Глава 2 ДРОБНЫЕ ЧИСЛА И Действия С НИМИ
§ 36. Округление натуральных чисел и десятичных дробей
Предположим, например, что количество учащихся в школе на 1 сентября составляет 1682. Однако через некоторое время количество учащихся в школе изменится, а потому названное число станет неправильным. В нем изменится цифра разрядов единиц, а возможно, и десятков. Поэтому можно сказать, что в школе обучается примерно 1680 учащихся. То есть мы заменили цифру единиц на ноль. В этом случае говорят, что число округлили до десятков. Это записывают так: 1682 ≈ 1680. Знак ≈ читается «приближенно равно».
При округлении числа до заданного разряда необходимо, чтобы округленное число как можно меньше отличалось от заданного числа. Так, округляя 1682 до сотен, имеем 1682 ≈ 1700 (поскольку 1682 ближе к 1700, чем до 1600) (рис. 255).
Рис. 255
Рис. 256
Пусть, например, надо округлить до десятков число 435. Это особый случай, поскольку число 435 рівновіддалене от чисел 430 и 440 (рис. 256). В таких случаях договорились округлять число в большую сторону». Итак, 435 ≈ 440.
Имеем правило округления натурального числа:
1) округляя натуральное число до определенного разряда, все цифры, что идут за ним, заменяют нулями;
2) если первая следующая за этим разрядом цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю цифру, которая осталась, увеличивают на единицу; если первая следующая за этим разрядом цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю цифру, которая осталась, не меняют.
Пример 1. Округли число 85 357 до тысяч.
Решения. Подчеркнем цифру 5 в разряде тысяч: 85 357. Цифры, стоящие справа от нее (то есть 3, 5 и 7), заменяем нулями. Следующая за разрядом тысяч есть цифра 3, поэтому цифру тысяч 5 не меняем: 85 357 ≈ 85 000.
Ответ: 85 000.
Пример 2. Округли число 68 792 до наивысшего разряда.
Решения. Наивысшим разрядом данного числа есть десятки тысяч. Поэтому цифры 8, 7, 9 и 2 заменяем нулями. Цифру в разряде десятков тысяч 6 увеличиваем на единицу, поскольку следующая за ней цифра 8. Итак, записываем так: 68 972 ≈ 70 000.
Ответ: 70 000.
На практике также часто возникает необходимость округлить десятичные дроби. При этом будем пользоваться теми же правилами, что и для натуральных чисел.
Пример 3. Округли число 82,2732 до десятых. Решения. 82,2732 ≈ 82,3000. При этом подчеркиваем цифру, стоящую в разряде десятых. Цифры сотых, тысячных и десятитысячных заменяем нулями, а цифру десятых увеличиваем на 1, поскольку следующей за ней является цифра 7. Однако 82,3000 = 82,3. Поэтому 82,2732 ≈ 82,3.
Пример 4. Округли число 32,372 до сотых. Решения. 32,372 ≈ 32,370. Подчеркиваем цифру, стоящую в разряде сотых, цифру тысячных заменяем нулем, а цифру сотых оставляем без изменений, поскольку следующей за ней является цифра 2. Однако 32,370 = 32,37. Поэтому 32,372 ≈ 32,37.
Пример 5. Округли число 983,42 до десятков. Решения. Если десятичную дробь округляют до разряда, выше единицы, то дробную часть отбрасывают, а целая часть округляется по правилу округления натуральных чисел. Поэтому 983,42 ≈ 980. Итак, имеем правило округления десятичной дроби:
округляя десятичную дробь до определенного разряда, 1) все цифры, записанные по этим разрядом, заменяем нулями или отвергаем (если они стоят после запятой); 2) если первой цифрой за этим разрядом 0, 1, 2, 3 или 4, то последнюю цифру, что осталась, не меняем; если первой цифрой за этим разрядом 5, 6, 7, 8 или 9, то последнюю цифру, что осталась, увеличиваем на 1.
Если при округлении десятичной дроби последняя цифра, что осталась в дробной части, будет 0, то отбрасывать ее нельзя (как мы это делаем с точными числами). В этом случае цифра 0 в конце дробной части показывает, до какого разряда округлены числа.
Пример 4. Округли число 43,957 до десятых.
Решения. 43,957 ≈ 44,0.
Начальный уровень
1199. (Устно). Объясни, как выполнено округление до десятков:
1) 832 ≈ 830; 2) 726 ≈ 730;
3) 1975 ≈ 1980; 4) 12 314 ≈ 12 310.
1200. Правильно ли выполнено округление до сотен:
1) 239 ≈ 200; 2) 1379 ≈ 1300;
3) 8392 ≈ 8400; 4) 5192 ≈ 5000?
1201. Прочитайте приближенные равенства и скажи, до какого разряда округлены числа:
1) 12,457≈12,46; 2) 12,457 ≈ 12;
3) 12,457≈12,5; 4) 8,3601 ≈ 8,360;
5) 8,3601≈8,4; 6) 8,3601 ≈ 8,36.
Средний уровень
1202. Округли числа:
1) десятков: 762; 598; 1845; 1350;
2) сотен: 521; 669; 5739; 12 271;
3) тысяч: 17 457; 20 951;
4) десятков тысяч: 257 642.
1203. Округли числа до их наивысшего разряда:
1) 593; 2) 1257; 3) 30 792; 4) 162 573.
1204. Округли числа:
1) десятков: 732; 397; 411;
2) сотен: 352; 435; 807;
3) тысяч: 5473; 7897;
4) их наивысшего разряда: 5692; 14 273.
1205. Прочитайте приближенные равенства и объясни, до какого разряда округлены числа:
1) 4735 ≈ 4740; 2) 4735 ≈ 4700;
3) 27 451 ≈ 27 000; 4) 27 451 ≈ 30 000.
1206. Самая высокая горная вершина в мире - Джомолунгма. Ее высота 8848м. Округляя это число до:
1) десятков; 2) сотен; 3) тысяч.
1207. Самые длинные реки Украины: Дунай - 2850 км, Днепр - 2285 км, Днестр - 1362 км, Десна - 1126 км. Округляя эти значения до сотен километров.
1208. Округли до:
1) десятых: 7,167; 2,853; 4,341; 6,219; 6,35;
2) сотых: 0,692; 1,234; 9,078; 6,417; 0,025;
3) единиц: 12,56; 13,11; 17,182; 25,597;
4) десятков: 352,4; 206,3; 425,5.
1209. Округли числа:
1) десятых: 6,713; 2,385; 16,051; 0,849; 9,25;
2) сотых: 0,526; 3,964; 7,408; 9,663; 11,555;
3) единиц: 73,48; 112,09; 312,52;
4) десятков: 417,3; 213,58; 664,3;
5) сотен: 801,9; 1267,1; 2405,113.
1210. Округли число 4836,27518 к:
1211. Округли число 8491,53726 к:
1) тысяч; 2) сотен; 3) десятков;
4) единиц; 5) десятых; 6) сотых;
7) тысячных; 8) десятитысячных.
1212. Морская миля равна 1,85318 км. Округляя это число до:
1)десятых;
2)сотых;
3) тысячных;
4) десятитысячных.
1213. Ярд равен 0,9144 м. Округляя это число до:
1) десятых; 2) сотых; 3) тысячных.
Достаточный уровень
1214. Запиши:
1) в рублях, предварительно округлив до сотен копеек: 720 коп.; 1857 коп.;
2) в метрах, предварительно округлив до сотен сантиметров: 1873 см; 2117 см;
3) в тоннах, предварительно округлив до тысяч килограммов: 12 482 кг; 7657 кг;
4) в километрах, предварительно округлив до тысяч метров: 7352 м; 18 911 м.
1215. Запиши:
1) в килограммах, предварительно округлив до тысяч грамм: 19 572 г; 8321 г;
2) в центнерах, предварительно округлив до сотен килограммов: 5492 кг; 7021 кг;
3) в дециметрах, предварительно округлив до десятков сантиметров: 540 см; 4228 см.
1216. Запиши все цифры, которые можно подставить вместо * чтобы округление было выполнено правильно:
1) 43* ≈ 430; 2) 84*6 ≈ 8500;
3) 57*9 ≈ 5700; 4) *325≈ 4000.
1217. Запиши все цифры, которые можно подставить вместо * чтобы округление было выполнено правильно:
1) 25* ≈ 260; 2) 93*4 ≈ 9300;
3) 4*37 ≈ 4000; 4) *579 ≈ 9000.
1218. Первая деталь имеет массу 15,26 кг, вторая - 17,43 кг, третья - 7,66 кг, а четвертая - 18,875 кг. Найди общую массу этих четырех деталей (в граммах) и округли результат до десятых килограмма. Сравни ответ с результатом, который можно получить, если сначала округлить данные задачи до десятых, а затем решить ее.
1219. Выражения в километрах высоты: Джомолунгма - 8848 м, пик Победы - 7439 м, Арарат - 5165 м, гора Говерла - 2061 м. Округли эти числа:
1)десятых;
2) сотых.
1220. Какие цифры можно поставить вместо звездочки, чтобы округление было выполнено правильно? Наведи все варианты:
1) 4,37* ≈ 4,37; 2) 9,04* ≈ 9,05;
3) 12,0* ≈ 12,0; 4) 17,* ≈ 18;
5) 15,01* ≈ 15,02; 6) 72,*6 ≈ 73;
7) 0,38*9 * 0,39; 8) 424*,72 ≈ 4241.
1221. Какие цифры можно поставить в «окошко», чтобы округление было выполнено правильно? Наведи все варианты:
1) 5,42□ ≈ 5,42; 2) 7,14□ ≈ 7,15;
3) 13,0□ ≈ 13,0; 4) 29,38□ ≈ 29,39;
5) 81,□5 ≈ 82; 6) 0,27□13 ≈ 0,27.
Высокий уровень
1222. Некоторое натуральное число округлили до тысяч и получили 29 000. Найди наименьшее и наибольшее число, при округлении которых до тысяч, получим данное число.
Решения. Меньше всего - 28 500, всего - 29 499.
1223. Реши уравнения: x - 5297 = 4785; в: 272 = 39; 59 225: z = 25, обчисли сумму x + у + z и округли ее до сотен.
1224. Реши уравнения: x + 27 382 = 38 115; 29 192 - в = 3897; z ∙ 37 = 46 065, обчисли сумму x + у + z и округли ее до десятков.
Упражнения для повторения
1225. Машина выехала из Киева в 8 ч утра и прибыла во Львов в 17 час. С какой скоростью двигалась машина, если расстояние между Киевом и Львовом 560 км и на остановки было потрачено два часа?
1226. Существует ли натуральное число, равное сумме всех предыдущих до него натуральных чисел?
1227. Какую цифру можно подставить вместо х, чтобы образовалась правильная неравенство (буквой х обозначено одну и ту же цифру в каждом примере)?
1) 0,х5 > 0,6 х; 2) 8,5 х < 8,х3;
3) 0,х8 > 0,8 х; 4) 0,х8 < 0,8 х.
Посмотрим на примерах, как округлить до десятых числа, используя правила округления.
Правило округления числа до десятых.
Чтобы округлить десятичную дробь до десятых, надо оставить после запятой только одну цифру, а все остальные следующие за ней цифры отбросить.
Если первая из отброшенных цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то предыдущую цифру не изменяем.
Если первая из отброшенных цифр 5, 6, 7, 8 или 9, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу.
Примеры .
Округлить до десятых числа:
Чтобы округлить число до десятых, оставляем после запятой первую цифру, а остальное отбрасываем. Так как первая отброшенная цифра 5, то предыдущую цифру увеличиваем на единицу. Читают: «Двадцать три целых семьдесят пять сотых приближенно равно двадцать три целых восемь десятых».
Чтобы округлить до десятых данное число, оставляем после запятой лишь первую цифру, остальное — отбрасываем. Первая отброшенная цифра 1, поэтому предыдущую цифру не изменяем. Читают: «Триста сорок восемь целых тридцать одна сотая приближенно равно триста сорок одна целая три десятых».
Округляя до десятых, оставляем после запятой одну цифру, а остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 6, значит, предыдущую увеличиваем на единицу. Читают: «Сорок девять целых, девятьсот шестьдесят две тысячных приближенно равно пятьдесят целых, нуль десятых».
Округляем до десятых, поэтому после запятой оставляем только первую из цифр, остальные — отбрасываем. Первая из отброшенных цифр — 4, значит предыдущую цифру оставляем без изменений. Читают: «Семь целых двадцать восемь тысячных приближенно равно семь целых нуль десятых».
Чтобы округлить до десятых данное число, после запятой оставляет одну цифру, а все следующие за ней — отбрасываем. Так как первая отброшенная цифра — 7, следовательно, к предыдущей прибавляем единицу. Читают: «Пятьдесят шесть целых восемь тысяч семьсот шесть десятитысячных приближенно равно пятьдесят шесть целых, девять десятых».
И еще пара примеров на округление до десятых:
Округлять числа в жизни приходится чаще, чем кажется многим. Особенно это актуально для людей тех профессий, которые связаны с финансами. Этой процедуре люди, работающие в данной сфере, обучены хорошо. Но и в повседневной жизни процесс приведения значений к целому виду не редкость. Многие люди благополучно забыли, как округлять числа, сразу же после школьной скамьи. Напомним основные моменты этого действия.
Вконтакте
Круглое число
Перед тем как перейти к правилам округления значений, стоит разобраться, что представляет собой круглое число . Если речь идет о целых, то оно обязательно заканчивается нулем.
На вопрос, где в повседневной жизни пригодиться такое умение, можно смело ответить – при элементарных походах по магазинам.
С помощью правила приблизительного подсчета можно прикинуть, сколько будут стоить покупки и какую сумму необходимо взять с собой.
Именно с круглыми числами легче выполнять подсчеты, не используя при этом калькулятор.
К примеру, если в супермаркете или на рынке покупают овощи весом 2 кг 750 г, то в простом разговоре с собеседником зачастую не называют точный вес, а говорят, что приобрели 3 кг овощей. При определении расстояния между населенными пунктами также применяют слово «около». Это и значит приведение результата к удобному виду.
Следует отметить, что при некоторых подсчетах в математике и решении задач также не всегда используются точные значения. Особенно это актуально в тех случаях, когда в ответе получают бесконечную периодическую дробь . Приведем несколько примеров, когда используются приближенные значения:
- некоторые значения постоянных величин представляются в округленном виде (число «пи» и прочее);
- табличные значения синуса, косинуса, тангенса, котангенса, которые округлены до определенного разряда.
Обратите внимание! Как показывает практика, приближение значений к целому, конечно, дает погрешность, но сосем незначительную. Чем выше разряд, тем точнее будет результат.
Получение приближенных значений
Это математическое действие осуществляется по определенным правилам.
Но для каждого множества чисел они разные. Отмечают, что округлить можно целые числа и десятичные .
А вот с обыкновенными дробями действие не выполняется.
Сначала их необходимо перевести в десятичные дроби , а затем приступить к процедуре в необходимом контексте.
Правила приближения значений заключаются в следующем:
- для целых – замена разрядов, следующих за округляемым, нулями;
- для десятичных дробей – отбрасывания всех чисел, которые находятся за округляемым разрядом.
К примеру, округляя 303 434 до тысяч, необходимо заменить сотни, десятки и единицы нулями, то есть 303 000. В десятичных дробях 3,3333 округляя до десяты х, просто отбрасывают все последующие цифры и получают результат 3,3.
Точные правила округления чисел
При округлении десятичных дробей недостаточно просто отбросить цифры после округляемого разряда . Убедиться в этом можно на таком примере. Если в магазине куплено 2 кг 150 г конфет, то говорят, что приобретено около 2 кг сладостей. Если же вес составляет 2 кг 850 г, то производят округление в большую сторону, то есть около 3 кг. То есть видно, что иногда округляемый разряд изменен. Когда и как это проделывают, смогут ответить точные правила:
- Если после округляемого разряда следует цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то округляемый оставляют неизменным, а все последующие цифры отбрасываются.
- Если после округляемого разряда следует цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то округляемый увеличивают на единицу, а все последующие цифры также отбрасываются.
К примеру, как правильно дробь 7,41 приблизить к единицам . Определяют цифру, которая следует за разрядом. В данном случае это 4. Следовательно, согласно правилу, число 7 оставляют неизменным, а цифры 4 и 1 отбрасывают. То есть получаем 7.
Если округляется дробь 7,62, то после единиц следует цифра 6. Согласно правилу, 7 необходимо увеличить на 1, а цифры 6 и 2 отбросить. То есть в результате получится 8.
Представленные примеры показывают, как округлить десятичные дроби до единиц.
Приближение до целых
Отмечено, что округлять до единиц можно точно так же, как и до целых. Принцип один и тот же. Остановимся подробнее на округлении десятичных дробей до определенного разряда в целой части дроби. Представим пример приближения 756,247 до десятков. В разряде десятых располагается цифра 5. После округляемого разряда следует цифра 6. Следовательно, по правилам необходимо выполнить следующие шаги :
- округление в большую сторону десятков на единицу;
- в разряде единиц цифру 6 заменяют ;
- цифры в дробной части числа отбрасываются;
- в результате получают 760.
Обратим внимание на некоторые значения, в которых процесс математического округления до целых по правилам не отображает объективную картину. Если взять дробь 8,499, то, преобразовывая его по правилу, получаем 8.
Но по сути это не совсем так. Если поразрядно округлить до целых, то вначале получим 8,5, а затем отбрасываем 5 после запятой, и осуществляем округление в большую сторону.
Инструкция
Посмотрите на цифру, которая следует за тем разрядом, до которого производится округление. Если эта цифра равна 0, 1, 2, 3, 4, перепишите это число до округляемого разряда без изменений, а все , которые идут , просто отбросьте.
Например, если нужно округлить число 2,1643678… до сотых, произведите следующую последовательность :- найдите цифру, до которой округляется число (в данном примере это цифра 6); - следующая цифра, идущая после сотых, равна 4. - поскольку она в диапазон 5 (0, 1, 2, 3, 4), просто отбросьте эту цифру и все цифры, которые идут за ней. Результатом округления до сотых будет число 2,16.
Если после разряда, до которого производится округление, стоит цифра, которая больше 4 (5, 6, 7, 8, 9), произведите другие . Прибавьте к цифре, которая стоит на месте разряда, до которого производится округление, число 1, а все цифры, идущие после нее, отбросьте.
Например, если нужно округлить число 4,3458935 до тысячных, сделайте такие действия:- найдите цифру, которая стоит на месте разряда тысячных. В данном случае это 5;- найдите следующую за ней цифру, которая равна 8;- она больше 4, поэтому к числу 5 прибавьте 1;- запишите результат, который в данном случае будет равен 4,346.
Если разряд, до которого производится округление, представлен числом 9, то после прибавления 1 на месте этого разряда ставьте 0 и прибавляйте 1 к предыдущему разряду и так далее. При записи округленной нули отбрасываются. Например, если нужно округлить число 7,899712 до сотых, прибавьте к 9 число 1, запишите на его месте 0, а 1 прибавьте к 8. Получится число 7,90=7,9.
Источники:
- как округлить до тысячных
Дроби могут быть записаны в виде соотношения двух чисел (числителя и знаменателя). Эту форму записи называют обыкновенной дробью и округляют в большинстве случаев до целого числа или до разрядов, больших единицы (до десятков, сотен и т.д.). Другая форма записи используется в математических вычислениях намного чаще и называется десятичной дробью - целая и дробная части в ней разделяются запятой. Такие дроби достаточно часто округляют и до десятичных разрядов дробной части.
Инструкция
Если надо округлить до целых , то начните операцию с приведения ее к смешанной форме записи, чтобы выделить целую часть. Если знаменатель больше ее числителя, то целая часть на этой стадии округления равна нулю. Если же числитель , то разделите его без остатка и полученное будет целой частью смешанной дроби. Например, если требуется округлить 43/12, то ее можно записать в смешанной форме 3 7/12.
Определите, является ли половина знаменателя дробной части смешанной дроби большим числом, чем ее числитель. Если это так, то часть надо отбросить, а целая часть и будет результатом округления обыкновенной дроби с точностью до целого десятичной дроби 1,23489756 нужно отбросить все разряды, начиная с третьего. Результатом округления будет число 1,23. Если же эта цифра будет больше четверки, то и в этом случае разряды надо отбросить, но цифру, стоящую левее, следует увеличить на единицу. Например, при округлении до сотых десятичной дроби 1,23589756 число во втором десятичном разряде надо увеличить до 4, так как правее него стоит 5, а после этого отбросить разряды, начиная с третьего: 1,24.
Поймите значения цифр в десятичных долях. В любом числе различные цифры представляют собой различные разряды. Например, в числе 1872 единица представляет тысячи, восьмерка – сотни, семерка – десятки, двойка – единицы. Если в числе имеется десятичная запятая, то цифры справа от нее отражают дроби от целого числа .
Определите разряд десятичной дроби, до которого хотите ее округлить. Первым шагом в округлении десятичных дробей является определение места, до которого требуется округлить число . Если вы делаете домашнюю работу, то это обычно определено условием задания. Зачастую в условии может быть указана необходимость округлить ответ до десятых, сотых или тысячных знаков после запятой.
- Например, если стоит задача округления числа 12, 9889 до тысячных долей, начать следует с выявления расположения этих тысячных долей. Отсчитайте знаки от запятой как десятые, сотые, тысячные, после которых идут десятитысячные . Вторая восьмерка будет как раз тем, что вам необходимо (12,988 9).
- Иногда в условии может указываться конкретное место для округления (например, "округление до третьего знака после запятой" означает то же самое, что и "округление до тысячных").
Посмотрите на цифру справа от необходимого места округления. Теперь следует узнать цифру, которая стоит справа от места, до которого вы производите округление. В зависимости от этой цифры вы будете производить округление в большую или в меньшую сторону (вверх или вниз).
- Во взятом ранее примере числа (12,9889) необходимо произвести округление до тысячных (12,988 9), поэтому теперь следует посмотреть на цифру справа от тысячной доли, а именно на последнюю девятку (12,9889 ).
Если эта цифра больше или равна пяти, то производится округление в большую сторону. Для большей ясности, если справа от места округления стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то производится округление в большую сторону. Другими словами, необходимо увеличить цифру на округляемом месте на единицу, а остальные цифры справа от нее отбросить.
- Во взятом примере (12,9889) последняя девятка больше пятерки, поэтому мы будем округлять тысячные в большую сторону. Округленное число предстанет в виде 12,989 . Обратите внимание, что после места округления цифры отброшены.
Если эта цифра меньше пяти, то производится округление в меньшую сторону. То есть, если справа от места округления стоит цифра 4, 3, 2, 1 или 0, то производится округление в меньшую сторону. Что означает необходимость оставить цифру на месте округления в том виде, в каком она есть, и отбросить цифры справа от нее.
- Вы не можете округлить число 12,9889 в меньшую сторону, так как последняя девятка не представляет собой четверку или меньшую цифру. Однако, если бы рассматриваемым числом было 12,9884 , то его можно бы было округлить до 12,988 .
- Процедура кажется знакомой? Это связано с тем, таким же образом округляются и целые числа, а наличие запятой ничего не меняет.
Пользуйтесь тем же методом для округления десятичных дробей до целых цифр. Зачастую задачей устанавливается необходимость округления ответа до целых. В этом случае необходимо воспользоваться вышеуказанным способом.
- Другими словами, найдите место расположения целых единиц числа, посмотрите на цифру справа. Если она больше или равна пяти, то округлите целое число в большую сторону. Если она меньше или равна четырем, то округлите целое число в меньшую сторону. Наличие запятой между целой частью числа и его десятичной дробью ничего не меняет.
- Например, если вам требуется округлить вышеприведенное число (12,9889) до целых, то вы начнете с определения места расположения целых единиц числа: 12 ,9889. Так как девятка справа от этого места больше пяти, то производим округление вверх до 13 целых. Так как ответ представлен целым числом, то писать запятую больше нет необходимости.
Обращайте внимание на указания к округлению. Вышеупомянутые инструкции к округлению являются общепринятыми. Однако бывают ситуации, когда даются особые требования к округлению, не забывайте их прочесть, прежде чем сразу же прибегать к общепринятым правилам округления.
- Например, если в требованиях сказано производить округление до десятых в меньшую сторону, то в числе 4,59 вы оставите пятерку, несмотря на то, что девятка справа от нее обычно должна приводить к округлению в большую сторону. Это даст вам результатом 4,5 .
- Аналогичным образом, если вам сказано округлить число 180,1 до целых в большую сторону , то у вас получится 181 .
