проявляет хаотическое поведение, то есть траектории в фазовом пространстве с близкими начальными условиями могут экспоненциально расходиться. При небольшой деформации интегрируемой системы в неинтегрируемую n -мерный тор в 2n -мерном фазовом пространстве разрушается («размывается»), превращаясь, например в странный аттрактор .

Квантовый аналог теоремы Лиувилля неизвестен, однако и в квантовом случае системы можно разделить на интегрируемые и неинтегрируемые. Под интегрируемыми в этом случае подразумевают системы, которые допускают точное решение, в смысле возможности найти все собственные значения и собственные функции гамильтониана в разумном виде. Известен квантовый аналог метода разделения переменных, однако его применение не столь универсально в классических случаях. Изветсные примеры показывают, что в квантовых интегрируемых системах, также как и в классических, имеется n интегралов движения, коммутирующих между собой. Однако наличие n интегралов движения, по-видимому, ещё не гарантирует квантовой интегрируемости. Задача квантования интегрируемых систем представляет собой поиск такой квантовой системы, которая допускала бы точное решение и давала бы данную классическую систему в классическом пределе. Имеются также примеры интегрируемых квантовых систем, не имеющих интегрируемых классических аналогов. Это происходит в том случае, если система может быть решена при специальных значениях параметров квантового гамильтониана , либо когда система не допускает классического описания (как, например, система спинов).

Все остальные квантовые системы проявляют в той или иной степени признаки квантового хаоса. Классические хаотические системы допускают квантование в том смысле, что может быть корректно определено их пространство состояний и гамильтониан, однако как и классические хаотические системы, так и квантовые, по-видимому, не допускают точного решения. Их можно исследовать приближёнными методами, такими как теория возмущений и вариационный метод, а также исследованы численно методами молекулярной динамики в классическом случае или численной диагонализации гамильтониана в квантовом случае.

См. также

Литература

Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). - Prentice Hall, 2004. - ISBN ISBN 0-13-805326-X
Ландау, Л. Д. , Лифшиц, Е. М. Механика. - Издание 4-е, исправленное. - М .: Наука , 1988. - 215 с. - («Теоретическая физика» , том I). - ISBN 5-02-013850-9
Арнольд В. И. «Математические методы классической механики», из. 5-ое, М.:Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Интеграл движения" в других словарях:

интеграл движения - judėjimo integralas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. integral of motion vok. Bewegungsintegral, n rus. интеграл движения, m pranc. intégrale de mouvement, f … Fizikos terminų žodynas

Интеграл (см. также Первообразная, Численное интегрирование, Интегрирование по частям) математический оператор: Определённый интеграл Неопределённый интеграл различные определения интегралов: Интеграл расширение понятия суммы Интеграл Ито… … Википедия

Интеграл Коши Лагранжа интеграл уравнений движения идеальной жидкости (уравнений Эйлера) в случае потенциальных течений. Содержание 1 Варианты названия 2 Историческая справка … Википедия

Член в кинетическом уравнении Болъцмана, равный изменению ф ции распределения частиц (или квазичастиц) за единицу времени в элементе фазового объёма вследствие столкновений между ними; его наз. также оператором столкновений. И. с. равен (с… … Физическая энциклопедия

Одно из центральных понятий математич. анализа и всей математики, возникновение к рого связано с двумя задачами: о восстановлении функции по ее производной (напр., с задачей об отыскании закона движения материальной точки вдоль прямой по… … Математическая энциклопедия

Импульс (количество движения) аддитивный интеграл движения механической системы; соответствующий закон сохранения связан с фундаментальной симметрией однородностью пространства. Содержание 1 История появления термина 2 «Школьное» определение… … Википедия

Формулировка через интеграл по траеториям квантовой механики это описание квантовой теории, которое обобщает принцип действия классической механики. Оно замещает классическое обозначение одиночной, уникальной траектории для системы суммой, или… … Википедия

- (континуальный интеграл, интеграл по траекториям, фейнмановский интеграл по траекториям) запись или результат функционального интегрирования (интегрирования по траекториям). Находит наибольшее применение в квантовой физике (квантовой теории … Википедия

При работе с цифровыми и аналоговыми датчиками порой возникает задача интегрирования их показаний. Так например, операция интегрирования лежит в основе работы фильтра нижних частот. А интегрирование показаний гироскопа служит основой практически любой системы стабилизации балансирующих роботов или мультикоптеров. Поскольку природа цифровых устройств позволяет реализовать на их основе только дискретное интегрирование (ДИ), то речь в данной статье пойдет о реализации именно таких методов.

1. Метод прямоугольников

Из школьного курса мы знаем, что геометрический смысл определенного интеграла заключается в нахождении площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой подынтегральной функции и снизу осью абсцисс.

Суть метода прямоугольников сводится к тому, чтобы разбить всю площадь под кривой на равные по ширине прямоугольники (см. рисунок), а затем сложить вместе их площадь. Вычисление площадей прямоугольников будем выполнять последовательно, шаг за шагом. Таким образом, на шаге n нам потребуется вычислить следующее выражение:

y(n) = y(n-1) + x(n-1)*T

где:
n — номер текущего шага;
y(n) — значение интеграла на шаге n;
y(n-1) — значение интеграла на предыдущем шаге n-1;
x(n-1) — значение подынтегральной функции на предыдущем шаге n-1;
T — приращение времени на текущем шаге.

Другими словами, на каждом этапе работы алгоритма мы прибавляем к уже накопленной площади, новый прямоугольник, который на картинке отмечен пунктиром.

Как видно из рисунка, при расчете площади мы упускаем из виду небольшие криволинейные треугольники, которые образуются между верхней стороной прямоугольника и кривой. Сумма площадей этих треугольников дает нам суммарную погрешность данного метода, которая является самой высокой среди всех остальных подходов.

2. Метод трапеций

Чтобы хоть как-то снизить высокую погрешность метода прямоугольников, можно воспользоваться чуть более сложным методом трапеций. Принцип вычисления интеграла по данному методу практически идентичен предыдущему варианту, за исключением того, что теперь мы вычисляем площадь не прямоугольников, а трапеций. Как видно на рисунке, трапеции куда более аккуратно вписываются в пространство между кривой и осью абсцисс.

Как известно, площадь трапеции со сторонами a и b равна:

S = a*b*h/2

Исходя из этого, разностное уравнение для данного метода интеграции принимает вид:

y(n) = y(n-1) + (x(n-1) + x(n))*T/2

Использование трапеций позволяет снизить погрешность интегрирования, но не может полностью его устранить. На рисунке видно, что между кривой и краем трапеции все еще присутствует небольшой зазор. Для достижения более точных значений интеграла применяются другие, более сложные методы. Например, комбинированный метод использует взвешенную комбинацию двух рассмотренных методов, а в методе параболической аппроксимации на каждом шаге интегрирования вычисляется площадь параболы.

В компьютерном моделировании физических процессов применяются еще более точные, но чрезвычайно ресурсоемкие подходы, такие, как, например, метод Рунге-Кутта. Но как известно, микроэлектроника не любит сложных формул, поэтому для наших целей будет вполне достаточно двух рассмотренных методов.

3. Физический смысл интеграла

Рассмотрим применение интеграла в классической динамике. Пусть некоторое тело (большой человекоподобный робот) двигается постоянным ускорением a. Другими словами тело двигается равноускоренно (либо равнозамедленно). Следовательно, функцию ускорения от времени можно записать следующим образом:

a(t) = a0

Интегрируя данную функцию по времени t мы получим выражение для функции скорости v от времени t:

v(t) = v0 + a0*t

Еще раз интегрируя полученное выражение мы получим уже функцию расстояния s от t:

s(t) = s0 + v(t)*t = s0 + v0*t + a0*t*t/2

Таким образом, зная скорость тела мы легко можем узнать расстояние, которое оно преодолело за некоторое время.

4. Интегрирование показаний гироскопа

Как уже неоднократно говорилось, на выходе типичного MEMS-гироскопа мы имеем вовсе не угол наклона датчика, а угловую скорость его вращения. Другими словами, MEMS-гироскоп — это на самом деле гиротахометр , и чтобы узнать угол наклона нам потребуется проинтегрировать его показания.

Пусть угол поворота датчика angle измеряется в градусах (гр), а угловая скорость вращения aspeed в градусах за секунду (гр/сек). Для вычисления интеграла применим метод прямоугольников. Для этого разобьем временную ось на небольшие отрезки по delta секунд в каждом. Таким образом, каждые delta секунд мы будем вычислять площадь очередного прямоугольника и прибавлять полученное значение к уже накопленной площади:

angle = angle + aspeed * delta

Ниже представлен код соответствующей программы для Arduino.

Const int gyrPin = A0; const int INTEGR_DELAY = 20; const int SERIAL_DELAY = 100; // Датчик Pololu LPR550AL const float vref = 3.3; const float vzero = 1.23; const float sens = 0.0005; const float adc = 1023; int integr_time, serial_time, real_delta; short gyr_raw; float angle, aspeed; void setup() { Serial.begin(9600); angle = 0; } void loop() { // Интегрирование скорости поворота гироскопа time = millis(); real_delta = time - integr_time; if(real_delta > INTEGR_DELAY){ integr_time = time; gyr_raw = analogRead(gyrPin); aspeed = ((gyr_raw * vref)/adc - vzero)/sens; angle = angle + aspeed * real_delta; } // Отправка угла через последовательный порт на ПК time = millis(); if(time - serial_time >

Данный Arduino-скетч рассчитывает угол наклона гироскопа и отправляет данное значение на рабочую станцию через последовательный порт каждые 100мс. Следует заметить, что для преобразования входного аналогового сигнала в конкретное значение угловой скорости нам потребовалось использовать известное выражение:

gyr = (gyr_raw * vdd — gyr_zero) / gyr_sens

где величины vdd, gyr_zero и gyr_sens следует брать из спецификаций используемого гироскопа.

5. Повышение точности интегрирования

Мы знаем, что точность расчета интеграла тем больше, чем меньше отрезок дискретизации delta. В указанной выше программе, данный временной отрезок delta равен 20мс (INTEGR_DELAY), что в принципе позволяет достаточно сносно решать задачу стабилизации мультикоптера. Как вариант, для увеличения точности мы можем попробовать уменьшить delta, если конечно нам это позволит мощность микроконтроллера.

Либо, мы можем применить другой метод интегрирования, например метод трапеций. В последнем случае программа вычисления угла наклона гироскопа не слишком усложнится и примет следующий вид:

Const int gyrPin = A0; const int INTEGR_DELAY = 20; const int SERIAL_DELAY = 100; // Датчик Pololu LPR550AL const float vref = 3.3; const float vzero = 1.23; const float sens = 0.0005; const float adc = 1023; int integr_time, serial_time, real_delta; short gyr_raw; float angle, old_aspeed, aspeed; void setup() { Serial.begin(9600); angle = 0; aspeed = 0; } void loop() { // Интегрирование скорости поворота гироскопа time = millis(); real_delta = time - integr_time; if(real_delta > INTEGR_DELAY){ integr_time = time; gyr_raw = analogRead(gyrPin); aspeed = ((gyr_raw * vref)/adc - vzero)/sens; angle = angle + (aspeed + old_aspeed) * real_delta / 2; old_aspeed = aspeed; } // Отправка угла через последовательный порт на ПК time = millis(); if(time - serial_time > SERIAL_DELAY){ serial_time = time; Serial.print(angle, 4); } }

Заключение

Итак, теперь мы умеем интегрировать показания гироскопа и получать угол наклона вокруг его осей. Следовательно, мы можем сделать простейшую систему стабилизации для квадрокоптера на основе одного лишь датчика и платформы Arduino Uno, к примеру. Такой аппарат будет сносно держаться в воздухе, но его будет всегда немного вести в стороны из-за дрейфа нуля у гироскопа. Об этом плохом эффекте и о том, как его победить, я поведаю в следующей .

Перевод

Симуляция физики делает небольшие предсказания на основании законов физики. Эти предсказания на самом деле достаточно просты, что-то вроде «если объект вот здесь и он движется с такой скоростью в этом направлении, то за краткий промежуток времени он окажется вот тут». Мы создаём такие предсказания с помощью математической техники под названием интегрирование.

Темой этой статьи как раз и будет реализация такого интегрирования.

Интегрирование уравнений движения

Вы можете помнить из курса старшей школы или вуза, что сила равна произведению массы на ускорение.
Преобразуем это уравнение и увидим, что ускорение равно силе, делённой на массу. Это соответствует нашим интуитивным ожиданиям, потому что тяжёлые объекты труднее бросать.
Ускорение - это темп изменения скорости от времени:

Аналогично, скорость - это темп изменения позиции от времени:

Это значит, что если мы знаем текущие позицию и скорость объекта, а также приложенные к нему силы, то сможем проинтегрировать, чтобы найти его позицию и скорость в определённый момент времени.

Численное интегрирование

Если вы не изучали дифференциальные уравнения в вузе, то можете вздохнуть спокойно - вы почти в такой же ситуации, что и те, кто их изучал, потому что мы не будем решать дифференциальные уравнения аналитически. Вместо этого мы будем искать решение численным интегрированием .

Вот как работает численное интегрирование: во-первых, начнём с исходной позиции и скорости, затем сделаем небольшой шаг вперёд, чтобы найти скорость и позицию в будущем. Затем повторим это, двигаясь вперёд небольшими шагами, используя результат предыдущих вычислений как исходную точку следующих.

Но как нам найти изменение скорости и позиции на каждом шаге?

Ответ лежит в уравнениях движения .

Давайте назовём наше текущее время t , а шаг времени dt или «delta time».

Теперь мы можем представить уравнения движения в понятном всем виде:

Ускорение = сила / масса изменение позиции = скорость * dt изменение скорости = ускорение * dt
Интуитивно это понятно: если вы находитесь в автомобиле, движущемся со скоростью 60 км/ч, то за один час вы проедете 60 км. Аналогично, автомобиль, ускоряющийся на 10 км/ч в секунду, через 10 секунд будет двигаться на 100 км/ч быстрее.

Разумеется, эта логика сохраняется, только когда ускорение и скорость постоянны. Но даже если они меняются, то это для начала вполне неплохая аппроксимация.

Давайте представим это в коде. Начнём с стационарного объекта массой один килограмм и приложим к нему постоянную силу в 10 кН (килоньютонов) и сделаем шаг вперёд, принимая, что один временной шаг равен одной секунде:

Double t = 0.0; float dt = 1.0f; float velocity = 0.0f; float position = 0.0f; float force = 10.0f; float mass = 1.0f; while (t <= 10.0) { position = position + velocity * dt; velocity = velocity + (force / mass) * dt; t += dt; }
Вот каким будет результат:

T=0: position = 0 velocity = 0 t=1: position = 0 velocity = 10 t=2: position = 10 velocity = 20 t=3: position = 30 velocity = 30 t=4: position = 60 velocity = 40 t=5: position = 100 velocity = 50 t=6: position = 150 velocity = 60 t=7: position = 210 velocity = 70 t=8: position = 280 velocity = 80 t=9: position = 360 velocity = 90 t=10: position = 450 velocity = 100
Как вы видите, на каждом шаге мы знаем и позицию, и скорость объекта. Это и есть численное интегрирование.

Явный метод Эйлера

Вид интегрирования, который мы только что использовали, называется явным методом Эйлера .

Он назван в честь швейцарского математика Леонарда Эйлера , впервые открывшего эту технику.

Интегрирование Эйлера - это простейшая техника численного интегрирования. Она точна на 100% только когда темп изменений в течение шага времени постоянен.

Поскольку в примере выше ускорение постоянно, интегрирование скорости выполняется без ошибок. Однако мы ещё интегрируем и скорость для получения позиции, а скорость увеличивается из-за ускорения. Это значит, что в проинтегрированной позиции возникает ошибка.

Но насколько велика эта ошибка? Давайте выясним!

Существует аналитическое решение движения объекта при постоянном ускорении. Мы можем использовать его, чтобы сравнить численно интегрированную позицию с точным результатом:

S = ut + 0.5at^2 s = 0.0*t + 0.5at^2 s = 0.5(10)(10^2) s = 0.5(10)(100) s = 500 метров
Через 10 секунд объект должен был переместиться на 500 метров, но явным метод Эйлера даёт нам результат 450. То есть погрешность в целых 50 метров всего за 10 секунд!

Кажется, что это невероятно плохо, но в играх обычно для шага физики берётся не такой большой временной интервал. На самом деле, физика обычно вычисляется с частотой, примерно равной частоте кадров дисплея.

Если задать шаг dt = 1 ⁄ 100 , то мы получим гораздо лучший результат:

T=9.90: position = 489.552155 velocity = 98.999062 t=9.91: position = 490.542145 velocity = 99.099060 t=9.92: position = 491.533142 velocity = 99.199059 t=9.93: position = 492.525146 velocity = 99.299057 t=9.94: position = 493.518127 velocity = 99.399055 t=9.95: position = 494.512115 velocity = 99.499054 t=9.96: position = 495.507111 velocity = 99.599052 t=9.97: position = 496.503113 velocity = 99.699051 t=9.98: position = 497.500092 velocity = 99.799049 t=9.99: position = 498.498077 velocity = 99.899048 t=10.00: position = 499.497070 velocity = 99.999046
Как вы видите, это достаточно хороший результат, определённо вполне достаточный для игры.

Почему явный метод Эйлера не (всегда) так уж хорош

С достаточно малым шагом времени явный метод Эйлера при постоянном ускорении даёт вполне достойные результаты, но что будет, если ускорение не постоянно?

Хорошим примером переменного ускорения является система пружинного амортизатора .

В этой системе масса присоединена к пружине, и её движение гасится чем-то вроде трения. Существует сила, пропорциональная расстоянию до объекта, которая притягивает его к исходной точке, и сила, пропорциональная скорости объекта, но направленная в противоположном направлении, которая замедляет его.

Здесь ускорение в течение шага времени совершенно точно изменяется, но эта постоянно меняющаяся функция является сочетанием позиции и скорости, которые сами постоянно изменяются за шаг времени.

В большинстве коммерческих игровых физических движков используется этот интегратор.

Переход от явного к симплектическому методу Эйлера заключается только в замене:

Position += velocity * dt; velocity += acceleration * dt;
на:

Velocity += acceleration * dt; position += velocity * dt;
Использование симплектического интегратора Эйлера при dt = 1 ⁄ 100 для системы пружинного амортизатора даёт стабильный результат, очень близкий к точному решению:

Даже несмотря на то, что симплектический метод Эйлера имеет ту же степень точности, что и явный метод (степень 1), при интегрировании уравнений движения мы получаем намного лучший результат, потому что оно является симплектическим .

Существует множество других методов интегрирования

И теперь нечто совершенно другое.

RK4 - это интегратор четвёртого порядка, то есть накапливаемая ошибка имеет порядок четвёртой производной. Это делает метод очень точным, гораздо более точным, чем явный и неявный методы Эйлера, имеющие только первый порядок.

Но хотя он более точен, нельзя сказать, что RK4 автоматически становится «лучшим» интегратором, или даже что он лучше симплектического метода Эйлера. Всё гораздо сложнее. Тем не менее, это довольно интересный интегратор и его стоит изучить.

Реализация RK4

Существует уже много объяснений математики, используемой в RK4. Например: , и . Я настоятельно рекомендую изучить его выведение и понять, как и почему он работает на математическом уровне. Но я понимаю, что целевая аудитория этой статьи - программисты, а не математики, поэтому мы здесь будем рассматривать только реализацию. Так что давайте приступим.

Прежде чем приступить, давайте зададим состояние объекта как struct в C++, чтобы можно было удобно хранить позицию и скорость в одном месте:

Struct State { float x; // позиция float v; // скорость };
Также нам нужна структура для хранения производных значений состояний:

Struct Derivative { float dx; // dx/dt = скорость float dv; // dv/dt = ускорение };
Теперь нам нужна функция для вычисления состояния физики из t в t+dt с помощью одного набора производных, а после этого для вычисления производных в новом состоянии:

Derivative evaluate(const State & initial, double t, float dt, const Derivative & d) { State state; state.x = initial.x + d.dx*dt; state.v = initial.v + d.dv*dt; Derivative output; output.dx = state.v; output.dv = acceleration(state, t+dt); return output; }
Функция ускорения управляет всей симуляцией. Давайте используем её в системе пружинного амортизатора и вернём ускорение для единичной массы:

Float acceleration(const State & state, double t) { const float k = 15.0f; const float b = 0.1f; return -k * state.x - b * state.v; }
То, что нужно здесь записать, разумеется, зависит от симуляции, но необходимо структурировать симуляцию таким образом, чтобы можно было вычислять ускорение внутри этого метода для заданных состояния и времени, в противном случае он не подойдёт для интегратора RK4.

Наконец, мы получаем саму процедуру интегрирования:

Void integrate(State & state, double t, float dt) { Derivative a,b,c,d; a = evaluate(state, t, 0.0f, Derivative()); b = evaluate(state, t, dt*0.5f, a); c = evaluate(state, t, dt*0.5f, b); d = evaluate(state, t, dt, c); float dxdt = 1.0f / 6.0f * (a.dx + 2.0f * (b.dx + c.dx) + d.dx); float dvdt = 1.0f / 6.0f * (a.dv + 2.0f * (b.dv + c.dv) + d.dv); state.x = state.x + dxdt * dt; state.v = state.v + dvdt * dt; }
Интегратор RK4 делает выборку производной в четырёх точках, чтобы определить кривизну. Заметьте, как производная a используется при вычислении b, b используется при вычислении c, и c для d. Эта передача текущей производной в вычисление следующей и даёт интегратору RK4 его точность.

Важно то, что каждая из этих производных a, b, c и d будет разной , когда темп изменения в этих величинах является функцией времени или функцией самого состояния. Например, в нашей системе пружинного амортизатора ускорение является функцией текущей позиции и скорости, которые меняются в шаге времени.

После вычисления четырёх производных наилучшая общая производная вычисляется как взвешенная сумма, полученная из разложения в ряд Тейлора . Эта комбинированная производная используется для перемещения позиции и скорости вперёд во времени, точно так же, как мы делали это в явном интеграторе Эйлера.

Сравнение симплектического метода Эйлера и RK4

Давайте подвергнем проверке интегратор RK4.

Очевидно, что поскольку он является интегратором более высокого порядка (четвёртый против первого) он наглядно будет более точен, чем симплектический метод Эйлера, правда?

Неправда . Оба интегратора так близки к точному результату, что при таком масштабе почти невозможно найти между ними разницу. Оба интегратора стабильны и очень хорошо повторяют точное решение при dt = 1 ⁄ 100 .

При увеличении видно, что RK4 действительно более точен, чем симплектический метод Эйлера, но стоит ли эта точность сложности и лишнего времени выполнения RK4? Трудно судить.

Давайте постараемся и посмотрим, сможем ли мы найти значительное различие между двумя интеграторами. К сожалению, мы не сможем долго наблюдать за этой системой, потому что она быстро затухает до нуля, поэтому давайте перейдём к простому гармоническому осциллятору , который колеблется бесконечно и без затуханий.

Вот точный результат, к которому мы будем стремиться:

Чтобы усложнить интеграторам задачу, давайте увеличим шаг времени до 0,1 секунды.

Теперь запустим интеграторы на 90 секунд и увеличим масштаб:

Через 90 секунд симплектический метод Эйлера (оранжевая кривая) сдвинулся по фазе относительно точного решения, потому что его частота немного отличалась, в то время как зелёная кривая RK4 соответствует частоте, но теряет энергию!

Мы чётко можем это заметить, увеличив шаг времени до 0,25 секунды.

RK4 сохраняет верную частоту, но теряет энергию:

А симплектический метод Эйлера в среднем намного лучше сохраняет энергию:

Но от сдвигается от фазы. Какой интересный результат! Как вы видите, если RK4 имеет более высокий порядок точности, то он не обязательно «лучше». В этом вопросе есть множество нюансов.

Заключение

Мы реализовали три различных интегратора и сравнили результаты.

Явный метод Эйлера
Симплектический метод Эйлера
Метод Рунге-Кутты порядка 4 (RK4)

Так какой же интегратор стоит использовать в игре?

Если вам действительно нужна бОльшая точность, чем у симплектического метода Эйлера, я рекомендую посмотреть на симплектические интеграторы более высокого порядка, рассчитанные на

уравнения движения

Добавить метки